La afinación de cinco límites , afinación de 5 límites o afinación de 5 límites primos (que no debe confundirse con la afinación de 5 límites impares ) es cualquier sistema para afinar un instrumento musical que obtiene la frecuencia de cada nota multiplicando la frecuencia de una nota de referencia dada (la nota base) por productos de potencias enteras de 2, 3 o 5 ( números primos limitados a 5 o menores), como 2 −3 ·3 1 ·5 1 = 15/8 .
Las potencias de 2 representan movimientos interválicos por octavas. Las potencias de 3 representan movimientos por intervalos de quintas perfectas (más una octava, que se puede quitar multiplicando por 1/2, es decir, 2 −1 ). Las potencias de 5 representan intervalos de terceras mayores (más dos octavas, que se pueden quitar multiplicando por 1/4, es decir, 2 −2 ). Por lo tanto, las afinaciones de 5 límites se construyen completamente a partir del apilamiento de tres intervalos básicos de afinación pura (octavas, terceras y quintas). Dado que la percepción de la consonancia parece estar relacionada con los números bajos en la serie armónica, y la afinación de 5 límites se basa en los tres primos más bajos, la afinación de 5 límites debería ser capaz de producir armonías muy consonantes. Por lo tanto, la afinación de 5 límites se considera un método para obtener una entonación justa .
La cantidad de intervalos potenciales, clases de alturas, tonos, centros de teclas, acordes y modulaciones disponibles para afinaciones de 5 límites es ilimitada, porque ninguna potencia (entero distinto de cero) de ningún primo es igual a ninguna potencia de ningún otro primo, por lo que se puede imaginar que los intervalos disponibles se extienden indefinidamente en una red tridimensional (una dimensión o una dirección para cada primo). Si se ignoran las octavas, se puede ver como una red bidimensional de clases de alturas (nombres de notas) que se extiende indefinidamente en dos direcciones.
Sin embargo, la mayoría de los sistemas de afinación diseñados para instrumentos acústicos restringen el número total de tonos por razones prácticas. También es habitual (aunque no siempre) tener el mismo número de tonos en cada octava, lo que representa transposiciones de octavas de un conjunto fijo de clases de tonos. En ese caso, el sistema de afinación también puede considerarse como una escala de repetición de octavas de un cierto número de tonos por octava.
La frecuencia de cualquier tono en un sistema de afinación particular de 5 límites se puede obtener multiplicando la frecuencia de un tono de referencia fijo elegido para el sistema de afinación (como A440 , A442, A432, C256, etc.) por alguna combinación de las potencias de 3 y 5 para determinar la clase de tono y alguna potencia de 2 para determinar la octava.
Por ejemplo, si tenemos un sistema de afinación de 5 límites donde la nota base es C256 (lo que significa que tiene 256 ciclos por segundo y decidimos llamarla C), entonces f C = 256 Hz, o "la frecuencia de C es igual a 256 Hz". Hay varias formas de definir E por encima de este C. Usando terceras, uno puede subir un factor de 5 y bajar dos factores de 2, alcanzando una relación de frecuencia de 5/4, o usando quintas uno puede subir cuatro factores de 3 y bajar seis factores de 2, alcanzando 81/64. Las frecuencias se convierten en:
o
Suponiendo que nos limitamos a siete clases de tonos (siete notas por octava), es posible afinar la escala diatónica familiar usando la afinación de límite 5 de varias maneras, todas las cuales hacen que la mayoría de las tríadas estén afinadas de manera ideal y lo más consonantes y estables posible, pero dejan algunas tríadas en configuraciones interválicas menos estables.
Las notas prominentes de una escala dada están afinadas de modo que sus frecuencias formen proporciones de números enteros relativamente pequeños. Por ejemplo, en la tonalidad de sol mayor , la proporción de las frecuencias de las notas sol a re (una quinta perfecta ) es 3/2, mientras que la de sol a do es 2/3 (una quinta perfecta descendente) o 4/3 (una cuarta perfecta ) ascendente, y la de la tercera mayor sol a si es 5/4.
Una escala diatónica pura puede derivarse de la siguiente manera. Imaginando la tonalidad de Do mayor, supongamos que insistimos en que la raíz subdominante F y la raíz dominante G estén a una quinta (3:2) de la raíz tónica C en cada lado, y que los acordes FAC, CEG y GBD sean simplemente tríadas mayores (con relaciones de frecuencia 4:5:6):
Esta es la conocida como escala diatónica intensa de Ptolomeo . Aquí, la fila encabezada por "Natural" expresa todas estas proporciones utilizando una lista común de números naturales (multiplicando la fila anterior por el mcm de sus denominadores). En otras palabras, la aparición más baja de esta forma de escala de una octava dentro de la serie armónica es como un subconjunto de 7 de los 24 armónicos que se encuentran en la octava desde los armónicos 24 hasta el 48.
Las tres terceras mayores son correctas (5:4), y tres de las terceras menores son como se esperaba (6:5), pero de Re a Fa es un semiditono o tercera menor pitagórica (igual a tres quintas perfectas descendentes, ajustadas por octava), una coma sintónica más estrecha que una tercera menor correctamente afinada (6:5).
Como consecuencia, obtenemos una escala en la que EGB y ACE son simplemente tríadas menores (10:12:15), pero la tríada DFA no tiene la forma o el sonido menor que podríamos esperar, siendo (27:32:40). Además, la tríada BDF no es la tríada disminuida (25:30:36) que obtendríamos al apilar dos terceras menores 6:5, siendo (45:54:64) en su lugar: [1] [2]
Se puede observar que aparecen intervalos de escala básicos escalonados:
que pueden combinarse para formar intervalos más grandes (entre otros):
Otra forma de hacerlo es la siguiente. Pensando en la tonalidad relativa menor de La menor y utilizando Re, La y Mi como columna vertebral de quintas, podemos insistir en que los acordes DFA, ACE y EGB sean simplemente tríadas menores (10:12:15):
Si contrastamos esto con la escala anterior, vemos que para cinco pares de notas sucesivas las proporciones de los pasos siguen siendo las mismas, pero en una nota, D, los pasos CD y DE han cambiado sus proporciones.
Las tres terceras mayores siguen siendo 5:4, y tres de las terceras menores siguen siendo 6:5, siendo la cuarta 32:27, excepto que ahora es BD en lugar de DF que es 32:27. FAC y CEG todavía forman solo tríadas mayores (4:5:6), pero GBD ahora es (108:135:160), y BDF ahora es (135:160:192).
Hay otras posibilidades como subir A en lugar de bajar D, pero cada ajuste rompe algo más.
Evidentemente no es posible obtener las siete tríadas diatónicas en la configuración (4:5:6) para mayor, (10:12:15) para menor y (25:30:36) para disminuida al mismo tiempo si nos limitamos a siete tonos.
Esto demuestra la necesidad de aumentar el número de tonos para ejecutar las armonías deseadas afinadas.
Para construir una escala de doce tonos en afinación de 5 límites, comenzamos construyendo una tabla que contiene quince tonos justamente entonados:
Los factores que aparecen en la primera fila y la primera columna son potencias de 3 y 5 respectivamente (p. ej., 1 ⁄ 9 = 3 −2 ). Los colores indican pares de notas enarmónicas con un tono casi idéntico. Las proporciones se expresan en relación con C en el centro de este diagrama (la nota base de esta escala). Se calculan en dos pasos:
Tenga en cuenta que las potencias de 2 utilizadas en el segundo paso pueden interpretarse como octavas ascendentes o descendentes . Por ejemplo, multiplicar la frecuencia de una nota por 2 6 significa aumentarla en 6 octavas. Además, cada fila de la tabla puede considerarse una secuencia de quintas (ascendente hacia la derecha) y cada columna una secuencia de terceras mayores (ascendente hacia arriba). Por ejemplo, en la primera fila de la tabla, hay una quinta ascendente desde D y A, y otra (seguida de una octava descendente) desde A hasta E. Esto sugiere un método alternativo pero equivalente para calcular las mismas proporciones. Por ejemplo, puede obtener A (proporción 5/3), comenzando desde C, moviendo una celda a la izquierda y una hacia arriba en la tabla, lo que significa descender una quinta (2/3) y ascender una tercera mayor (5/4):
Dado que esto está por debajo de C, debes subir una octava para terminar dentro del rango deseado de proporciones (de 1/1 a 2/1):
Una escala de 12 tonos se obtiene eliminando una nota por cada par de notas enarmónicas. Esto se puede hacer de al menos tres maneras, que tienen en común la eliminación de G ♭ , según una convención válida incluso para las escalas pitagóricas basadas en C y de medio tono de 1/4 de coma. Nótese que es una quinta disminuida , cerca de media octava, por encima de la tónica C, que es un intervalo disarmónico; también su razón tiene los valores más grandes en su numerador y denominador de todos los tonos de la escala, lo que la hace menos armoniosa: todas razones para evitarla.
La primera estrategia, que denotamos operativamente aquí como escala simétrica 1 , consiste en seleccionar para su eliminación los tonos en las esquinas superior izquierda e inferior derecha de la tabla. La segunda, denotada como escala simétrica 2 , consiste en descartar las notas en la primera y última celda de la segunda fila (etiquetada como " 1 "). La tercera, denominada escala asimétrica , consiste en descartar la primera columna (rotulada como " 1/9 "). Las escalas de 12 tonos resultantes se muestran a continuación:
En la primera y segunda escala, Si bemol y Re son exactamente la inversión entre sí. Esto no es así en la tercera. Por eso se considera que estas dos escalas son simétricas (aunque la eliminación de Sol bemol hace que todas las escalas de 12 tonos, incluidas las producidas con cualquier otro sistema de afinación, sean ligeramente asimétricas).
El sistema asimétrico tiene la ventaja de tener las proporciones "más justas" (aquellas que contienen números más pequeños), nueve quintas puras (factor 3/2), ocho terceras mayores puras (factor 5/4) por diseño, pero también seis terceras menores puras (factor 6/5). Sin embargo, también contiene dos quintas impuras (por ejemplo, de D a A es 40/27 en lugar de 3/2) y tres terceras menores impuras (por ejemplo, de D a F es 32/27 en lugar de 6/5), lo que prácticamente limita la modulación a un rango estrecho de tonalidades. Los acordes de C tónica, G dominante y F subdominante son puros, así como D ♭ , A ♭ , E ♭ y los acordes menores Fm, Cm, Gm, Am, Bm y Em, pero no el Dm.
Una desventaja del sistema asimétrico es que produce 14 intervalos de Wolf , en lugar de 12 como ocurre con los simétricos.
El si bemol de la primera escala simétrica se diferencia del si bemol de las otras escalas por la coma sintónica , que se encuentra sobre 21 centésimas. En las escalas de temperamento uniforme, la diferencia se elimina haciendo que todos los pasos tengan la misma relación de frecuencias.
La construcción de la escala asimétrica se muestra gráficamente en la imagen. Cada bloque tiene la altura en centésimas de las relaciones de frecuencia constructivas 2/1, 3/2 y 5/4. Se pueden reconocer patrones recurrentes. Por ejemplo, muchas veces la siguiente nota se crea reemplazando un bloque 5/4 y un bloque 3/2 por un bloque 2/1, lo que representa una relación de 16/15.
Para una imagen similar, construida utilizando factores de frecuencia 2, 3 y 5, en lugar de 2/1, 3/2 y 5/4, consulte aquí .
Las proporciones justas utilizadas para construir estas escalas pueden usarse como referencia para evaluar la consonancia de los intervalos en otras escalas (por ejemplo, consulte esta tabla de comparación ). Sin embargo, la afinación de 5 límites no es el único método para obtener una entonación justa . Es posible construir intervalos justos con proporciones aún más "justas" o, alternativamente, con valores más cercanos a los equivalentes de temperamento igual. Por ejemplo, a veces se utiliza una afinación de 7 límites para obtener un intervalo ligeramente más justo y, en consecuencia, más consonante para la séptima menor (7/4) y su inversión, la segunda mayor (8/7). A continuación se proporciona una lista de estas proporciones de referencia, que pueden denominarse intervalos o proporciones puras o estrictamente justas :
Las celdas resaltadas en amarillo indican intervalos más justos que los de las celdas sin color de la misma fila. Las resaltadas en cian indican proporciones aún más justas.
Obsérvese que las proporciones 45/32 y 64/45 para los tritonos (cuarta aumentada y quinta disminuida) no se consideran en todos los contextos como estrictamente justas, pero son las más justas posibles en las escalas de afinación de 5 límites mencionadas anteriormente. Una escala de 5 límites asimétrica extendida (ver más abajo) proporciona proporciones ligeramente más justas para ambos tritonos (25/18 y 36/25), cuya pureza también es controvertida. La afinación de 7 límites permite las proporciones más justas posibles, es decir, 7/5 (aproximadamente 582,512 cents, también conocido como tritono septimal ) y 10/7 (aproximadamente 617,488 cents). Estas relaciones son más consonantes que 17/12 (aproximadamente 603.000 cents) y 24/17 (aproximadamente 597.000 cents), que se pueden obtener en la afinación de límite 17, aunque estas últimas también son bastante comunes, ya que están más cerca del valor de temperamento igual de 600.000 cents.
El intervalo 7/4 mencionado anteriormente (aproximadamente 968,826 cents), también conocido como séptima menor septimal o séptima armónica, ha sido un tema polémico a lo largo de la historia de la teoría musical; es 31 cents más plano que una séptima menor de temperamento igual.
Las tablas anteriores solo muestran las relaciones de frecuencia de cada nota con respecto a la nota base. Sin embargo, los intervalos pueden comenzar desde cualquier nota y, por lo tanto, se pueden definir doce intervalos para cada tipo de intervalo : doce unísonos, doce semitonos , doce intervalos de 2 semitonos, etc.
En la afinación de 5 límites, cada tipo de intervalo, excepto los unísonos y las octavas, tiene tres o cuatro tamaños diferentes. Este es el precio que se paga por buscar la entonación justa. La tabla de la derecha muestra sus relaciones de frecuencia para la escala asimétrica, con las desviaciones coloreadas y las desviaciones correspondientes a los intervalos Wolf en violeta. Las desviaciones surgen porque las notas determinan cuatro semitonos diferentes :
Por el contrario, en una escala cromática igualmente temperada , todos los semitonos miden
y los intervalos de cualquier tipo dado tienen el mismo tamaño, pero ninguno está correctamente afinado excepto los unísonos y las octavas.
En otros sistemas de afinación, la coma puede definirse como un intervalo de un minuto, igual a la diferencia entre dos tipos de semitonos (diatónico y cromático, también conocido como segunda menor, m2 , o unísono aumentado, A1 ). En este caso, sin embargo, se producen 4 tipos de semitonos (dos A1, S 1 y S 2 , y dos m2, S 3 y S 4 ) y se pueden definir 12 comas diferentes como las diferencias entre sus tamaños en centésimas, o equivalentemente como las razones entre sus razones. Entre ellas, seleccionamos las seis ascendentes (aquellas con razón mayor a 1/1, y tamaño positivo en centésimas):
Las otras seis razones se descartan porque son exactamente lo opuesto a estas y, por lo tanto, tienen exactamente la misma longitud, pero una dirección opuesta (es decir, una dirección descendente, una razón menor que 1/1 y un tamaño negativo en centavos). Obtenemos comas de cuatro tamaños diferentes: el diasquisma, la diesis menor, la coma sintónica y la diesis mayor. Dado que S 1 (el justo A1 ) y S 3 (el justo m2 ) son los semitonos que aparecen con más frecuencia en esta escala de 12 tonos (ver las tablas anteriores), la diesis menor, que se define como la razón entre ellos, es la coma que se observa con más frecuencia.
La coma sintónica también se define, en la afinación de 5 límites, como la relación entre el tono mayor (M2 con tamaño 9/8) y el tono menor (M2 con tamaño 10/9). Nótese que no se puede definir, en otros sistemas de afinación, como la relación entre semitonos diatónicos y cromáticos (m2/A1), pero es un valor de referencia importante utilizado para afinar la quinta justa en cualquier sistema de afinación del continuo temperamental sintónico (incluidos también los temperamentos de mediotono).
Tres de las comas antes mencionadas, a saber, el diasquisma, la diesis y la diesis mayor, cumplen la definición de segunda disminuida , siendo la diferencia entre los tamaños en centésimas de un semitono diatónico y uno cromático (o equivalentemente la relación entre sus relaciones de frecuencia).
Por el contrario, la coma sintónica se define como la diferencia en cents entre dos semitonos cromáticos (S 2 y S 1 ), o entre dos semitonos diatónicos (S 4 y S 3 ), y no puede considerarse una segunda disminuida.
La tabla anterior utiliza solo potencias bajas de 3 y 5 para construir las razones básicas. Sin embargo, se puede ampliar fácilmente utilizando potencias positivas y negativas más altas de los mismos números, como 5 2 = 25, 5 −2 = 1/25, 3 3 = 27 o 3 −3 = 1/27. Se puede obtener una escala con 25, 35 o incluso más tonos combinando estas razones básicas.
Por ejemplo, se pueden obtener 35 tonos sumando filas en cada dirección de la siguiente manera:
La columna de la izquierda ( 1/9 ) a veces se elimina (como en la escala asimétrica que se muestra arriba), creando así una tabla asimétrica con una menor cantidad de tonos. Observe que se produce una relación más justa para la quinta disminuida (CG ♭ = 36/25), con respecto a la afinación restringida de 5 límites descrita anteriormente (donde C a G ♭ = 64/45). [4]
En la afinación pitagórica, quizás el primer sistema de afinación teorizado en Occidente, [5] los únicos intervalos altamente consonantes eran la quinta perfecta y su inversión, la cuarta perfecta . La tercera mayor pitagórica (81:64) y la tercera menor (32:27) eran disonantes , y esto impidió a los músicos usar tríadas y acordes , obligándolos durante siglos a escribir música con una textura relativamente simple . A finales de la Edad Media , los músicos se dieron cuenta de que al templar ligeramente el tono de algunas notas, las terceras pitagóricas podían volverse consonantes . Por ejemplo, si disminuyes en una coma sintónica (81:80) la frecuencia de E, CE (una tercera mayor) y EG (una tercera menor) se vuelven justas. Es decir, CE se reduce a una proporción justamente entonada de
y al mismo tiempo EG se amplía a la proporción justa de
El inconveniente es que las quintas AE y EB, al aplanar E, se vuelven casi tan disonantes como la quinta pitagórica del lobo . Pero la quinta CG permanece consonante, ya que solo se ha aplanado E (CE * EG = 5/4 * 6/5 = 3/2), y se puede usar junto con CE para producir una tríada de C mayor (CEG).
Al generalizar este razonamiento simple, Gioseffo Zarlino , a finales del siglo XVI, creó la primera escala de siete tonos ( diatónica ) con entonación justa, que contenía quintas perfectas puras (3:2), terceras mayores puras y terceras menores puras:
F → A → C → E → G → B → D
Se trata de una secuencia de solo terceras mayores (M3, proporción 5:4) y solo terceras menores (m3, proporción 6:5), comenzando desde F:
F + M3 + m3 + M3 + m3 + M3 + m3
Dado que M3 + m3 = P5 (quinta perfecta), es decir, 5/4 * 6/5 = 3/2, esto es exactamente equivalente a la escala diatónica obtenida en entonación justa de 5 límites y, por lo tanto, puede verse como un subconjunto de la tabla de construcción utilizada para la escala de 12 tonos ( cromática ):
donde ambas filas son secuencias de solo quintas, y FA, CE, GB son solo terceras mayores:
hasta D ♭ , la Enciclopedia Tonalsoft de Teoría de la Música Microtonal afirma: "De hecho, esta estructura describe perfectamente la estructura de entonación justa de Salinas ".
![{\displaystyle S_{E}={\sqrt[{12}]{2}}=100.000{\text{ centavos}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b50bf0d2901461be5393a3b513729b1a5a0d84c9)
