Su padre había sido enviado a estudiar a España por su progenitor, Francisco Argerich Batallas, doctor en medicina y coronel de los Reales Ejércitos, y allí había contraído matrimonio el año anterior con Margarita Martí.

Una vez nacido su hijo, Cosme Mariano Argerich regresó con su familia a la ciudad de Buenos Aires.

Tras la victoria asistió a los heridos, entre ellos al propio San Martín, quien había sufrido un corte de sable en la cara, y al capitán Justo Germán Bermúdez.

En 1820 asumió la dirección del Instituto Médico Militar, puesto que había ejercido ya su padre.

Ese año fue nombrado para dictar la cátedra de Anatomía y Fisiología pero rechazó el cargo por considerarlo "poco honroso" debido a su especialización en Clínica quirúrgica, reanudando sus tareas en el Hospital de Mujeres por tercera vez.

San Martín llegó a considerarlo un amigo, como se desprende de la correspondencia entre ellos.

Considerando que su vida corría peligro, en 1842 emigró a Montevideo, donde asistió al doctor Diego Alcorta en sus últimos momentos y se desempeñó como médico del Hospital Militar de la ciudad durante el sitio de Montevideo (1843-1851).