[2] Informalmente, y quizás menos directamente, dado que el concepto de Hilbert de un "problema variacional regular" identifica precisamente un problema variacional cuyas ecuaciones de Euler-Lagrange son una ecuación diferencial parcial elíptica con coeficientes analíticos,[3] El decimonoveno problema de Hilbert, a pesar de su afirmación aparentemente técnica, simplemente pregunta si, en esta clase de ecuación en derivadas parciales, cualquier función solución hereda la estructura relativamente simple y bien entendida de la ecuación resuelta.
David Hilbert presentó el ahora llamado problema decimonoveno de Hilbert en su discurso en el segundo Congreso Internacional de Matemáticos.
"[10] y pregunta además si este es el caso incluso cuando se requiere que la función asuma, como sucede con el problema de Dirichlet en la función potencial, valores de frontera que son continuos, pero no analíticos.
[7] Hilbert planteó su decimonoveno problema como un problema de regularidad para una clase de ecuación diferencial parcial elíptica con coeficientes analíticos,[7] por lo tanto los primeros esfuerzos de los investigadores que buscaron resolverlo se dirigieron a estudiar la regularidad de las soluciones clásicas de las ecuaciones pertenecientes a esta clase.
Para las soluciones C 3 , el problema de Hilbert fue respondido positivamente por Sergei Natanovich Bernstein (1904) en su tesis: demostró que las soluciones C 3 de ecuaciones analíticas elípticas no lineales en 2 variables son analíticas.
Este vacío fue llenado de forma independiente por Ennio de Giorgi (1956-1957) y John Forbes Nash (1957-1958).
Precisamente,Maz'ya (1968) dio varios contraejemplos que involucran una sola ecuación elíptica de orden mayor que dos con coeficientes analíticos:[13] para los expertos, el hecho de que este tipo de ecuaciones pudieran tener soluciones no analíticas e incluso no suaves causó sensación.
[14]De Giorgi (1968) y Giusti y Miranda (1968) dieron contraejemplos que muestran que en el caso de que la solución tenga un valor vectorial en lugar de un valor escalar, no es necesario que sea analítica: el ejemplo de De Giorgi consiste en un sistema elíptico con coeficientes acotados, mientras que el de Giusti y Miranda tiene coeficientes analíticos.
El problema de Hilbert pregunta si los minimizadores
de una energía funcional como son analíticos.
que satisface ciertas condiciones de crecimiento, suavidad y convexidad.
Las ecuaciones de Euler-Lagrange para este problema variacional son la ecuación no lineal y diferenciar esto con respecto a
satisface la ecuación lineal con así que según el resultado de De Giorgi, la solución w tiene primeras derivadas continuas de Hölder, siempre que la matriz
es continua de Lipschitz, es decir, el gradiente
Según su estimación, Nash pudo deducir una estimación de continuidad para soluciones de la ecuación elíptica