Propiedad del límite superior mínimo
No todos los conjuntos (parcialmente) ordenados tienen la propiedad del límite superior mínimo.
de todos los números racionales con su orden natural no tiene la propiedad del límite superior mínimo.
Un orden total que es denso y tiene la propiedad de límite superior mínimo se denomina continuo lineal.
Por ejemplo, el conjunto Q de los números racionales no tiene la propiedad del límite superior mínimo en el orden habitual.
En este caso, el teorema del valor intermedio establece que f debe tener un raíz en el intervalo [a, b].
Este teorema se puede demostrar considerando el conjunto Es decir, S es el segmento inicial de [a, b] que toma valores negativos bajo f. Entonces b es un límite superior para S, y el límite superior mínimo debe ser una raíz de f. El teorema de Bolzano-Weierstrass para R establece que cada sucesión xn de números reales en un intervalo cerrado [a, b] debe tener una subsucesión convergente.
Además, b es un límite superior para S, por lo que S tiene un límite superior mínimo c. Entonces c debe ser un punto de acumulación de la secuencia xn, y se deduce que xn tiene una subsecuencia que converge a c. Sea f : [a, b] → R un función continua y sea M = sup f ([a, b]), donde M = ∞ si f ([a, b]) no tiene límite superior.
La importancia de la propiedad del límite superior mínimo fue reconocida por primera vez por Bernard Bolzano en su artículo de 1817 Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege.
