[5]​[6]​ Burnet comenzó su carrera en el teatro y en la realización de cortometrajes.

En el 2017, se unió a la segunda temporada de Hand of God protagonizada por Ron Perlman.

[12]​ Apareció en la serie de Amazon producida por Bryan Cranston, Philip K. Dick's Electric Dreams, junto a Terrance Howard y Anna Paquin.

[13]​ En 2012, Burnet completó su trabajo como protagonista en el largometraje Two Jacks junto a Sienna Miller.

[14]​ Burnet luego apareció Mortdecai, como el socio de Ewan McGregor, junto a Johnny Depp.

Burnet coprotagonizó la película de comedia musical Pitch Perfect 3, junto a Anna Kendrick.