Función hipergeométrica generalizada

En matemáticas, una serie hipergeométrica generalizada es una serie de potencias en la que el ratio de coeficientes sucesivos indexados por n es una función racional de n. La serie, si es convergente, define una función hipergeométrica generalizada, que luego puede definirse en un dominio más amplio del argumento mediante continuación analítica.

Una serie hipergeométrica se define formalmente como una serie de potencias en la que la razón de coeficientes sucesivos es una función racional de n. Eso es, donde A(n) y B(n) son polinomios de n. Por ejemplo, en el caso de la serie para la función exponencial, se tiene: lo cual satisface la definición con A(n) = 1 y B(n) = n + 1.

Los polinomios se pueden factorizar en factores lineales de la forma (aj + n) y (bk + n) respectivamente, donde los aj y bk son números complejos.

Por razones históricas, se supone que (1 + n) es un factor de B.

Esta serie generalmente se denota por ó Usando el factorial ascendente o símbolo de Pochhammer que puede ser escrito como (Nótese que este uso del símbolo de Pochhammer no es estándar; sin embargo, es el uso estándar en este contexto).

Plot of the generalized hypergeometric function pFq(a b z) with a=(2,4,6,8) and b=(2,3,5,7,11) in the complex plane from -2-2i to 2+2iPlot of the generalized hypergeometric function pFq(a b z) with a=(2,4,6,8) and b=(2,3,5,7,11) in the complex plane from -2-2i to 2+2i created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
Gráfico de la función hipergeométrica generalizada pFq(a b z) con a=(2,4,6,8) y b=(2,3,5,7,11) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i creado con la función de Mathematica 13.1 ComplexPlot3D