En matemáticas, la teoría de Deligne-Lusztig es una forma de construir representaciones lineales de grupos finitos de tipo Lie utilizando cohomología ℓ-ádica con soporte compacto , introducida por Pierre Deligne y George Lusztig (1976).
Lusztig (1985) utilizó estas representaciones para encontrar todas las representaciones de todos los grupos simples finitos de tipo Lie.
Supongamos que G es un grupo reductivo definido sobre un cuerpo finito , con función de Frobenius F.
Ian G. Macdonald conjeturó que debería existir una función desde los caracteres de posición general de los toros maximales F -estables hasta las representaciones irreducibles de (los puntos fijos de F ). Para los grupos lineales generales esto ya era conocido por el trabajo de JA Green (1955). Este fue el resultado principal demostrado por Pierre Deligne y George Lusztig ; encontraron una representación virtual para todos los caracteres de un toro maximal F -estable, que es irreducible (hasta el signo) cuando el carácter está en posición general.
Cuando el toro máximo se divide, estas representaciones eran bien conocidas y se dan por inducción parabólica de caracteres del toro (extender el carácter a un subgrupo de Borel , luego inducirlo hasta G ). Las representaciones de la inducción parabólica se pueden construir usando funciones en un espacio, que se pueden pensar como elementos de un grupo de cohomología cero adecuado. La construcción de Deligne y Lusztig es una generalización de la inducción parabólica a toros no divididos usando grupos de cohomología superiores. (La inducción parabólica también se puede hacer con toros de G reemplazados por subgrupos de Levi de G , y hay una generalización de la teoría de Deligne-Lusztig a este caso también).
Vladimir Drinfeld demostró que las representaciones de series discretas de SL 2 ( F q ) se pueden encontrar en los grupos de cohomología ℓ-ádicos
de la curva afín X definida por
El polinomio es un determinante utilizado en la construcción del invariante de Dickson del grupo lineal general y es un invariante del grupo lineal especial.
La construcción de Deligne y Lusztig es una generalización de este ejemplo fundamental a otros grupos. La curva afín X se generaliza a un fibrado sobre una "variedad de Deligne-Lusztig" donde T es un toro máximo de G , y en lugar de utilizar sólo el primer grupo de cohomología, utilizan una suma alternada de grupos de cohomología ℓ-ádicos con soporte compacto para construir representaciones virtuales.
La construcción de Deligne-Lusztig es formalmente similar a la construcción de Hermann Weyl de las representaciones de un grupo compacto a partir de los caracteres de un toro maximal. El caso de los grupos compactos es más sencillo en parte porque sólo hay una clase de conjugación de toros maximalistas. La construcción de Borel–Weil–Bott de representaciones de grupos algebraicos utilizando cohomología de haces coherentes también es similar.
Para grupos semisimples reales existe un análogo de la construcción de Deligne y Lusztig, utilizando funtores de Zuckerman para construir representaciones.
La construcción de caracteres Deligne-Lusztig utiliza una familia de variedades algebraicas auxiliares X T llamadas variedades Deligne–Lusztig, construidas a partir de un grupo algebraico lineal reductivo G definido sobre un cuerpo finito F q .
Si B es un subgrupo de Borel de G y T un toro máximo de B entonces escribimos
para el grupo de Weyl ( normalizador mod centralizador )
de G con respecto a T , junto con las raíces simples correspondientes a B . Si B 1 es otro subgrupo de Borel con toro máximo T 1 entonces hay un isomorfismo canónico de T a T 1 que identifica los dos grupos de Weyl. Por lo tanto, podemos identificar todos estos grupos de Weyl y llamarlo 'el' grupo de Weyl W de G . De manera similar, hay un isomorfismo canónico entre dos toros máximos cualesquiera con una elección dada de raíces positivas , por lo que podemos identificar todos estos y llamarlo 'el' toro máximo T de G .
Por la descomposición de Bruhat
el subgrupo B 1 puede escribirse como el conjugado de B por bw para algún b ∈ B y w ∈ W (identificado con W T , B ) donde w está determinado de forma única. En este caso decimos que B y B 1 están en posición relativa w .
Supóngase que w está en el grupo de Weyl de G , y escriba X para la variedad proyectiva suave de todos los subgrupos de Borel de G . La variedad Deligne-Lusztig X ( w ) consiste en todos los subgrupos de Borel B de G tales que B y F ( B ) están en posición relativa w [recuerde que F es la función de Frobenius ]. En otras palabras, es la imagen inversa del espacio G -homogéneo de pares de subgrupos de Borel en posición relativa w , bajo la isogenia de Lang con fórmula
Por ejemplo, si w = 1 entonces X ( w ) es 0-dimensional y sus puntos son los subgrupos racionales de Borel de G .
Sea T ( w ) el toro T , con la estructura racional para la cual el Frobenius es wF . Las clases de conjugación G F de los toros maximalistas F -estables de G pueden identificarse con las clases de conjugación F de W , donde decimos que w ∈ W es F -conjugado a elementos de la forma vwF ( v ) −1 para v ∈ W . Si el grupo G está dividido , de modo que F actúa trivialmente sobre W , esto es lo mismo que la conjugación ordinaria, pero en general para los grupos no divididos G , F puede actuar sobre W a través de un automorfismo de diagrama no trivial. Las clases de conjugación F -estables pueden identificarse con elementos del grupo de cohomología de Galois no abeliano de torsores
Fijemos un toro máximo T de G y un subgrupo de Borel B que lo contenga, ambos invariantes bajo la función de Frobenius F , y escribimos U para el radical unipotente de B . Si elegimos un representante w ′ del normalizador N ( T ) que representa w , entonces definimos X ′( w ′) como los elementos de G / U con F ( u )= uw ′. Esto es actuado libremente por T ( F ), y el cociente es isomorfo a X ( T ). Entonces para cada carácter θ de T ( w ) F obtenemos un sistema local correspondiente F θ en X ( w ). La representación virtual de Deligne-Lusztig
de G F se define por la suma alternada
de grupos de cohomología l -ádicos soportados de forma compacta de X ( w ) con coeficientes en el sistema local l -ádico F θ .
Si T es un toro F -invariante máximo de G contenido en un subgrupo de Borel B tal que B y FB están en posición relativa w entonces R θ ( w ) también se denota por R θ T ⊂ B , o por R θ T ya que hasta el isomorfismo no depende de la elección de B .
Lusztig clasificó todos los caracteres irreducibles de G F descomponiendo cada carácter en un carácter semisimple y un carácter unipotente (de otro grupo) y clasificando por separado los caracteres semisimples y unipotentes.
Las representaciones de G F se clasifican utilizando clases de conjugación del grupo dual de G . Un grupo reductivo sobre un cuerpo finito determina un dato raíz (con elección de cámara de Weyl) junto con una acción del elemento de Frobenius sobre él. El grupo dual G * de un grupo algebraico reductivo G definido sobre un cuerpo finito es el que tiene un dato raíz dual (y acción de Frobenius adjunta). Esto es similar al grupo dual de Langlands (o grupo L), excepto que aquí el grupo dual se define sobre un cuerpo finito en lugar de sobre los números complejos. El grupo dual tiene el mismo sistema raíz, excepto que los sistemas raíz de tipo B y C se intercambian.
Las conjeturas locales de Langlands establecen (de manera muy aproximada) que las representaciones de un grupo algebraico sobre un cuerpo local deberían estar estrechamente relacionadas con las clases de conjugación en el grupo dual de Langlands. La clasificación de Lusztig de las representaciones de grupos reductivos sobre cuerpos finitos puede considerarse como una verificación de un análogo de esta conjetura para cuerpos finitos (aunque Langlands nunca formuló su conjetura para este caso).
En esta sección G será un grupo reductivo con centro conectado.
Un carácter irreducible se llama unipotente si ocurre en algún R 1 T , y se llama semisimple si su valor promedio en elementos unipotentes regulares no es cero (en cuyo caso el valor promedio es 1 o −1). Si p es un buen primo para G (lo que significa que no divide ninguno de los coeficientes de raíces expresadas como combinaciones lineales de raíces simples), entonces un carácter irreducible es semisimple si y solo si su orden no es divisible por p .
Un carácter irreducible arbitrario tiene una "descomposición de Jordan": a él se le puede asociar un carácter semisimple (que corresponde a algún elemento semisimple s del grupo dual), y una representación unipotente del centralizador de s . La dimensión del carácter irreducible es el producto de las dimensiones de sus componentes semisimple y unipotente.
Esto (más o menos) reduce la clasificación de caracteres irreducibles al problema de encontrar los caracteres semisimples y unipotentes.
Dos pares ( T ,θ), ( T ′,θ′) de un toro maximal T de G fijado por F y un carácter θ de T F se llaman geométricamente conjugados si son conjugados bajo algún elemento de G ( k ), donde k es la clausura algebraica de F q . Si una representación irreducible ocurre tanto en R T θ como en R T ′ θ′ entonces ( T ,θ), ( T ′,θ′) no necesitan ser conjugados bajo G F , pero siempre son geométricamente conjugados. Por ejemplo, si θ = θ′ = 1 y T y T ′ no son conjugados, entonces la representación identidad ocurre en ambos caracteres Deligne–Lusztig, y los pares correspondientes ( T ,1), ( T ′,1) son geométricamente conjugados pero no conjugados.
Las clases de conjugación geométrica de pares ( T ,θ) están parametrizadas por clases de conjugación geométrica de elementos semisimples s del grupo G * F de elementos del grupo dual G * fijados por F . Dos elementos de G * F se llaman geométricamente conjugados si son conjugados sobre la clausura algebraica del cuerpo finito; si el centro de G es conexo esto es equivalente a conjugación en G * F . El número de clases de conjugación geométrica de pares ( T ,θ) es | Z 0 F | q l donde Z 0 es el componente identidad del centro Z de G y l es el rango semisimple de G .
En esta subsección G será un grupo reductivo con centro conexo Z. (El caso en que el centro no está conexo tiene algunas complicaciones adicionales).
Los caracteres semisimples de G corresponden a clases de conjugación geométrica de pares ( T ,θ) (donde T es un toro maximal invariante bajo F y θ es un carácter de T F ); de hecho, entre los caracteres irreducibles que aparecen en los caracteres de Deligne–Lusztig de una clase de conjugación geométrica hay exactamente un carácter semisimple. Si el centro de G está conexo hay | Z F | q l caracteres semisimples. Si κ es una clase de conjugación geométrica de pares ( T ,θ) entonces el carácter de la representación semisimple correspondiente se entrega al signo por
y su dimensión es la parte p ′ del índice del centralizador del elemento s del grupo dual que le corresponde.
Los caracteres semisimples son (hasta el signo) exactamente los duales de los caracteres regulares, según la dualidad de Alvis–Curtis , una operación de dualidad sobre caracteres generalizados. Un carácter irreducible se denomina regular si aparece en la representación de Gelfand–Graev G F , que es la representación inducida a partir de un cierto carácter unidimensional "no degenerado" del p -subgrupo de Sylow. Es reducible, y cualquier carácter irreducible de G F aparece como máximo una vez en él. Si κ es una clase de conjugación geométrica de pares ( T ,θ) entonces el carácter de la representación regular correspondiente viene dado por
y su dimensión es la parte p ′ del índice del centralizador del elemento s del grupo dual correspondiente a él por la parte p del orden del centralizador.
Estos pueden encontrarse a partir de los caracteres unipotentes cuspidales: aquellos que no pueden obtenerse a partir de la descomposición de caracteres inducidos parabólicamente de grupos de rangos más pequeños. Los caracteres unipotentes cuspidales fueron enumerados por Lusztig utilizando argumentos bastante complicados. El número de ellos depende solo del tipo de grupo y no del campo subyacente; y se da de la siguiente manera:
Los caracteres unipotentes se pueden encontrar descomponiendo los caracteres inducidos a partir de los cuspidales, utilizando los resultados de Howlett y Lehrer. El número de caracteres unipotentes depende sólo del sistema de raíces del grupo y no del campo (o del centro). La dimensión de los caracteres unipotentes se puede dar por polinomios universales en el orden del campo base dependiendo sólo del sistema de raíces; por ejemplo, la representación de Steinberg tiene dimensión q r , donde r es el número de raíces positivas del sistema de raíces.
Lusztig descubrió que los caracteres unipotentes de un grupo G F (con grupo de Weyl irreducible) caen en familias de tamaño 4 n ( n ≥ 0), 8, 21 o 39. Los caracteres de cada familia están indexados por clases de conjugación de pares ( x ,σ) donde x está en uno de los grupos Z /2 Z n , S 3 , S 4 , S 5 respectivamente, y σ es una representación de su centralizador. (La familia de tamaño 39 solo ocurre para grupos de tipo E 8 , y la familia de tamaño 21 solo ocurre para grupos de tipo F 4 ). Las familias están a su vez indexadas por representaciones especiales del grupo de Weyl, o equivalentemente por celdas de 2 lados del grupo de Weyl. Por ejemplo, el grupo E 8 ( F q ) tiene 46 familias de caracteres unipotentes correspondientes a las 46 representaciones especiales del grupo de Weyl de E 8 . Hay 23 familias con 1 personaje, 18 familias con 4 personajes, 4 familias con 8 personajes y una familia con 39 personajes (que incluye los 13 personajes unipotentes cuspidales).
Supongamos que q es una potencia prima impar y G es el grupo algebraico SL 2 . Describimos las representaciones de Deligne-Lusztig del grupo SL 2 ( F q ). (La teoría de representaciones de estos grupos era bien conocida mucho antes de la teoría de Deligne-Lusztig).
Las representaciones irreducibles son:
Existen dos clases de toros asociados a los dos elementos (o clases de conjugación) del grupo de Weyl, denotados por T (1) (cíclico de orden q −1) y T ( w ) (cíclico de orden q + 1). El elemento no trivial del grupo de Weyl actúa sobre los caracteres de estos toros cambiando cada carácter por su inverso. De modo que el grupo de Weyl fija un carácter si y sólo si tiene orden 1 o 2. Por la fórmula de ortogonalidad, R θ ( w ) es (hasta signo) irreducible si θ no tiene orden 1 o 2, y una suma de dos representaciones irreducibles si tiene orden 1 o 2.
La variedad X de Deligne-Lusztig (1) para el toro partido es de dimensión cero con q +1 puntos, y se puede identificar con los puntos del espacio proyectivo unidimensional definido sobre F q . Las representaciones R θ (1) se dan de la siguiente manera:
La variedad Deligne-Lusztig X ( w ) para el toro no dividido es unidimensional, y puede identificarse con el complemento de X (1) en el espacio proyectivo unidimensional. Por lo tanto, es el conjunto de puntos ( x : y ) del espacio proyectivo no fijado por la función de Frobenius ( x : y )→ ( x q : y q ), en otras palabras, los puntos con
Variedad de puntos ( x , y ) de Drinfeld del espacio afín con
se asigna a X ( w ) de la manera obvia, y es actuada libremente por el grupo de q +1-ésimas raíces λ de 1 (que se puede identificar con los elementos del toro no dividido que se definen sobre F q ), con λ tomando ( x , y ) como (λ x ,λ y ). La variedad de Deligne Lusztig es el cociente de la variedad de Drinfeld por esta acción de grupo. Las representaciones − R θ ( w ) se dan como sigue:
Las representaciones unipotentes son la representación trivial y la representación de Steinberg, y las representaciones semisimples son todas las representaciones distintas de la representación de Steinberg. (En este caso las representaciones semisimples no corresponden exactamente a las clases de conjugación geométrica del grupo dual, ya que el centro de G no está conexo.)
Lusztig (1985) reemplazó la cohomología ℓ-ádica utilizada para definir las representaciones de Deligne-Lusztig con la cohomología ℓ-ádica de intersección e introdujo ciertos haces perversos llamados haces de caracteres . Las representaciones definidas utilizando la cohomología de intersección están relacionadas con las definidas utilizando la cohomología ordinaria por los polinomios de Kazhdan–Lusztig . Los haces de caracteres irreducibles F -invariantes están estrechamente relacionados con los caracteres irreducibles del grupo G F.
