Método de Newton
Sin embargo, su descripción difiere en forma sustancial de la descripción moderna presentada más arriba: Newton aplicaba el método solo a polinomios, y no consideraba las aproximaciones sucesivas xn, sino que calculaba una secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la raíz x.
Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y falla al no ver la conexión con el cálculo.
El método de Newton-Raphson es llamado así por el matemático inglés Joseph Raphson (contemporáneo de Newton) se hizo miembro de la Royal Society en 1691 por su libro Aequationum Universalis, publicado en 1690, que contenía este método para aproximar raíces.
Newton en su libro Método de las fluxiones describe el mismo método, en 1671, pero no fue publicado hasta 1736, lo que significa que Raphson había publicado este resultado 46 años antes.
Aunque no fue tan popular como los trabajos de Newton, se le reconoció posteriormente.
La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada.
Se realizarán sucesivas iteraciones acorde al método, hasta alcanza suficiente convergencia.
La versión más básica consiste en iniciar el procedimiento con una función real, su derivada
El proceso se reitera como hasta alcanzar un valor suficientemente preciso.
El número de dígitos correctos, aproximadamente se duplica en cada paso.
Tres son las formas principales por las que tradicionalmente se ha obtenido el algoritmo de Newton-Raphson.
En efecto, atendiendo al desarrollo geométrico del método de la secante, podría pensarse en que si los puntos de iteración están lo suficientemente cerca (a una distancia infinitesimal), entonces la secante se sustituye por la tangente a la curva en el punto.
se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (
)) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto,
Matemáticamente: En la ilustración adjunta del método de Newton se puede ver que
: Si se trunca el desarrollo a partir del término de grado 2, y evaluamos en
Por otro lado, la convergencia del método se demuestra cuadrática para el caso más habitual sobre la base de tratar el método como uno de punto fijo: si g (r)=0, y g'(r) es distinto de 0, entonces la convergencia es cuadrática.
Sin embargo, está sujeto a las particularidades de estos métodos.
Así, es necesario partir de una aproximación inicial próxima a la raíz buscada para que el método converja y cumpla el teorema de convergencia local.
Se puede demostrar que el método de Newton-Raphson tiene convergencia cuadrática: si
Esto significa que si en algún momento el error es menor o igual a 0,1, a cada nueva iteración doblamos (aproximadamente) el número de decimales exactos.
Se detiene el proceso iterativo cuando este error relativo es aproximadamente menor que una cantidad fijada previamente.
[3] El concepto principal detrás del FCS es la caracterización de los elementos del cálculo fraccional utilizando conjuntos debido a la gran cantidad de operadores fraccionales disponibles.
[8][9][10] El cálculo fraccional, una rama de las matemáticas que trata con derivadas de orden no entero, surgió casi simultáneamente con el cálculo tradicional.
En ese momento, Leibniz no pudo proporcionar una interpretación física o geométrica para esta pregunta, por lo que simplemente respondió a L’Hopital en una carta que "... es una aparente paradoja de la cual, algún día, se derivarán consecuencias útiles".
El nombre "cálculo fraccional" se origina a partir de una pregunta histórica, ya que esta rama del análisis matemático estudia derivadas e integrales de un cierto orden
En consecuencia, cuando no es necesario especificar explícitamente la forma de una derivada fraccional, típicamente se denota de la siguiente manera: Los operadores fraccionales tienen varias representaciones, pero una de sus propiedades fundamentales es que recuperan los resultados del cálculo tradicional a medida que
que corresponde al caso más general del método de Newton-Raphson fraccional.
Ejemplos de esto se pueden encontrar en varios artículos publicados en revistas de renombre, como los que aparecen en ScienceDirect [13], [14], Springer [15], World Scientific [16], y MDPI [17], [18], [19], [20], [21], [22] , [23], [24] .
También se incluyen estudios de Taylor & Francis (Tandfonline) [25] , Cubo [26] , Revista Mexicana de Ciencias Agrícolas [27], Journal of Research and Creativity [28], MQR [29] , y Актуальные вопросы науки и техники [30].
