Dos convenciones de notación opuestas dividen el campo del cálculo matricial en dos grupos distintos.
Sin embargo, incluso dentro de un mismo campo, puede haber autores que utilicen convenciones opuestas.
Los autores de ambos grupos suelen escribir como si sus convenciones específicas fueran estándar.
Como otro ejemplo, si tenemos un n-vector de variables dependientes, o funciones, de m variables independientes podríamos considerar la derivada del vector dependiente con respecto al vector independiente.
El resultado podría recogerse en una matriz m×n formada por todas las combinaciones de derivadas posibles.
Hay un total de nueve posibilidades utilizando escalares, vectores y matrices.
Los seis tipos de derivadas que pueden organizarse mejor en forma matricial se recogen en la siguiente tabla.
Además, hemos utilizado letras negritas para indicar vectores y mayúsculas para matrices.
Esto incluye la derivación de: Las derivadas vectoriales y matriciales presentadas en las secciones siguientes aprovechan al máximo la notación matricial, utilizando una única variable para representar un gran número de variables.
En lo que sigue distinguiremos escalares, vectores y matrices por su tipo de letra.
Generalmente se utilizarán letras de la primera mitad del alfabeto (a, b, c, ...) para denotar constantes, y de la segunda mitad (t, x, y, ...) para denotar variables.
NOTA: Como se ha mencionado anteriormente, existen notaciones que compiten entre sí para presentar sistemas de derivadas parciales en vectores y matrices, y no parece que esté surgiendo todavía ningún estándar.
Las dos secciones introductorias siguientes utilizan la convención de disposición del numerador simplemente por conveniencia, para evitar complicar demasiado la discusión.
Sin embargo, muchos problemas en la teoría de la estimación y otras áreas de la matemática aplicada darían lugar a demasiados índices como para poder seguirlos adecuadamente, lo que apunta a favor del cálculo matricial en esas áreas.
Además, la notación de Einstein puede ser muy útil para demostrar las identidades presentadas aquí (véase la sección sobre diferenciación) como alternativa a la notación típica de elementos, que puede resultar engorrosa cuando se llevan las sumas explícitas.
Las notaciones desarrolladas aquí pueden acomodar las operaciones usuales del cálculo vectorial identificando el espacio M(n,1) de n-vectores con el espacio euclídeo Rn, y el escalar M(1,1) se identifica con R. El concepto correspondiente del cálculo vectorial se indica al final de cada subsección.
NOTA: La discusión en esta sección asume la convención de disposición del numerador con fines pedagógicos.
En la sección sobre convenciones de disposición se trata esta cuestión con más detalle.
, por un escalar x se escribe (en notación de disposición del numerador) como
En cálculo vectorial, la derivada de una función vectorial y con respecto a un vector x cuyas componentes representan un espacio se conoce como pushforward (o diferencial), o matriz jacobiana.
El pushforward a lo largo de una función vectorial f con respecto al vector v en Rn viene dado por
Hay dos tipos de derivadas con matrices que se pueden organizar en una matriz del mismo tamaño.
Nota: La discusión en esta sección asume la convención de disposición del numerador con fines pedagógicos.
En la sección sobre convenciones de disposición se trata este tema con más detalle.
En analogía con el cálculo vectorial, esta derivada suele escribirse de la siguiente manera.
Después de esta sección, las ecuaciones se enumerarán en las dos formas que compiten por separado.
Como se ha indicado anteriormente, los casos en los que los denominadores de vectores y matrices se escriben en notación de transposición son equivalentes a la disposición del numerador con los denominadores escritos sin la transposición.
Las siguientes identidades adoptan las siguientes convenciones: Esto se presenta en primer lugar porque todas las operaciones que se aplican a la diferenciación vector-por-vector se aplican directamente a la diferenciación escalar-por-vector o escalar simplemente reduciendo el vector apropiado en el numerador o denominador a un escalar.
en disposición de denominador NOTA: Las fórmulas que implican las derivadas vector-por-vector
En ese sentido, (Para el último paso, véase la sección Conversión de forma diferencial a derivada).