Se dice que un anillo R es un anillo primitivo izquierdo si tiene un módulo R izquierdo simple y fiel.
Hay anillos que son primitivos, por un lado, pero no por el otro.
Una caracterización interna de los anillos primitivos izquierdos es la siguiente: un anillo es primitivo izquierdo si y sólo si hay un ideal izquierdo máximo que no contenga ideales bilaterales distintos de cero.
Otra definición equivalente establece que un anillo queda primitivo si y sólo si es un anillo primo con un módulo izquierdo fiel de longitud finita (Lam, 2001, Ej.
Para un anillo artiniano izquierdo, se sabe que las condiciones "primitivo izquierdo", "primitivo derecho", "primo" y "simple" son todas equivalentes, y en este caso se trata de un anillo semisimple isomorfo a un anillo de matriz cuadrada sobre un anillo de división.
Un anillo conmutativo se deja primitivo si y sólo si es un campo.
, donde I es un conjunto de índices cuyo tamaño es la dimensión de V sobre D. Del mismo modo, los anillos lineales completos derechos se pueden realizar como matrices finitas de columnas sobre D. Usando esto podemos ver que hay anillos primitivos izquierdos no simples.
Según la caracterización de densidad de Jacobson, un anillo lineal completo izquierdo R siempre se deja primitivo.