Dirección principal

Dada una magnitud física de tipo tensorial T se plantea el problema matemático de buscar los vectores no nulos v que cumplan la ecuación:Dicho problema constituye un problema matemático de vectores propios, donde los autovalores (o valores principales) son valores del parámetro λ para los que existe solución y cada una de las rectas generadas por un vector v se llaman dirección principal.El significado físico tanto de los valores y direcciones principales varía según la magnitud tensorial considerada.Como es sabido en mecánica del sólido rígido, la inercia rotacional de un cuerpo viene caracterizada por un tensor llamado tensor de inercia, que en una base ortogonal se expresa mediante una matriz simétrica.Los ejes principales de inercia son precisamente las rectas o ejes formadas por vectores propios del tensor de inercia.El hecho de que el giro alrededor de un eje principal sea tan simple se debe a que, cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular L y la velocidad angular ω son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal:Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje.En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes.Puede probarse además que si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.El estado de tensión-deformación de sólido deformable viene caracterizado por dos campos tensoriales asociados a la tensión y deformación del mismo (que a su vez están relacionados por la llamada ecuación constitutiva del material).Si examinamos un punto cualquiera del sólido y tomamos una base ortonormal, tenemos que el estado de tensión-deformación viene caracterizado por dos matrices simétricas asociadas al tensor tensión y al tensor deformación.Dado un punto de un sólido deformable siempre existe al menos una tensión principal y como máximo tres valores diferentes.Físicamente las direcciones principales de tensión son perpendiculares a planos tales que en el punto considerado solo existe una tensión normal al plano de valor σ pero no existen esfuerzos de cizalla ni tensiones tangenciales τ.Una deformación físicamente admisible de un sólido deformable viene caracterizada por un difeomorfismo TD cuyo jacobiano DTD(x,y,z) es positivo en todo instante y para todos los puntos del cuerpo.Puede demostrarse que fijado un punto de un sólido deformable, toda deformación físicamente admisible puede aproximarse localmente por tres alargamientos (o acortamientos) εi según direcciones perpendiculares, el valor de estos alargamientos εi puede determinarse resolviendo para cada punto la siguiente ecuación:Las tres direcciones según las cuales se producirían estos alargamientos son precisamente las rectas que pasan por el punto considerado y son paralelas a cada uno de los vectores ni.