Conjetura de Euler

Se desconoce si la conjetura falla o es válida para cualquier valor k ≥ 6.

[1]​[2]​ La solución general de la ecuación es donde a y b son enteros cualesquiera.

[3]​ Se conocen un total de tres contraejemplos primitivos (es decir, en los que no todos los sumandos tienen un factor común): En 1988, Noam Elkies publicó un método para construir una serie infinita de contraejemplos para el caso k = 4.

En 1988, Roger Frye encontró el contraejemplo más pequeño posible para k = 4 realizando una búsqueda informática directa mediante técnicas sugeridas por Elkies.

[7]​ En 1967, LJ Lander, TR Parkin y John Selfridge conjeturaron[8]​ que si donde ai ≠ bj son números enteros positivos para todo 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ j ≤ m, entonces m + n ≥ k. En el caso especial m = 1, la conjetura establece que si bajo las condiciones dadas anteriormente, entonces n ≥ k − 1.