Familia exponencial

En probabilidad y estadística, la familia exponencial es una clase de distribuciones de probabilidad cuya formulación matemática puede expresarse de la manera que se especifica debajo.Esta formulación confiere a las distribuciones de esta familia una serie de propiedades algebraicas y estadísticas muy convenientes.El concepto de la familia exponencial fue introducido por[1]​ E. J. G. Pitman,[2]​ G. Darmois,[3]​ y B.A θ se lo denomina parámetro de la familia.A menudo, x es un vector de observaciones.En tal caso, T(x) es una función real sobre el espacio de posibles valores de x.Si η(θ) = θ se dice que la familia exponencial está expresada en su forma canónica.De todos modos, la forma canónica no es única dado que η(θ) puede aparecer multiplicado por una constante no nula y T(x), a su vez, multiplicada por su inversa.La definición anterior puede extenderse al caso de un parámetro vectorialEn tal caso, se dice que una familia de distribuciones pertenece a la familia exponencial cuando su función de densidad puede expresarse de la forma Como en el caso escalar, se dice que está en forma canónica cuandoSe dice que la familia exponencial está curvada cuando la dimensión de, es decir, cuando la dimensión del vector de parámetros es menor que el número de funciones del vector de parámetros en la representación anterior.Supóngase que H es una función real de variable real no decreciente y que H(x) tiende a cero cuando x tiende a −∞.Entonces, la integral de Lebesgue–Stieltjes con respecto a dH(x) son integrales con respecto a la medida de referencia de la familia exponencial generada por H. Un miembro de tal familia exponencial tiene función de distribución Si F es una función de distribución continua que tiene densidad, se puede escribir dF(x) = f(x) dx.Si F es continua y tiene una densidad, lo mismo sucede con H; entonces se puede escribir dH(x) = h(x) dx.parecen haber sido definidas arbitrariamente.Sin embargo, desempeñan un papel particular en la función de distribución.En particular, para el caso escalar y cuando la familia exponencial está expresada en su forma canónica, se tiene que Derivando con respecto a, se obtiene e, integrando dicha expresión con respecto a x, (y permutando la integral y la derivada) se llega a que es decir, Tomando derivadas sucesivas respecto aPor ejemplo, la normal, la exponencial, la gamma, la chi-cuadrado, la beta, la Weibull (si el parámetro de forma es conocido), la distribución de Dirichlet, la de Bernoulli, la binomial, la multinomial, la de Poisson, la distribución binomial negativa y la geométrica.También lo es la de Pareto cuando el límite inferior del soporte está fijo.Sin embargo, las distribuciones uniforme y de Cauchy no forman parte de la familia exponencial.Y la de Laplace tampoco lo es a no ser que su media sea conocida e igual a cero.En tal caso, la función de densidad es Pertenece a la familia exponencial como puede apreciarse identificando En tal caso, la función de densidad es y pueden definirse Como ejemplo de una familia exponencial discreta puede considerarse la binomial.Su función de probabilidad es que puede escribirse también como De ahí que esté dentro de la familia exponencial con parámetro natural De acuerdo con el teorema de Pitman-Koopman-Darmois, dentro de las familias cuyo dominio no varía con el parámetro que se quiere estimar, sólo existe un estadístico suficiente cuya dimensión permanece constante al aumentar el tamaño muestral dentro de las familias exponenciales.Una distribución a priori conjugada π para el parámetro η de la familia exponencial es dondeLa familia exponencial uniparamétrica es una función monótonamente creciente de su estadístico suficiente T(x) siempre que η(θ) no sea decreciente.