Billar dinámico
Un billar dinámico es un sistema dinámico en el cual una partícula alterna entre movimiento rectilíneo y reflexiones especulares en un contorno o frontera.
Los billares dinámicos también se pueden estudiar en geometrías no euclidianas; en efecto los primeros estudios de los billares establecieron su movimiento ergódico sobre superficies de curvatura negativa constante.
El movimiento de la partícula en el billar es una línea recta, con energía constante, entre reflexiones en la frontera (una geodésica para toda curvatura de la mesa).
Todas las reflexiones son especulares: el ángulo de incidencia justo antes del impacto es igual al ángulo de reflexión justo después del choque.
La sucesión de reflexiones se denomina el mapa del billar y caracteriza por completo el movimiento de la partícula.
Birkhoff demostró que un sistema de billar con una mesa elíptica es integrable.
Los billares unidimensionales (o sea hard rods) poseen caos determinista y son ergódicos si tienen diferentes masas.
El hamiltoniano de una partícula de masa m que se desplaza en forma libre sin fricción sobre una superficie es:
donde se mueve la partícula, e infinito en todos los otros sitios:
Este tipo de potencial garantiza una reflexión especular en el borde.
El término cinético garantiza que la partícula se mueva en línea recta, sin ningún cambio en su energía.
Si la partícula se desplaza en una variedad no euclidiana, entonces el hamiltoniano es reemplazado por: donde
El modelo posee solución exacta, la que corresponde al flujo geodésico en la superficie.
Es el caso más antiguo de caos determinista que se haya estudiado, el mismo fue desarrollado y analizado por Jacques Hadamard en 1898.
Los billares de Artin analizan el movimiento de una partícula libre en una superficie que posee una curvatura negativa constante, en particular la superficie de Riemann más simple no compacta, una superficie con un cusp.
Estos billares se destacan por poseer soluciones exactas, que no son solo ergódicas sino también fuertemente mezcladas.
La mesa del billar de Sinái es cuadrada y en su centro se ha extraído una zona circular; la mesa es plana, no posee curvatura.
El billar surge de estudiar el comportamiento de dos discos que se desplazan dentro del billar cuadrado, reflejándose en los bordes del cuadrilátero y choques entre sí.
En cuanto a que sirve como modelode un gas clásico, el billar de Sinái es a veces denominado un gas de Lorentz.
El mayor logro que consiguió Sinái con este modelo fue demostrar que el ensamble de Boltzmann-Gibbs clásico para un gas ideal es esencialmente el más caótico de los billares de Hadamard.
La mesa llamada estadio de Bunimóvich es un rectángulo limitado por semi-círculos en dos lados opuestos.
Bunimóvich demostró que, si se consideran las órbitas más allá del punto focal de una región cóncava, es posible obtener una divergencia exponencial.
La versión cuántica de los billares ha sido estudiada mediante distintos métodos.
El potencial que es infinito fuera de la región
, es decir, que tanto para masas muy grandes como para constante de Planck nula, se recupera el comportamiento clásico.
