Polinomio de Kazhdan-Lusztig

En el campo matemático de la teoría de la representación , un polinomio de Kazhdan–Lusztig es un miembro de una familia de polinomios integrales introducidos por David Kazhdan y George Lusztig  (1979). Están indexados por pares de elementos y , w de un grupo de Coxeter W , que puede ser en particular el grupo de Weyl de un grupo de Lie . ${\displaystyle P_{y,w}(q)}$

Motivación e historia

En la primavera de 1978 Kazhdan y Lusztig estaban estudiando las representaciones de Springer del grupo de Weyl de un grupo algebraico sobre grupos de cohomología -ádicos relacionados con clases de conjugación que son unipotentes . Encontraron una nueva construcción de estas representaciones sobre los números complejos (Kazhdan y Lusztig 1980a). La representación tenía dos bases naturales, y la matriz de transición entre estas dos bases está dada esencialmente por los polinomios de Kazhdan-Lusztig. La construcción real de Kazhdan-Lusztig de sus polinomios es más elemental. Kazhdan y Lusztig la usaron para construir una base canónica en el álgebra de Hecke del grupo de Coxeter y sus representaciones. ${\displaystyle \ell }$

En su primer artículo, Kazhdan y Lusztig mencionaron que sus polinomios estaban relacionados con la falla de la dualidad de Poincaré local para las variedades de Schubert . En Kazhdan & Lusztig (1980b) reinterpretaron esto en términos de la cohomología de intersección de Mark Goresky y Robert MacPherson , y dieron otra definición de dicha base en términos de las dimensiones de ciertos grupos de cohomología de intersección .

Las dos bases para la representación de Springer recordaron a Kazhdan y Lusztig las dos bases para el grupo de Grothendieck de ciertas representaciones de dimensión infinita de álgebras de Lie semisimples, dadas por módulos de Verma y módulos simples . Esta analogía, y el trabajo de Jens Carsten Jantzen y Anthony Joseph que relacionan los ideales primitivos de las álgebras envolventes con las representaciones de los grupos de Weyl, llevaron a las conjeturas de Kazhdan-Lusztig.

Definición

Fijemos un grupo de Coxeter W con un conjunto generador S y escribimos para la longitud de un elemento w (la longitud más pequeña de una expresión para w como producto de elementos de S ). El álgebra de Hecke de W tiene una base de elementos para sobre el anillo , con multiplicación definida por ${\displaystyle \ell (w)}$ ${\displaystyle T_{w}}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [q^{1/2},q^{-1/2}]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{y}T_{w}&=T_{yw},&&{\mbox{if }}\ell (yw)=\ell (y)+\ell (w)\\(T_{s}+1)(T_{s}-q)&=0,&&{\mbox{if }}s\in S.\end{aligned}}}$

La segunda relación cuadrática implica que cada generador T _s es invertible en el álgebra de Hecke, con inversa T _s ⁻¹ = q ⁻¹ T _s + q ⁻¹ − 1 . Estas inversas satisfacen la relación ( T _s ⁻¹ + 1)( T _s ⁻¹ − q ⁻¹ ) = 0 (obtenida al multiplicar la relación cuadrática para T _s por −T _s ⁻² q ⁻¹ ), y también las relaciones de trenza . De esto se deduce que el álgebra de Hecke tiene un automorfismo D que envía q ^1/2 a q ^−1/2 y cada T _s a T _s ⁻¹ . De manera más general, se tiene ; también se puede ver que D es una involución. ${\displaystyle D(T_{w})=T_{w^{-1}}^{-1}}$

Los polinomios de Kazhdan–Lusztig P _yw ( q ) están indexados por un par de elementos y , w de W , y determinados de forma única por las siguientes propiedades.

• Son 0 a menos que y ≤ w (en el orden de Bruhat de W ), 1 si y = w , y para y < w su grado es como máximo ( ℓ ( w ) − ℓ ( y ) − 1)/2.
• Rudimentos

${\displaystyle C'_{w}=q^{-{\frac {\ell (w)}{2}}}\sum _{y\leq w}P_{y,w}T_{y}}$

son invariantes bajo la involución D del álgebra de Hecke. Los elementos forman una base del álgebra de Hecke como un módulo, llamado base de Kazhdan-Lusztig. ${\displaystyle C'_{w}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [q^{1/2},q^{-1/2}]}$

Para establecer la existencia de los polinomios de Kazhdan-Lusztig, Kazhdan y Lusztig dieron un procedimiento recursivo simple para calcular los polinomios P _​​yw ( q ) en términos de polinomios más elementales denotados R _yw ( q ). definido por

${\displaystyle T_{y^{-1}}^{-1}=\sum _{x}D(R_{x,y})q^{-\ell (x)}T_{x}.}$

Se pueden calcular utilizando las relaciones de recursión.

${\displaystyle R_{x,y}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x\not \leq y\\1,&{\mbox{if }}x=y\\R_{sx,sy},&{\mbox{if }}sx<x{\mbox{ and }}sy<y\\R_{xs,ys},&{\mbox{if }}xs<x{\mbox{ and }}ys<y\\(q-1)R_{sx,y}+qR_{sx,sy},&{\mbox{if }}sx>x{\mbox{ and }}sy<y\end{cases}}}$

Los polinomios de Kazhdan-Lusztig pueden entonces calcularse recursivamente utilizando la relación

${\displaystyle q^{{\frac {1}{2}}(\ell (w)-\ell (x))}D(P_{x,w})-q^{{\frac {1}{2}}(\ell (x)-\ell (w))}P_{x,w}=\sum _{x<y\leq w}(-1)^{\ell (x)+\ell (y)}q^{{\frac {1}{2}}(-\ell (x)+2\ell (y)-\ell (w))}D(R_{x,y})P_{y,w}}$

utilizando el hecho de que los dos términos de la izquierda son polinomios en q ^1/2 y q ^−1/2 sin términos constantes . Estas fórmulas son tediosas de usar a mano para rangos mayores que aproximadamente 3, pero están bien adaptadas para computadoras, y el único límite para calcular polinomios de Kazhdan–Lusztig con ellas es que para rangos grandes la cantidad de tales polinomios excede la capacidad de almacenamiento de las computadoras.

Ejemplos

• Si y ≤ w entonces P _{y , w} tiene término constante 1.
• Si y ≤ w y ℓ ( w ) − ℓ ( y ) ∈ {0, 1, 2} entonces P _{y , w} = 1.
• Si w = w ₀ es el elemento más largo de un grupo de Coxeter finito, entonces P _{y , w} = 1 para todo y .
• Si W es el grupo de Coxeter A ₁ o A ₂ (o más generalmente cualquier grupo de Coxeter de rango como máximo 2) entonces P _{y , w} es 1 si y ≤ w y 0 en caso contrario.
• Si W es el grupo de Coxeter A ₃ con conjunto generador S = { a , b , c } con a y c conmutando entonces P _{b , bacb} = 1 + q y P _{ac , acbca} = 1 + q , dando ejemplos de polinomios no constantes.
• Los valores simples de los polinomios de Kazhdan-Lusztig para grupos de rango bajo no son típicos de los grupos de rango superior. Por ejemplo, para la forma dividida de E _8, el polinomio de Lusztig-Vogan más complicado (una variación de los polinomios de Kazhdan-Lusztig: ver más abajo) es

${\displaystyle {\begin{aligned}152q^{22}&+3,472q^{21}+38,791q^{20}+293,021q^{19}+1,370,892q^{18}+4,067,059q^{17}+7,964,012q^{16}\\&+11,159,003q^{15}+11,808,808q^{14}+9,859,915q^{13}+6,778,956q^{12}+3,964,369q^{11}+2,015,441q^{10}\\&+906,567q^{9}+363,611q^{8}+129,820q^{7}+41,239q^{6}+11,426q^{5}+2,677q^{4}+492q^{3}+61q^{2}+3q\end{aligned}}}$

• Polo (1999) demostró que cualquier polinomio con término constante 1 y coeficientes enteros no negativos es el polinomio de Kazhdan-Lusztig para algún par de elementos de algún grupo simétrico.

Conjeturas de Kazhdan-Lusztig

Los polinomios de Kazhdan–Lusztig surgen como coeficientes de transición entre su base canónica y la base natural del álgebra de Hecke. El artículo de Inventiones también propuso dos conjeturas equivalentes, conocidas ahora como conjeturas de Kazhdan–Lusztig, que relacionaban los valores de sus polinomios en 1 con representaciones de grupos de Lie semisimples complejos y álgebras de Lie , abordando así un problema de larga data en la teoría de la representación.

Sea W un grupo de Weyl finito . Para cada w ∈ W denotemos por M _w el módulo de Verma de mayor peso − w ( ρ ) − ρ donde ρ es la semisuma de raíces positivas (o vector de Weyl ), y sea L _w su cociente irreducible, el módulo de mayor peso simple de mayor peso − w ( ρ ) − ρ . Tanto M _w como L _w son módulos de peso localmente finitos sobre el álgebra de Lie semisimple compleja g con el grupo de Weyl W , y por lo tanto admiten un carácter algebraico . Escribamos ch( X ) para el carácter de un g -módulo X . Las conjeturas de Kazhdan–Lusztig establecen:

${\displaystyle \operatorname {ch} (L_{w})=\sum _{y\leq w}(-1)^{\ell (w)-\ell (y)}P_{y,w}(1)\operatorname {ch} (M_{y})}$

${\displaystyle \operatorname {ch} (M_{w})=\sum _{y\leq w}P_{w_{0}w,w_{0}y}(1)\operatorname {ch} (L_{y})}$

donde w ₀ es el elemento de longitud máxima del grupo de Weyl.

Estas conjeturas fueron demostradas independientemente sobre cuerpos algebraicamente cerrados característicos 0 por Alexander Beilinson y Joseph Bernstein  (1981) y por Jean-Luc Brylinski y Masaki Kashiwara  (1981). Los métodos introducidos en el curso de la demostración han guiado el desarrollo de la teoría de la representación a lo largo de los años 1980 y 1990, bajo el nombre de teoría de la representación geométrica .

Observaciones

1. Se sabe que las dos conjeturas son equivalentes. Además, el principio de traslación de Borho–Jantzen implica que w ( ρ ) − ρ puede reemplazarse por w ( λ + ρ ) − ρ para cualquier peso integral dominante λ . Por lo tanto, las conjeturas de Kazhdan–Lusztig describen las multiplicidades de Jordan–Hölder de los módulos de Verma en cualquier bloque integral regular de categoría de Bernstein–Gelfand–Gelfand O .

2. Una interpretación similar de todos los coeficientes de los polinomios de Kazhdan–Lusztig se desprende de la conjetura de Jantzen , que dice aproximadamente que los coeficientes individuales de P _y,w son multiplicidades de L _y en cierto subcociente del módulo de Verma determinado por una filtración canónica, la filtración de Jantzen . La conjetura de Jantzen en el caso integral regular fue demostrada en un artículo posterior de Beilinson y Bernstein  (1993).

3. David Vogan demostró como consecuencia de las conjeturas que

${\displaystyle P_{y,w}(q)=\sum _{i}q^{i}\dim(\operatorname {Ext} ^{\ell (w)-\ell (y)-2i}(M_{y},L_{w}))}$

y que Ext ^j ( M _y , L _w ) se anula si j + ℓ ( w ) + ℓ ( y ) es impar, por lo que las dimensiones de todos esos grupos Ext en la categoría O se determinan en términos de coeficientes de polinomios de Kazhdan–Lusztig. Este resultado demuestra que todos los coeficientes de los polinomios de Kazhdan–Lusztig de un grupo de Weyl finito son números enteros no negativos. Sin embargo, la positividad para el caso de un grupo de Weyl finito W ya se conocía a partir de la interpretación de los coeficientes de los polinomios de Kazhdan–Lusztig como las dimensiones de los grupos de cohomología de intersección, independientemente de las conjeturas. Por el contrario, la relación entre los polinomios de Kazhdan–Lusztig y los grupos Ext teóricamente se puede utilizar para demostrar las conjeturas, aunque este enfoque para demostrarlas resultó ser más difícil de llevar a cabo.

4. Algunos casos especiales de las conjeturas de Kazhdan–Lusztig son fáciles de verificar. Por ejemplo, M ₁ es el módulo antidominante de Verma, que se sabe que es simple. Esto significa que M ₁ = L ₁ , lo que establece la segunda conjetura para w = 1, ya que la suma se reduce a un solo término. Por otra parte, la primera conjetura para w = w ₀ se deduce de la fórmula del carácter de Weyl y de la fórmula para el carácter de un módulo de Verma , junto con el hecho de que todos los polinomios de Kazhdan–Lusztig son iguales a 1. ${\displaystyle P_{y,w_{0}}}$

5. Kashiwara (1990) demostró una generalización de las conjeturas de Kazhdan-Lusztig a las álgebras de Kac-Moody simetrizables .

Relación con la cohomología de intersección de las variedades de Schubert

Por la descomposición de Bruhat el espacio G / B del grupo algebraico G con grupo de Weyl W es una unión disjunta de espacios afines X _w parametrizados por elementos w de W . Los cierres de estos espacios X _w se llaman variedades de Schubert , y Kazhdan y Lusztig, siguiendo una sugerencia de Deligne, mostraron cómo expresar polinomios de Kazhdan–Lusztig en términos de grupos de cohomología de intersección de variedades de Schubert.

Más precisamente, el polinomio de Kazhdan–Lusztig P _{y , w} ( q ) es igual a

${\displaystyle P_{y,w}(q)=\sum _{i}q^{i}\dim IH_{X_{y}}^{2i}({\overline {X_{w}}})}$

donde cada término de la derecha significa: tome el IC complejo de haces cuya hiperhomología es la homología de intersección de la variedad Schubert de w (el cierre de la celda X _w ), tome su cohomología de grado 2 i , y luego tome la dimensión del tallo de este haz en cualquier punto de la celda X _y cuyo cierre es la variedad Schubert de y . Los grupos de cohomología de dimensión impar no aparecen en la suma porque todos son cero.

Esto proporcionó la primera prueba de que todos los coeficientes de los polinomios de Kazhdan-Lusztig para grupos de Weyl finitos son números enteros no negativos.

Generalización a grupos reales

Los polinomios de Lusztig-Vogan (también llamados polinomios de Kazhdan-Lusztig o polinomios de Kazhdan-Lusztig-Vogan ) fueron introducidos por Lusztig y Vogan (1983). Son análogos a los polinomios de Kazhdan-Lusztig, pero están diseñados para representaciones de grupos de Lie semisimples reales y desempeñan un papel importante en la descripción conjetural de sus duales unitarios . Su definición es más complicada, lo que refleja la complejidad relativa de las representaciones de grupos reales en comparación con los grupos complejos.

La distinción, en los casos directamente relacionados con la teoría de la representación, se explica en el nivel de clases laterales dobles ; o en otros términos de acciones sobre análogos de variedades bandera complejas G / B donde G es un grupo de Lie complejo y B un subgrupo de Borel . El caso original (KL) trata entonces de los detalles de la descomposición

${\displaystyle B\backslash G/B}$,

un tema clásico de la descomposición de Bruhat , y antes de la de las células de Schubert en un Grassmaniano . El caso LV toma una forma real G _R de G , un subgrupo compacto maximalista K _R en ese grupo semisimple G _R , y hace la complejización K de K _R. Entonces el objeto de estudio relevante es

${\displaystyle K\backslash G/B}$.

En marzo de 2007, un proyecto colaborativo, el "Atlas de grupos de Lie y representaciones", anunció que se habían calculado los polinomios L–V para la forma dividida de E ₈ . ^[1]

Generalización a otros objetos en la teoría de la representación

El segundo artículo de Kazhdan y Lusztig estableció un marco geométrico para la definición de polinomios de Kazhdan-Lusztig, a saber, la geometría de singularidades de variedades de Schubert en la variedad bandera . Gran parte del trabajo posterior de Lusztig exploró análogos de polinomios de Kazhdan-Lusztig en el contexto de otras variedades algebraicas singulares naturales que surgen en la teoría de la representación, en particular, cierres de órbitas nilpotentes y variedades de carcaj. Resultó que la teoría de la representación de grupos cuánticos , álgebras de Lie modulares y álgebras de Hecke afines están todas estrechamente controladas por análogos apropiados de polinomios de Kazhdan-Lusztig. Admiten una descripción elemental, pero las propiedades más profundas de estos polinomios necesarias para la teoría de la representación se derivan de técnicas sofisticadas de geometría algebraica moderna y álgebra homológica , como el uso de cohomología de intersección , haces perversos y descomposición de Beilinson-Bernstein-Deligne.

Se supone que los coeficientes de los polinomios de Kazhdan–Lusztig son las dimensiones de algunos espacios de homomorfismo en la categoría de bimódulo de Soergel. Esta es la única interpretación positiva conocida de estos coeficientes para grupos de Coxeter arbitrarios.

Teoría combinatoria

Las propiedades combinatorias de los polinomios de Kazhdan–Lusztig y sus generalizaciones son un tema de investigación activa en la actualidad. Dada su importancia en la teoría de la representación y la geometría algebraica, se han llevado a cabo intentos de desarrollar la teoría de los polinomios de Kazhdan–Lusztig de manera puramente combinatoria, apoyándose hasta cierto punto en la geometría, pero sin referencia a la cohomología de intersecciones y otras técnicas avanzadas. Esto ha llevado a desarrollos apasionantes en la combinatoria algebraica , como el fenómeno de evitación de patrones . Se dan algunas referencias en el libro de texto de Björner & Brenti (2005). Una monografía de investigación sobre el tema es Billey & Lakshmibai (2000).

Desigualdad

Kobayashi (2013) demostró que los valores de los polinomios de Kazhdan–Lusztig en para los grupos de Coxeter cristalográficos satisfacen cierta desigualdad estricta: Sea un sistema de Coxeter cristalográfico y sus polinomios de Kazhdan–Lusztig. Si y , entonces existe una reflexión tal que . ${\displaystyle q=1}$ ${\displaystyle (W,S)}$ ${\displaystyle {P_{uw}(q)}}$ ${\displaystyle u<w}$ ${\displaystyle P_{uw}(1)>1}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle P_{uw}(1)>P_{tu,w}(1)>0}$

Notas

1. van Leeuwen, Marc (2008), "Cálculo de polinomios de Kazhdan-Lusztig-Vogan para E8 dividido" (PDF) , Nieuw Archief voor Wiskunde , 9 (2): 113–116, SEÑOR  2454587

Referencias

• Beilinson, Alexandre ; Bernstein, Joseph (1981), Localización de módulos g , Sér. I Math., vol. 292, París: CR Acad. Sci., págs. 15–18.
• Beilinson, Alexandre ; Bernstein, Joseph (1993), Una prueba de las conjeturas de Jantzen , Advances in Soviet Mathematics, vol. 16, págs. 1–50.
• Billey, Sara ; Lakshmibai, V. (2000), Lugares singulares de variedades de Schubert , Progress in Mathematics, vol. 182, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4092-4.
• Björner, Anders ; Brenti, Francesco (2005), "Cap. 5: Polinomios Kazhdan–Lusztig y R ", Combinatoria de grupos de Coxeter , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 231, Springer , ISBN 978-3-540-44238-7.
• Brenti, Francesco (2003), "Polinomios de Kazhdan-Lusztig: historia, problemas e invariancia combinatoria", Séminaire Lotharingien de Combinatoire , 49 , Ellwangen: Haus Schönenberg: artículo de investigación B49b.
• Brylinski, Jean-Luc ; Kashiwara, Masaki (octubre de 1981), "Conjetura de Kazhdan-Lusztig y sistemas holonómicos", Inventiones Mathematicae , 64 (3), Springer-Verlag : 387–410, Bibcode :1981InMat..64..387B, doi :10.1007/BF01389272, ISSN  0020-9910, S2CID  18403883.
• Kashiwara, Masaki (1990), "La conjetura de Kazhdan–Lusztig para álgebras de Kac-Moody simetrizables", The Grothendieck Festschrift, II , Progress in Mathematics, vol. 87, Boston: Birkhauser, págs. 407–433, MR  1106905.
• Kazhdan, David ; Lusztig, George (junio de 1979), "Representaciones de grupos de Coxeter y álgebras de Hecke", Inventiones Mathematicae , 53 (2), Springer-Verlag : 165–184, Bibcode :1979InMat..53..165K, doi :10.1007/BF01390031, ISSN  0020-9910, S2CID  120098142.
• Kazhdan, David ; Lusztig, George (1980a), "Un enfoque topológico a las representaciones de Springer", Advances in Mathematics , 38 (2): 222–228, doi : 10.1016/0001-8708(80)90005-5.
• Kazhdan, David ; Lusztig, George (1980b), Variedades de Schubert y dualidad de Poincaré , Actas de simposios sobre matemáticas puras, vol. XXXVI, American Mathematical Society , págs. 185–203, doi :10.1090/pspum/036/573434, ISBN 9780821814390.
• Lusztig, George ; Vogan, David (1983), "Singularidades de cierres de órbitas K en variedades bandera.", Inventiones Mathematicae , 71 (2), Springer-Verlag : 365–379, Bibcode :1983InMat..71..365L, doi :10.1007/BF01389103, ISSN  0020-9910, S2CID  120917588.
• Polo, Patrick (1999), "Construcción de polinomios arbitrarios de Kazhdan–Lusztig en grupos simétricos", Representation Theory , 3 (4): 90–104, doi :10.1090/S1088-4165-99-00074-6, ISSN  1088-4165, MR  1698201.
• Soergel, Wolfgang (2006), "Polinomios de Kazhdan–Lusztig y bimódulos indecomponibles sobre anillos polinomiales", Revista del Instituto de Matemáticas de Jussieu , 6 (3): 501–525, arXiv : math/0403496 , doi :10.1017/S1474748007000023, S2CID  120459494.
• Kobayashi, Masato (2013), "Desigualdades en grafos de Bruhat, polinomios R y Kazhdan-Lusztig", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 120 (2): 470–482, arXiv : 1211.4305 , doi : 10.1016/j.jcta.2012.10.001 , S2CID  205929043.

Enlaces externos

• Lecturas del curso de primavera de 2005 sobre la teoría de Kazhdan-Lusztig en la Universidad de California en Davis, por Monica Vazirani
• Goresky, Mark . "Tablas de polinomios de Kazhdan-Lusztig".
• Los programas GAP para calcular polinomios de Kazhdan-Lusztig.
• Software Coxeter de Fokko du Cloux para calcular polinomios de Kazhdan-Lusztig para cualquier grupo de Coxeter
• Software Atlas para calcular polinomios de Kazhdan-Lusztig-Vogan.