Forman un sistema de ecuaciones en derivadas parciales complejas con puntos singulares regulares satisfechos por las N-funciones de campo principal y puede obtenerse utilizando ya sea el formalismo del álgebra de Lie o del álgebra de vértice.
denote el álgebra de Lie afín con nivel
y número de Coxeter dual
Esto es muy similar al caso en modelos mínimos, donde la existencia de vectores nulos resultan en restricciones adicionales sobre las funciones de correlación.
es un vector de peso más alto y
corriente asociada con el generador afín
en él se anulan y sólo
La correspondencia de operador-estado entonces conduce directamente a las ecuaciones de Knízhnik–Zamolódchikov tal como se indica arriba.
Desde el tratamiento en Tsuchiya y Kanie (1988), la ecuación de Knízhnik–Zamolódchikov ha sido formulada matemáticamente en el idioma del álgebra de vértices debido a Borcherds (1986) y Frenkel, Lepowsky y Meurman (1988).
Este enfoque se popularizó entre los físicos teóricos por Goddard (1988) y entre los matemáticos por Kac (1996).
La derivación d actúa como el operador de energía L0 en h0, que puede escribirse como una suma directa de los eigenespacios enteros no negativos de L0, el espacio de cero energía generada por el vector vacío Ω.
El valor propio de un vector propio de L0 se llama energía.
Para cada estado a en L hay un operador de vértice V (a,z) que crea a del vector vacío Ω, en el sentido que Los operadores de vértice de energía 1 corresponden a los generadores de la álgebra afín donde X corre sobre los elementos de la subyacente álgebra de Lie simplemente compleja de dimensión finita
Hay un vector propio de energía 2 L−2Ω que los generadores de Ln del álgebra de Virasoro asociada al álgebra Kac–Moody por la construcción de Segal–Sugawara Si a tiene energía α, entonces el operador vértice correspondiente tiene la forma Los operadores de vértice satisfacen así como las relaciones de localidad y asociatividad Estas dos últimas relaciones son entendidas como continuaciones analíticas: los productos interno con vectores de energía finita de las tres expresiones definen los mismos polinomios en z±1, w± 1 y (z – w)−1 en los dominios |z| < |w|, |z| > |w| y |z – w| < |w.
Todas las relaciones estructurales del álgebra Kac–Moody y Virasoro pueden recuperarse de estas relaciones, incluyendo la construcción de Segal–Sugawara.
Cada otra representación integral de Hi al mismo nivel, se convierte en un módulo para el álgebra de vértice, en el sentido de que para cada es un operador de vértice Vi(a,z) en Hi que Los operadores más generales de vértice en un nivel determinado son operadores de entrelazamiento Φ(v,z) entre representaciones Hi y Hj donde se encuentra que la v yace en Hk.
Estos operadores también pueden escribirse como pero δ puede ser ahora número racional.
Nuevamente estos operadores de entrelazamiento se caracterizan por propiedades y las relaciones con L0 y L– 1 similares a los de arriba.
, el operador Φ(v,w) se llama campo primario de carga k. Dada una cadena de n campos primarios empezando y terminando en H0, su correlación n-punto de función se define por En la literatura física la vi se suprime a menudo y el campo principal escrito Φi(zi), con el entendimiento que es etiquetado como por la representación irreducible correspondiente de
para la forma asesina, se puede deducir las ecuaciones de Knízhnik–Zamolódchikov mediante integración de la función de correlación en primer lugar en la variable w alrededor de un pequeño círculo centrado en z; por el teorema de Cauchy, el resultado puede expresarse como suma de integrales alrededor de n pequeños círculos centrados en la zj' s: Integrando ambos lados en la variable z sobre un pequeño círculo centrado en zi produce la ecuación ith Knízhnik–Zamolódchikov.
El término Φ (vi,zi) puede cambiarse en la función de correlación por su conmutador con Lr donde r = 0 o ±1.
El resultado puede expresarse en términos de la derivada con respecto a zi.
Por otro lado Lr también viene dada por la fórmula de Segal–Sugawara: Después de sustituir estas fórmulas para Lr, las expresiones resultantes pueden simplificarse utilizando las fórmulas de conmutador La prueba original de Knizhnik y Zamolodchikov (1984), reproducido en Tsuchiya y Kanie (1988), utiliza una combinación de dos de los métodos anteriores.
En primer lugar tenga en cuenta que para X en
Por lo tanto Por otro lado Para El resultado se sigue utilizando este límite en la igualdad anterior.