Hipótesis del continuo
El cardinal del conjunto de los números naturales N se denota por ℵ0 (alef cero).El conjunto de los números reales R tiene un cardinal más grande denotado por c (por continuo), cuyo valor preciso es 2ℵ0 cuando se expresa en la aritmética de cardinales infinitos.Esta expresión puede entenderse al escribir un número real, puesto que en general es necesario incluir en su parte fraccionaria una sucesión infinita de cifras: La cantidad de números reales que pueden escribirse es igual al número de combinaciones posibles.La hipótesis del continuo afirma precisamente que no es posible encontrar un subconjunto de R con cardinal comprendido entre ℵ0 y 2ℵ0.La hipótesis es equivalente entonces a: Hipótesis del continuo (con AE)El cardinal del conjunto de los números reales es el inmediatamente superior al cardinal de los números naturales: Cantor creía que el enunciado de la hipótesis del continuo era cierto e intentó probarlo infructuosamente.Cohen, aunque formalista,[1] también tendía a rechazar la hipótesis del continuo.Para argumentar en contra de este punto de vista, sería suficiente demostrar nuevos axiomas que se apoyen en la intuición y resuelvan la hipótesis del continuo en una u otra dirección.[3] Se han propuesto al menos otros dos axiomas que tienen implicaciones para la hipótesis del continuo, aunque actualmente estos axiomas no han encontrado una amplia aceptación en la comunidad matemática.Freiling cree que este axioma es "intuitivamente cierto", pero otros matemáticos no están de acuerdo con esta idea.Un argumento difícil contra la hipótesis del continuo desarrollado por William Hugh Woodin ha atraído una atención considerable desde el año 2000.[5][6] Foreman no rechaza el argumento de Woodin por completo, pero insta a la cautela.[7] Woodin propuso una nueva hipótesis que denominó axioma-(*)", o "axioma de la estrella".[8][9] Solomon Feferman ha argumentado que la hipótesis del continuo no es un problema matemático definido.[10] Propone una teoría de "definición" usando un subsistema semi-intuicionista de Zermelo-Frankel que acepta la lógica clásica para cuantificadores acotados, pero usa la lógica intuicionista para cuantificadores no acotados, y sugiere que una proposición