Fórmula de la difracción de Kirchhoff
Proporciona una expresión para la perturbación de una onda cuando una onda esférica monocroma pasa a través de una abertura en una pantalla opaca.
La energía de la onda emitida por una fuente puntual decae en función del inverso del cuadrado de la distancia recorrida, por lo que la amplitud disminuye como el inverso de la distancia.
La amplitud compleja de la perturbación a una distancia r viene dada por La perturbación en un punto P se puede determinar aplicando el teorema integral a la superficie cerrada formada por la intersección de una esfera de radio R con la pantalla.
La integración se realiza en las áreas A1, A2 y A3, resultando
Para resolver la ecuación, se supone que los valores de U y ∂U/∂n en el área A1 son los mismos que cuando la pantalla no está presente, dando en Q:
Kirchhoff supone que los valores de U y ∂U/∂n en A2 son cero.
Esto implica que U y ∂U/∂n son discontinuos en el borde de la abertura.
Este no es el caso, y esta es una de las aproximaciones usadas para deducirar la ecuación.
La contribución de A3 a la integral también se supone que es cero.
Esto puede justificarse suponiendo que la fuente comienza a irradiar en un momento determinado y luego haciendo que "R" sea lo suficientemente grande, de modo que cuando se considere la perturbación en P, la aportación de A3 ya habrá llegado allí.
[1] Tal onda ya no es monocroma, y aunque se presupone que una onda monocromática debe existir en todo momento, esta condición no es estrictamente necesaria, y se ha deducido un argumento más formal para evitar su uso.
[4] Se tiene que Finalmente, los términos 1/r y 1/s se consideran insignificantes en comparación con k, ya que r y s son generalmente mucho más grandes que 2π/k, que es igual al longitud de onda.
Por lo tanto, la integral anterior, que representa la amplitud compleja en P, se convierte en Esta es la fórmula de la difracción de Kirchhoff o de Fresnel y Kirchhoff.
El Principio de Fresnel - Huygens puede deducirse integrando sobre una superficie cerrada diferente.
El área A1 anterior se reemplaza por un frente de onda desde P0, que casi llena la abertura, y una porción de un cono con un vértice en P0, que está etiquetada como A4 en el diagrama.
También se tiene que donde χ se ajusta a su definición según el Principio de Fresnel - Huygens, y cos (n, r) = 1.
La amplitud compleja del frente de onda en r0 viene dada por
Supóngase que la abertura está iluminada por una fuente de ondas extensa.
[5] La amplitud en la abertura según su expresión compleja viene dada por U0(r).
Se supone, como antes, que los valores de U y ∂U/∂n en el área A1 son los mismos que cuando la pantalla no está presente, que los valores de U y ∂U/∂n en A2 son cero (condiciones de contorno de Kirchhoff) y que la contribución de A3 a la integral también es cero.
Para resolver esta ecuación con una fuente extendida, se requeriría una integración adicional para sumar las contribuciones hechas por los puntos individuales en la fuente.
Sin embargo, si se supone que la luz de la fuente en cada punto de la abertura tiene una dirección bien definida, que es el caso si la distancia entre la fuente y la abertura es significativamente mayor que la longitud de onda, entonces se puede escribir
Esto se debe principalmente a que la longitud de onda de la luz es mucho más pequeña que las dimensiones de cualquier obstáculo encontrado.
Una de las suposiciones importantes hechas para llegar a la fórmula de la difracción de Kirchhoff es que r y s son significativamente mayores que λ.
Se puede hacer una aproximación más, lo que simplifica aún más la ecuación: las distancias P0Q y QP son mucho mayores que las dimensiones de la abertura.
Esto permite hacer dos aproximaciones adicionales: Se pueden expresar r y s de la siguiente manera: que pueden expandirse como series de potencias: La amplitud compleja en P ahora se puede expresar como donde f( x', y') incluye todos los términos en las expresiones anteriores para s y r aparte del primer término en cada expresión y puede escribirse en la forma donde los términos ci son constantes.
Si se pueden despreciar todos los términos en f(x', y') a excepción de los términos en x' e y', se tiene la ecuación de la difracción de Fraunhofer.
Esto también se puede escribir en la forma donde k 0 y k son los vectores de onda de las ondas que viajan de P0 a la abertura y de la abertura a P respectivamente, y r' es un punto en la abertura.
Si la fuente puntual es reemplazada por una fuente extensa cuya amplitud compleja en la abertura viene dada por U0(r'), entonces la ecuación de la difracción de Fraunhofer es: donde a0(r') es, como antes, la magnitud de la perturbación en la abertura.
Se usan las aproximaciones para la ecuación de Kirchhoff, y las suposiciones adicionales son:
