Fenómeno de Gibbs

[1]​ El fenómeno de Gibbs fue observado por físicos experimentales y se creía que se debía a imperfecciones en los aparatos de medición,[2]​ pero en realidad es un resultado matemático.A medida que se agregan más términos sinusoidales (es decir, aumentando[3]​ El análisis de la onda cuadrada revela que el error excede la altura (desde cero)muy grande) sobrepasará este salto por un error que se aproxima a[4]​ La cantidad a veces se conoce como "constante de Wilbraham-Gibbs".[7]​ En 1898, Albert Abraham Michelson desarrolló un dispositivo que podía calcular y resintetizar la serie de Fourier.[8]​ Un mito muy extendido dice que cuando se introducían los coeficientes de Fourier para una onda cuadrada en la máquina, la gráfica oscilaría en las discontinuidades, y que como era un dispositivo físico sujeto a defectos de fabricación, Michelson estaba convencido de que el exceso se debía a errores en la máquina.De hecho, los gráficos producidos por la máquina no eran lo suficientemente buenos como para mostrar claramente el fenómeno de Gibbs, y es posible que Michelson no lo hubiera notado, ya que no mencionó este efecto en su artículo (Michelson y Stratton, 1898) sobre su máquina o en sus cartas posteriores a la revista Nature.En su primera carta, Gibbs no se dio cuenta del fenómeno que llevaría su nombre, y el límite que describió para las gráficas de las sumas parciales era inexacto."[11]​ Informalmente, el fenómeno de Gibbs refleja la dificultad inherente a aproximar una función discontinua mediante una serie "finita" de ondas sinusoidales continuas.Los picos de exceso se acercan cada vez más a la discontinuidad a medida que se suman más términos, por lo que la convergencia es posible., mientras que la Onda triangular continua tiene coeficientes de Fourierque decaen a una velocidad mucho más rápida deEsto solo proporciona una explicación parcial del fenómeno de Gibbs, ya que las series de Fourier con coeficientes absolutamente convergentes serían uniformemente convergentes sgún la prueba M de Weierstrass y, por lo tanto, no podrían exhibir el comportamiento oscilatorio anterior.vienen dados por las fórmulas habituales Entonces, se tiene que y pero De manera más general, sies cualquier secuencia de números reales que converge a, como se demuestra en el análisis de una onda cuadrada) porque otras funciones son continuas (Esto demuestra cómo se produce el fenómeno de Gibbs en cada discontinuidad.Esto se puede representar como la convolución de la señal original con la respuesta a impulso del filtro (también conocida como núcleo), que es el seno cardinal.Por lo tanto, el fenómeno de Gibbs puede verse como el resultado de convolucionar una función escalón de Heaviside (si no se requiere periodicidad) o una onda cuadrada (en caso contrrio) con una función sinc: las oscilaciones en la función sinc causan ondas en la salida.Para la función escalonada, la magnitud del subimpulso es, por lo tanto, exactamente la integral de la cola izquierda hasta el primer cero negativo: para el seno normalizado del período de muestreo unitario, esto esEn consecuencia, el sobreimpulso es de la misma magnitud: la integral de la cola derecha o (equivalentemente) la diferencia entre la integral desde el infinito negativo hasta el primer cero positivo menos 1 (el valor que no se sobrepasa).El exceso y el defecto se pueden entender de la siguiente manera: los núcleos generalmente se normalizan para tener una integral 1, por lo que dan como resultado una asignación de funciones constantes a funciones constantes; de lo contrario, tienen ganancia.Tomar una expansión más larga (cortar a una frecuencia más alta) corresponde en el dominio de la frecuencia a ensanchar la pared de ladrillos, lo que en el dominio del tiempo corresponde a estrechar la función sinc y aumentar su altura en el mismo factor, dejando las integrales entre los puntos correspondientes sin cambios.Esto da como resultado que las oscilaciones en sinc sean más estrechas y más altas, y (en la función filtrada después de la convolución) produce oscilaciones que son más estrechas (y por lo tanto con un "área" más pequeña) pero que "no" tienen una "magnitud" reducida: cortar en cualquier frecuencia finita da como resultado una función sinc, por estrecha que sea, con las mismas integrales de cola.para evitar el denominador cero, por lo que se permitensuficientemente grande, la expresión entre corchetes es una aproximación mediante la suma de Riemann a la integral(más precisamente, es una aproximación mediante la suma de Riemann con espaciadoDado que la función sinc es continua, esta aproximación converge a la integral comoUn cálculo similar muestra que El fenómeno de Gibbs es indeseable porque causa artefactos, a saber, clipping por el sobreimpulso y el subimpulso, y artefactos de anillo por las oscilaciones.