Pasó por las divisiones inferiores de Club Atlético Independiente, las que dejó en 2009, para ser fichado por el Arsenal, de Inglaterra, con el que firmó su primer contrato como profesional en 2012.Más adelante tendría un paso por Wolverhampton United, Getafe y Reading, todos en condición de préstamo.En 2020 retornó al Arsenal y a pesar de que tuvo excelentes actuaciones, fue transferido en septiembre a Aston Villa en un valor que lo convirtió en el arquero argentino más caro de la historia.Con la selección mayor hizo su debut en 2021, en un partido de las eliminatorias sudamericanas frente a Chile.Participó por primera vez de la Copa América y se consagró campeón tras vencer a Brasil en la final.Fue determinante en varios partidos de la competición y por esa razón ganó el premio al mejor arquero.Su primera participación en una Copa Mundial de Fútbol se dio ese mismo año, en Catar.En sus inicios vistió las camisetas de General Urquiza, Talleres (a cuadras del Colegio Sagrada Familia, al que concurría, en su barrio) y San Isidro, todos clubes marplatenses.A los diez años hizo pruebas en River Plate y Boca Juniors, donde no fue considerado, y volvió al fútbol marplatense, en el que se desempeñó hasta los trece años,[16][17] para luego probarse en Independiente, en donde fue aceptado y formó parte de las divisiones inferiores hasta 2009.[20] La titularidad le resultó esquiva en el Arsenal, teniendo por delante a arqueros como Manuel Almunia, Łukasz Fabiański, Wojciech Szczęsny y Vito Mannone, entre otros.[36] Esto hizo que terminara la temporada como portero titular del club y fue muy elogiado por una serie de actuaciones estelares,[37][38] y el ex-delantero del Arsenal Ian Wright lo describió como "dominante" y que había jugado "brillantemente" durante su prolongada estancia en el equipo.[39] El 1 de agosto, Martínez fue seleccionado para ser titular en la final de la FA Cup contra el Chelsea, y realizó algunas paradas cruciales para ayudar al Arsenal a ganar su 14.ª FA Cup; tras levantar el trofeo se mostró visiblemente emocionado y se le saltaron las lágrimas.[56][57] Junto con el equipo lograron terminar la temporada 2023/2024 por la Premier League con un histórico cuarto lugar, quedando solo por detrás del campeón Manchester City.[58] El 2 de octubre de 2024 por la segunda fecha del torneo continental, el Aston Villa recibiría al histórico Bayern Múnich, Emiliano hizo un gran partido protagonizado un total de 7 atajadas y manteniendo su arco en cero, esto significo una victoria histórica del Villa sobre los bávaros.[66] En la final, Argentina se impuso a Brasil (1:0), y el guardameta no concedió ningún gol.Además, fue nombrado mejor portero del torneo por segunda vez consecutiva.Su objetivo final es poner la mayor presión posible sobre el lanzador y crear un momento de vacilación o duda durante su carrera.Hacer el ridículo en la portería, poner nerviosos a mis oponentes, cruzar esa línea... Soy un hombre demasiado racional y honesto para ir por ese camino".Sin embargo, periodistas argentinos remarcaron que efectuó un gesto similar al recibir el premio al mejor arquero en la Copa América 2021,[93] siendo esta otra de las múltiples cábalas del equipo.[96][97] Durante las celebraciones en Buenos Aires por la obtención de la Copa Mundial de Fútbol 2022, los aficionados le regalaron un muñeco que personificaba a un bebé con la cara del jugador francés Kylian Mbappé; Martínez gesticuló la palabra «silencio» situando su dedo índice sobre los labios, aludiendo a lo ocurrido en el vestuario.Su apodo «Dibu» surgió cuando tan solo era un niño y se debe a su parecido con el protagonista homónimo de la serie argentina Mi familia es un dibujo.
Martínez en el evento
Arsenal Members Day
, con el Arsenal, en julio de 2015.
Martínez en 2018 previo al encuentro con el
Paris Saint-Germain
, que terminaría 5:1 a favor del Arsenal.
