Introducción matemática a la relatividad general

El campo gravitatorio se manifiesta en la curvatura del espacio-tiempo de tal manera que cuanto más intenso es el campo gravitatorio en cierto punto mayores son las componentes del tensor de curvatura en ese punto.

Este artículo introduce los conceptos matemáticos básicos que intervienen en la teoría de la relatividad general, básicamente esos conceptos se refieren a la geometría diferencial, el cálculo sobre variedades y el álgebra tensorial Los objetos básicos que intervienen en una descripción relativista de un modelo de universo son: La teoría proporciona ecuaciones que describen como se relacionan los tensores en cada punto del espacio, como determinan su curvatura y como se pueden relacionar entre sí las medidas realizadas por varios observadores moviéndose dentro del espacio-tiempo curvo.

(principio de covarianza) Matemáticamente el universo o espacio-tiempo es representado mediante una entidad geométrica llamada variedad pseudoriemanniana, dentro de la cual se especifica un procedimiento para medir las distancias o tensor métrico, una derivada covariante asociada y un transporte paralelo asociado.

Fue el matemático griego, Euclides, quien en el siglo III a. C. sistematizó en su obra Fundamentos los conocimientos geométricos de la ciencia griega: En ella se realizaba un estudio minucioso y sistemático de las figuras geométricas y se establecían 5 postulados fundamentales.

Se comenzó a desarrollar progresivamente el estudio de la llamada geometría elíptica, de curvatura positiva, cuyas características principales eran (y aún siguen siendo) las siguientes: Otros matemáticos posteriores, como János Bolyai o Nikolai Lobachevski crearon otro modelo geométrico no euclídeo que sin embargo, tenía una configuración completamente opuesta a la de la geometría elíptica: Se trataba del espacio hiperbólico, o de curvatura negativa, cuyas características principales son las siguientes: Ahora bien, las geometrías elíptica e hiperbólica eran contempladas como simples casos especiales que no afectaban a la estructura del espacio en sí, que se consideraba plano y euclideo.

Aunque incluso realizó experimentos al efecto, el genial matemático alemán no llegó a elaborar una teoría coherente en esta materia.

Dicho honor le correspondería a su discípulo, Bernhard Riemann, cuyo trabajo, "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen."

Todas estas ideas fueron recogidas por Albert Einstein, quien empleando las herramientas matemáticas creadas por Bernhard Riemann, Tullio Levi-Civita, Gregorio Ricci-Curbastro y Erwin Bruno Christoffel, logró construir la teoría geométrica de la gravedad que hoy en día conocemos con el nombre de Teoría de la Relatividad General.

Esto sucede porque el espacio tangente en cada punto del universo es diferente (a diferencia de lo que sucede en un espacio-tiempo plano donde el propio espacio-tiempo puede identificarse con su espacio tangente).

El transporte paralelo es un procedimiento que permite comparar magnitudes vectoriales o tensoriales en diferentes puntos del universo.

Una vez definida una conexión métrica se hace posible comparar magnitudes medidas en diferentes puntos del espacio tiempo.

Donde: En relatividad el cálculo de las geodésicas es importante para determinar como se está moviendo globalmente la materia en un espacio-tiempo.

Otros conceptos o fenómenos más complejos requieren en cada punto caracterizar una determinada dirección y estas propiedades se llaman magnitudes vectoriales y en relatividad general vienen representadas por campos vectoriales.

Finalmente otros fenómenos físicos requieren expresar la relación entre magnitudes vectoriales medibles, se llaman magnitudes tensoriales, estas se representan por campos tensoriales (las magnitudes que representan a su vez relaciones entre tensores, son tensores de orden superior al segundo, y así sucesivamente).

Un problema básico es que en un espacio-tiempo curvo, el hiperplano tangente a la variedad en cada punto (considerado como objeto de

Ese hecho requiere que se defina alguna regla para comparar vectores y tensores medidos por un mismo observador a medida que se mueve a través del espacio-tiempo.

Por ejemplo para poder hablar de que cierta magnitud física permanece constante a lo largo del movimiento debemos tener en cuenta que en cada instante la magnitud física está definida sobre un punto diferente y por tanto sobre espacios tangentes diferentes en cada momento.

Así que para hablar de "conservación" o comparación necesitamos definir una regla físicamente razonable que permita identificar magnitudes definidas en puntos diferentes, de manera continua.

Más formalmente si se define el llamado fibrado tangente a la variedad como:

Esto tiene una importante consecuencia, cualquier magnitud física vectorial puede ser representada indistintamente por un vector campo vectorial o por 1-forma, según conveniencia matemática, y sin que el hecho de usar una u otra descripción altere el contenido físico de lo que se representa.

Análogamente a como se han definido los campos vectoriales y las 1-formas, pueden definirse tensores de orden superior como aplicaciones diferenciables que asignan a cada punto del espacio-tiempo un objeto de un cierto espacio vectorial.

En este caso ese espacio vectorial tiene estructura de producto tensorial formado a partir de los espacios tangente y cotangente del espacio-tiempo en el punto concreto, así un tensor r veces contravariante y s veces covariante puede definirse como una aplicación diferenciable

Debe tenerse en cuenta que el tensor de Ricci no caracteriza completamente la geometría del espacio tiempo, es decir, dados dos universos con el tensores de Ricci iguales en puntos correspondientes, sus geometrías no tienen porqué coincidir (ni siquiera localmente) dado que sus tensores de Riemann no tienen porqué coincidir.

Por tanto, dos espacios-tiempo que son conformemente equivalentes tienen el mismo tensor de Weyl.

Todos los sistemas físicos interesantes parecen ser describibles mediante una integral de acción o funcional de acción que asigna a cualquier "trayectoria" posible del sistema o evolución en el espacio-tiempo un escalar.

Si se elige el lagrangiano o integrando del funcional de acción adecuadamente se llegan a ecuaciones que describen correctamente la evolución del sistema.

Dada la relación entre la curvatura del espacio-tiempo y el campo gravitatorio y las necesidades del principio de covariancia, resulta natural buscar un lagrangiano para el campo que esté relacionado con algún escalar asociado al tensor métrico y sus derivadas primeras (equivalentemente los símbolos de Christoffel

Puede probarse que no es posible hallar ningún escalar que involucre sólo las componentes del tensor métrico y los símbolos de Christoffel, ya que mediante cierta transformación de coordenadas se pueden anular estos últimos (lo cual es precisamente el contenido del llamado principio de equivalencia).

Por ejemplo el plano euclídeo y la superficie de un cilindro, tienen curvatura gausiana cero, lo cual implica que existe un isomorfismo entre ambos, así las ecuaciones sólo explican como es el espacio tiempo localmente, no determinan por completo la forma global.

En ese sentido han podido ser explicados hechos nuevos que no habrían podido ser explicados por la teoría newtoniana como: También la teoría de la relatividad general ha sido muy prolífica en cosmología a la hora de responder a cuestiones sobre el origen, evolución y destino final del propio universo, aunque en ese punto si bien la teoría puede dar cuenta de los hechos básicos observados existen teorías alternativas y generalizaciones de la relatividad que también pueden dar cuenta de la forma general y estructura del universo.