Grafo de Möbius-Kantor

Möbius (1828) se preguntó si existe un par de polígonos con p lados cada uno, que tengan la propiedad de que los vértices de un polígono se encuentren en las líneas que pasan por los bordes del otro polígono, y viceversa.

Si es así, los vértices y las aristas de estos polígonos formarían una configuración proyectiva.

Para p = 4 no hay solución en el espacio bidimensional, pero Kantor (1882) encontró pares de polígonos de este tipo, para una generalización del problema en la que los puntos y aristas pertenecen al plano proyectivo complejo.

La configuración también se puede describir algebraicamente en términos del grupo abeliano

respectivamente), cada uno de los cuales se puede usar para dividir los nueve elementos del grupo en tres clases laterales de tres elementos por clase.

Estos nueve elementos y doce clases laterales forman la denominada configuración de Hesse.

El grafo de Möbius-Kantor es un subgrafo del grafo hipercubo de cuatro dimensiones, formado al eliminar ocho aristas del hipercubo (Coxeter, 1950).

También aparece muchas veces como en el subgrafo inducido del grafo de Hoffman-Singleton.

El grafo de Möbius-Kantor no se puede embeber sin cruces en el plano; tiene número de cruce 4, y es el grafo cúbico más pequeño con ese número de cruce (sucesión A110507 en OEIS).

[1] Sin embargo, es un grafo toroidal: tiene una incrustación en el toro en la que todas las caras son hexágonos (Marušič y Pisanski, 2000).

Hay una incrustación aún más simétrica del grafo de Möbius-Kantor en un toro doble, que es un mapa regular, con seis caras octogonales, en el que las 96 simetrías del grafo se pueden realizar como simetrías de la incrustación;Coxeter (1950) atribuye esta proposición a Threlfall (1932).

En 2013, una versión giratoria de la escultura fue presentada en la Universidad Colgate.

[2] Actúa transitivamente sobre los vértices, sobre las aristas y sobre los arcos del grafo.