En matemáticas, las coordenadas grassmannianas son la generalización del embebido de Plücker para k y n arbitrarios, y deben su nombre al matemático alemán Hermann Grassmann (1809-1877).
Las coordenadas homogéneas de la imagen del
Grassmanniano bajo el embebido de Plücker, relativas a la base en el espacio exterior
es el cuerpo base) se denominan coordenadas plückerianas.
A su vez, la aplicación de Plücker incorpora el grassmanniano
, cuyos elementos son subespacios k-dimensionales de un espacio vectorial n-dimensional V, ya sea real o complejo, en un espacio proyectivo, realizándolo así como una variedad algebraica proyectiva.
Más precisamente, Plücker asigna el embebido
La imagen es algebraica y consiste en la intersección de una serie de cuádricas definidas por las relaciones de Plücker (véase más abajo).
como una forma de describir las líneas en un espacio tridimensional (que, como rectas proyectivas en el espacio proyectivo real, corresponden a subespacios bidimensionales de un espacio vectorial de cuatro dimensiones).
, el embebido de Plücker es la aplicación ι definida por: donde
{\displaystyle {\mathcal {W}}\in \mathbf {Gr} (k,V)}
es la clase de equivalencia proyectiva del elemento
Esta es una incorporación del grassmanniano a la proyectivización
La imagen se puede caracterizar completamente como la intersección de una serie de cuádricas, las cuádricas de Plücker, que se expresan mediante relaciones cuadráticas homogéneas en las coordenadas de Plücker (véase más abajo) que se derivan del álgebra lineal.
Esto muestra que el grassmanniano se incorpora como una subvariedad algebraica de
Para establecer las relaciones de Grassmann-Plücker, sea
{\displaystyle {\mathcal {W}}\in \mathbf {Gr} (k,V)}
-dimensional abarcado por la base representada por los vectores columna
de coordenadas homogéneas, cuyas columnas son
están relacionadas entre sí mediante la multiplicación por la derecha por una matriz
son las coordenadas plückerianas del elemento
{\displaystyle {\mathcal {W}}\in \mathbf {Gr} (k,V)}
bajo la aplicación de Plücker, relativas a la base estándar en el espacio exterior
Cambiar la base que define la matriz de coordenadas homogéneas
Para dos secuencias ordenadas cualesquiera de enteros positivos
, las siguientes ecuaciones homogéneas son válidas y determinan la imagen de
Generalmente se las conoce como relaciones de Plücker.
Cuando dim(V) = 4 y k = 2, se obtiene
, el grassmanniano más simple que no es un espacio proyectivo, y lo anterior se reduce a una sola ecuación.
bajo el mapa de Plücker está definida por la ecuación única En general, se necesitan muchas más ecuaciones para definir la imagen del embebido de Plücker, como en (1), pero no son, en general, algebraicamente independientes.