Dualidad Alvis-Curtis

En matemáticas , la dualidad de Alvis-Curtis es una operación de dualidad sobre los caracteres de un grupo reductivo sobre un cuerpo finito , introducida por Charles W. Curtis  (1980) y estudiada por su alumno Dean Alvis (1979). Kawanaka (1981, 1982) introdujo una operación de dualidad similar para las álgebras de Lie .

La dualidad de Alvis-Curtis tiene orden 2 y es una isometría sobre caracteres generalizados.

Carter (1985, 8.2) analiza la dualidad Alvis-Curtis en detalle.

Definición

El dual ζ* de un carácter ζ de un grupo finito G con un par BN dividido se define como

${\displaystyle \zeta ^{*}=\sum _{J\subseteq R}(-1)^{\vert J\vert }\zeta _{P_{J}}^{G}}$

Aquí la suma es sobre todos los subconjuntos J del conjunto R de raíces simples del sistema de Coxeter de G . El carácter ζ
_P.J.​es el truncamiento de ζ al subgrupo parabólico P _J del subconjunto J , dado al restringir ζ a P _J y luego tomar el espacio de invariantes del radical unipotente de P _J , y ζ^GPJ
_​​es la representación inducida de G . (La operación de truncamiento es el funtor adjunto de la inducción parabólica .)

Ejemplos

• El dual del carácter trivial 1 es el carácter de Steinberg .
• Deligne y Lusztig (1983) demostraron que el dual de un carácter Deligne–Lusztig R^θT
  _​es ε _G ε _T R^θT
  _​.
• El dual de un carácter cuspidal χ es (–1) ^|Δ| χ, donde Δ es el conjunto de raíces simples.
• El dual del carácter Gelfand–Graev es el carácter que toma el valor | Z ^F | q ^l en los elementos unipotentes regulares y desaparece en otro lugar.

Referencias

• Alvis, Dean (1979), "La operación de dualidad en el anillo de caracteres de un grupo finito de Chevalley", Boletín de la American Mathematical Society , Nueva serie, 1 (6): 907–911, doi : 10.1090/S0273-0979-1979-14690-1 , ISSN  0002-9904, MR  0546315
• Carter, Roger W. (1985), Grupos finitos de tipo Lie. Clases de conjugación y caracteres complejos., Pure and Applied Mathematics (Nueva York), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-90554-7, Sr.  0794307
• Curtis, Charles W. (1980), "Truncación y dualidad en el anillo de caracteres de un grupo finito de tipo Lie", Journal of Algebra , 62 (2): 320–332, doi : 10.1016/0021-8693(80)90185-4 , ISSN  0021-8693, MR  0563231
• Deligne, Pierre ; Lusztig, George (1982), "Dualidad para representaciones de un grupo reductivo sobre un cuerpo finito", Journal of Algebra , 74 (1): 284–291, doi : 10.1016/0021-8693(82)90023-0 , ISSN  0021-8693, MR  0644236
• Deligne, Pierre ; Lusztig, George (1983), "Dualidad para representaciones de un grupo reductivo sobre un cuerpo finito. II", Journal of Algebra , 81 (2): 540–545, doi : 10.1016/0021-8693(83)90202-8 , ISSN  0021-8693, MR  0700298
• Kawanaka, Noriaki (1981), "Transformadas de Fourier de funciones invariantes con soporte nilpotente en un álgebra de Lie simple finita", Japan Academy. Proceedings. Series A. Mathematical Sciences , 57 (9): 461–464, doi : 10.3792/pjaa.57.461 , ISSN  0386-2194, MR  0637555
• Kawanaka, N. (1982), "Transformadas de Fourier de funciones invariantes soportadas nilpotentemente en un álgebra de Lie simple sobre un cuerpo finito", Inventiones Mathematicae , 69 (3): 411–435, doi :10.1007/BF01389363, ISSN  0020-9910, MR  0679766, S2CID  119866092