Cortes de Dedekind
Las cortaduras de Dedekind son clases de números racionales que representan la primera construcción formal[cita requerida] del conjunto de los números reales.
Con su aparición se cierra el problema histórico de la fundamentación del Análisis Matemático.
es un corte de Dedekind (o simplemente un corte) si cumple las siguientes propiedades: Si tomamos un número racional arbitrario
se denominará corte racional (asociada a
Es evidente que a todo número racional le corresponde un corte racional y solamente uno.
Podemos establecer así una aplicación inyectiva
que al número racional
le asocie el corte racional
es corte racional si y solo si existe
En el conjunto de los números reales (conjunto de todos los cortes),
Denominamos cero a la cortadura racional
es estrictamente positivo o no negativo si
es estrictamente negativo o no positivo si
es un corte, con lo que + representa una operación binaria en el conjunto de los números reales, operación denominada adición.
La adición provee al conjunto de los números reales de estructura de grupo abeliano, es decir, en
se verifican las propiedades asociativa, , existencia de elemento neutro (
de un elemento simétrico (opuesto)
Además, se da la compatibilidad de la suma con el orden, es decir, si
, entonces, cualquiera que sea el corte
la multiplicación de cortes no es tan sencilla de definir como la adición, se hace por casos.
es una operación interna en el conjunto de los números reales, operación que denominaremos multiplicación.
La multiplicación cumple las propiedades , asociativa, existe un elemento neutro
no es el corte cero, entonces existe elemento simétrico del corte
para el producto, denominado inverso de
es distributivo respecto de la suma.
El producto es compatible con el orden de los reales positivos: si
El conjunto de los números reales goza de ciertas propiedades que son particularmente sencillas de demostrar usando cortes de Dedekind, como son: Se puede probar que el conjunto de los números reales es el único que tiene estas propiedades, es decir, que si
es un cuerpo ordenado que verifica el principio del supremo, entonces
En ese caso se dirá que
es un sistema de números reales.
