En matemáticas, la derivada débil es una generalización del concepto de derivada de una función que se asume como no diferenciable, pero sí integrable, es decir, residen en un espacio Lp
{\displaystyle \mathrm {L} ^{1}([a,b])}
Véase distribución para una definición aún más generalizada.
una función en un espacio de Lebesgue
es una derivada débil de
si y sólo si: para cualquier
{\displaystyle \mathbb {C} _{0}^{\infty }([a,b])}
Esta definición está motivada por la técnica de integración por partes.
se encuentran en el espacio
l o c
de funciones localmente integrables para algunos conjuntos abiertos
es un multiíndice, decimos que
-ésima derivada débil de
, es decir, para cualquier función infinitamente diferenciable
tiene derivada débil, a menudo escrita como
, ya que la derivada débil es única (por lo menos, en un conjunto de medida cero).
Este concepto da lugar a la definición de soluciones débiles en espacios de Sóbolev, que son útiles para los problemas de ecuaciones diferenciales y en el análisis funcional.