Distribución T² de Hotelling
En estadística la distribución T² (T-cuadrado) de Hotelling es importante porque se presenta como la distribución de un conjunto de estadísticas que son una generalización natural de las estadísticas subayacentes distribución t de Student.
En particular, la distribución se presenta en estadísticas multivariadas en pruebas de diferencias entre las medias (multivariadas) de diferentes poblaciones, donde las pruebas para problemas univariados usarían la Prueba t. Es proporcional a la distribución F. La distribución recibe su nombre de Harold Hotelling, quien la desarrollo[1] como una generalización de la distribución t de Student.
tiene distribución normal multivariada con media cero y matriz de covarianza unitaria
es una matriz de tamaño
con matriz unitaria escalada y
los grados de libertad con distribución de Wishart
{\displaystyle W({\boldsymbol {I}}_{p,p},m)}
tiene distribución de Hotelling con parámetros
tiene distribución T-cuadrado de Hotelling con parámetros
es la distribución F con parámetros
La estadística T-cuadrado de Hotelling es una generalización de la estadística t de Student que se usa en las pruebas de hipótesis multivariadas, y se define como sigue:[1] Sea
{\displaystyle {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {\Sigma } })}
, que denota una distribución normal p-variada con vector de medias
variables aleatorias independientes, las cuales pueden representarse como un vector columna de orden
de números reales.
Defínase como la media muestral.
es una distribución ji-cuadrado con p grados de libertad.
Para demostrar eso se usa el hecho que
{\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}\sim {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {\Sigma } }/n)}
y entonces, al derivar la función característica de la variable aleatoria
es por lo general desconocida y se busca hacer una prueba de hipótesis sobre el vector de medias
Defínase como la covarianza muestral.
La traspuesta se ha denotado con un apóstrofo.
Se demuestra que
es una matriz definida positiva y
sigue una distribución Wishart p-variada con n−1 grados de libertad.
[2] La estadística T-cuadrado de Hotelling se define entonces como porque se demuestra que [cita requerida] es decir donde
Para calcular un p-valor, multiplique la estadística t2 y la constante anterior y use la distribución
