Ergodicidad

La ergodicidad es una propiedad de algunos sistemas mecánicos que permite justificar ciertos resultados de la mecánica estadística.Un sistema es ergódico si su valor esperado (el promedio de muchos sistemas independientes realizando el experimento) es igual a su promedio a largo plazo (el promedio de un único sistema realizando el experimento repetidamente, manteniendo su estado de una muestra al siguiente),[1]​ de modo que sus propiedades estadísticas promedio pueden deducirse de una única muestra aleatoria suficientemente grande del comportamiento del sistema.Un sistema ergódico se puede representar por un espacio de estadosQue asigna a cada estado el estado futuro pasado un tiempo t. Las aplicaciones anteriores con la composición de funciones forman un semigrupo (y si están definidas las inversas un grupo uniparamétrico).un espacio de medida en el que se ha definido un grupo uniparamétrico (o alternativamente semigrupo) de aplicaciones medibles.un conjunto invariante por las aplicaciones es decir tal que:Entonces el sistema es ergódico si y solamente si: Es decir, si los únicos conjuntos invariantes son o todo el espacio (trivialmente) o conjuntos de medida nula (es decir, conjuntos neglibles probabilísticamente).En los sistemas ergódicos es válido el teorema de Birkhoff que permite sustituir promedios temporales del sistema por un promedio espacial sobre una región del espacio de las fases.El enunciado del teorema ergódico, debido a Birkhoff (1931) es el siguiente:Se puede considerar el "promedio temporal" de una función f que se comporta lo suficientemente bien (más precisamente,Este "promedio temporal" se define como la medida sobre las iteraciones de T empezando en cierto punto x y cuando existe es: Si se considera además el "promedio espacial" de f, definido como: donde μ es la medida de probabilidad del espacio: