radical jacobson

En matemáticas , más específicamente en teoría de anillos , el radical de Jacobson de un anillo R es el ideal que consiste en aquellos elementos en R que aniquilan todos los módulos R derechos simples . Sucede que sustituir "izquierda" en lugar de "derecha" en la definición produce el mismo ideal, por lo que la noción es simétrica izquierda-derecha. El radical de Jacobson de un anillo frecuentemente se denota por J( R ) o rad( R ); En este artículo se preferirá la notación anterior, porque evita confusión con otros radicales de un anillo . El radical de Jacobson lleva el nombre de Nathan Jacobson , quien fue el primero en estudiarlo en busca de anillos arbitrarios en Jacobson 1945.

El radical de Jacobson de un anillo tiene numerosas caracterizaciones internas, incluidas algunas definiciones que extienden con éxito la noción a anillos no unitarios . El radical de un módulo amplía la definición del radical de Jacobson para incluir módulos. El radical de Jacobson juega un papel destacado en muchos resultados de la teoría de anillos y módulos, como el lema de Nakayama .

Definiciones

Existen múltiples definiciones y caracterizaciones equivalentes del radical de Jacobson, pero es útil considerar las definiciones en función de si el anillo es conmutativo o no.

Caso conmutativo

En el caso conmutativo, el radical de Jacobson de un anillo conmutativo R se define como ^[1] la intersección de todos los ideales máximos . Si denotamos Specm R como el conjunto de todos los ideales máximos en R entonces ${\mathfrak {m}}$

$\mathrm {J} (R)=\bigcap _{{\mathfrak {m}}\,\in \,\operatorname {Specm} R}{\mathfrak {m}}$

Esta definición se puede utilizar para cálculos explícitos en varios casos simples, como para anillos locales ( R , ) ${\mathfrak {p}}$ , que tienen un ideal máximo único, anillos artinianos y productos de los mismos. Consulte la sección de ejemplos para cálculos explícitos.

Caso no conmutativo/general

Para un anillo general con unidad R , el radical de Jacobson J( R ) se define como el ideal de todos los elementos r ∈ R tal que rM = 0 siempre que M sea un R -módulo simple . Eso es,

\mathrm {J} (R)=\{r\in R\mid rM=0{\text{ donde }}M{\text{ es simple}}\}.

RR /

{\mathfrak {m}}

de RaniquiladoresR /RAnn _R ( R / ) =

{\mathfrak {m}}

{\mathfrak {m}}

{\mathfrak {m}}

{\mathfrak {m}}

{\mathfrak {m}}

Motivación

Comprender el radical de Jacobson reside en algunos casos diferentes: a saber, sus aplicaciones y las interpretaciones geométricas resultantes , y sus interpretaciones algebraicas.

Aplicaciones geométricas

Aunque Jacobson introdujo originalmente su radical como una técnica para construir una teoría de radicales para anillos arbitrarios, una de las razones que motivan por qué el radical de Jacobson se considera en el caso conmutativo es por su aparición en el lema de Nakayama . Este lema es una herramienta técnica para estudiar módulos generados finitamente sobre anillos conmutativos que tiene una interpretación geométrica sencilla: si tenemos un paquete de vectores E → X sobre un espacio topológico X y elegimos un punto p ∈ X , entonces cualquier base de E | _p se puede extender a una base de secciones de E | _U → U para algún vecindario p ∈ U ⊆ X .

Otra aplicación es en el caso de anillos conmutativos generados finitamente, lo que significa que R tiene la forma

R={\frac {k[x_{1},\ldots,x_{n}]}{I}}

kcampo números enteros radical nilIRvariedad algebraica de Hilbert Nullstellensatz la teoría de esquemas

Caracterizaciones equivalentes

El radical Jacobson de un anillo tiene varias caracterizaciones internas y externas. Las siguientes equivalencias aparecen en muchos textos de álgebra no conmutativa , como Anderson & Fuller 1992, §15, Isaacs 1994, §13B y Lam 2001, Ch 2.

Las siguientes son caracterizaciones equivalentes del radical de Jacobson en anillos con unidad (las caracterizaciones para anillos sin unidad se dan inmediatamente después):

J( R ) es igual a la intersección de todos los ideales máximos derechos del anillo. La equivalencia proviene del hecho de que para todos los ideales rectos máximos M , R / M es un módulo R derecho simple y que, de hecho, todos los módulos R derechos simples son isomorfos a uno de este tipo a través del mapa de R a S dado por r ↦ xr para cualquier generador x de S . También es cierto que J( R ) es igual a la intersección de todos los ideales máximos izquierdos dentro del anillo. ^[2] Estas caracterizaciones son internas al anillo, ya que solo se necesita encontrar los ideales máximos derechos del anillo. Por ejemplo, si un anillo es local y tiene un ideal máximo derecho único , entonces este ideal máximo derecho único es exactamente J( R ). En cierto sentido, los ideales máximos son más fáciles de buscar que los aniquiladores de módulos. Sin embargo, esta caracterización es deficiente porque no resulta útil cuando se trabaja computacionalmente con J( R ). La simetría izquierda-derecha de estas dos definiciones es notable y tiene varias consecuencias interesantes. ^[2]^[3] Esta simetría contrasta con la falta de simetría en los zócalos de R , ya que puede suceder que soc( R _R ) no sea igual a soc( _R R ). Si R es un anillo no conmutativo , J( R ) no es necesariamente igual a la intersección de todos los ideales máximos bilaterales de R. Por ejemplo, si V es una suma directa contable de copias de un campo k y R = End( V ) (el anillo de endomorfismos de V como un módulo k ), entonces J( R ) = 0 porque se sabe que R es Regular de von Neumann , pero hay exactamente un ideal máximo de doble cara en R que consta de endomorfismos con imagen de dimensión finita . ^[4]
J( R ) es igual a la suma de todos los ideales superfluos de derecha (o simétricamente, la suma de todos los ideales superfluos de izquierda) de R . Comparando esto con la definición anterior, la suma de ideales correctos superfluos es igual a la intersección de ideales correctos máximos. Este fenómeno se refleja dualmente para el zócalo derecho de R ; soc( R _R ) es tanto la suma de ideales correctos mínimos como la intersección de ideales correctos esenciales . De hecho, estas dos relaciones son válidas para los radicales y zócalos de módulos en general.
Como se definió en la introducción, J( R ) es igual a la intersección de todos los aniquiladores de R -módulos derechos simples , sin embargo, también es cierto que es la intersección de aniquiladores de módulos izquierdos simples. Un ideal que es el aniquilador de un módulo simple se conoce como ideal primitivo , por lo que una reformulación de este establece que el radical de Jacobson es la intersección de todos los ideales primitivos. Esta caracterización es útil cuando se estudian módulos sobre anillos. Por ejemplo, si U es un módulo R recto y V es un submódulo máximo de U , U · J( R ) está contenido en V , donde U · J( R ) denota todos los productos de elementos de J( R ) ( los "escalares") con elementos en U , a la derecha. Esto se desprende del hecho de que el módulo cociente U / V es simple y, por tanto, aniquilado por J( R ).
J( R ) es el único ideal derecho de R máximo con la propiedad de que cada elemento es cuasiregular derecho ^[5]^[6] (o equivalentemente cuasiregular izquierdo ^[2] ). Esta caracterización del radical de Jacobson es útil tanto desde el punto de vista computacional como para ayudar a la intuición. Además, esta caracterización es útil para estudiar módulos sobre un anillo. El lema de Nakayama es quizás el ejemplo más conocido de esto. Aunque cada elemento de J( R ) es necesariamente cuasiregular , no todo elemento cuasiregular es necesariamente miembro de J( R ). ^[6]
Si bien no todos los elementos cuasiregulares están en J( R ), se puede demostrar que y está en J( R ) si y sólo si xy se deja cuasiregular para todo x en R. ^[7]
J( R ) es el conjunto de elementos x en R tales que cada elemento de 1 + RxR es una unidad: J( R ) = { x ∈ R | 1 + RxR ⊂ R ^× } . De hecho, y ∈ R está en el radical de Jacobson si y sólo si 1 + xy es invertible para cualquier x ∈ R , si y sólo si 1 + yx es invertible para cualquier x ∈ R . Esto significa que xy e yx se comportan de manera similar a un elemento nilpotente z con z ^{n +1} = 0 y (1 + z ) ⁻¹ = 1 − z + z² − ... ± z ⁿ .

Para anillos sin unidad es posible tener R = J( R ) ; sin embargo, la ecuación J( R / J( R )) = {0} sigue siendo válida. Las siguientes son caracterizaciones equivalentes de J( R ) para anillos sin unidad: ^[8]

La noción de cuasiregularidad izquierda se puede generalizar de la siguiente manera. Llame a un elemento a en R cuasiregular generalizado a la izquierda si existe c en R tal que c + a − ca = 0 . Entonces J( R ) consta de cada elemento a para el cual ra se deja cuasiregular generalizado para todo r en R. Se puede comprobar que esta definición coincide con la definición cuasiregular anterior para anillos con unidad.
Para un anillo sin unidad, la definición de un módulo simple izquierdo M se modifica agregando la condición de que R ⋅ M ≠ 0 . Con este entendimiento, J( R ) puede definirse como la intersección de todos los aniquiladores de módulos R izquierdos simples , o simplemente R si no hay módulos R izquierdos simples . Existen anillos sin unidad sin módulos simples, en cuyo caso R = J( R ) , y el anillo se llama anillo radical . Al utilizar la caracterización cuasiregular generalizada del radical, queda claro que si se encuentra un anillo con J( R ) distinto de cero, entonces J( R ) es un anillo radical cuando se considera un anillo sin unidad.

Ejemplos

Ejemplos conmutativos

Para el anillo de números enteros Z su radical de Jacobson es el ideal cero , entonces J( Z ) = (0) , porque viene dado por la intersección de todo ideal generado por un número primo ( p ). Dado que ( p ₁ ) ∩ ( p ₂ ) = ( p ₁ ⋅ p ₂ ) , y estamos tomando una intersección infinita sin elementos comunes además de 0 entre todos los ideales máximos, tenemos el cálculo.
Para un anillo local ( R , ), ${\mathfrak {p}}$ el radical de Jacobson es simplemente J( R ) = ${\mathfrak {p}}$ . Este es un caso importante debido a su uso en la aplicación del lema de Nakayama. En particular, implica si tenemos un paquete de vectores algebraicos E → X sobre un esquema o variedad algebraica X y fijamos una base de E | _p para algún punto p ∈ X , entonces esta base se eleva a un conjunto de generadores para todas las secciones E para alguna vecindad U de p .
Si k es un campo y R = k [[ X ₁ , ..., X _n ]] es un anillo de series de potencias formales , entonces J( R ) consta de aquellas series de potencias cuyo término constante es cero, es decir, la serie de potencias en el ideal ( X ₁ , ..., X _n ) .
En el caso de anillos artinianos , como C [ t ₁ , t ₂ ]/( t ₁⁴ , t ₁²t ₂² , t ₂⁹ ) , el radical de Jacobson es ( t ₁ , t ₂ ) .
El ejemplo anterior podría extenderse al anillo R = C [ t ₂ , t ₃ , ...]/( t ₂² , t ₃³ , ...) , dando J( R ) = ( t ₂ , t ₃ , ...) .
El radical de Jacobson del anillo Z /12 Z es 6 Z /12 Z , que es la intersección de los ideales máximos 2 Z /12 Z y 3 Z / 12 Z.
Considere el anillo C [ t ] ⊗ _C C [ x ₁ , x ₂ ] _{x ₁² + x ₂² −1} , donde el segundo es la localización de C [ x ₁ , x ₂ ] por el ideal primo = ( x ₁² + x ₂² − 1) . Entonces, el radical de Jacobson es trivial porque los ideales máximos son generados por un elemento de la forma ( t − z ) ⊗ ( x ₁² + x ₂² − 1 ) para z ∈ C . ${\mathfrak {p}}$

Ejemplos no conmutativos

Los anillos para los cuales J( R ) es {0} se denominan anillos semiprimitivos o, a veces, "anillos semisimples de Jacobson". El radical de Jacobson de cualquier campo, cualquier anillo regular de von Neumann y cualquier anillo primitivo izquierdo o derecho es {0}. El radical de Jacobson de los números enteros es {0}.
Si K es un campo y R es el anillo de todas las matrices triangulares superiores de n por n con entradas en K , entonces J( R ) consta de todas las matrices triangulares superiores con ceros en la diagonal principal.
Comience con un carcaj acíclico finito Γ y un campo K y considere el álgebra del carcaj K Γ (como se describe en el artículo Quiver ). El radical de Jacobson de este anillo es generado por todos los caminos en Γ de longitud ≥ 1.
El radical de Jacobson de un álgebra C* es {0}. Esto se desprende del teorema de Gelfand-Naimark y del hecho de que para un álgebra C*, una representación * topológicamente irreducible en un espacio de Hilbert es algebraicamente irreducible, de modo que su núcleo es un ideal primitivo en el sentido puramente algebraico (ver Espectro de a C*-álgebra ).

Propiedades

Si R es unital y no es el anillo trivial {0}, el radical de Jacobson siempre es distinto de R ya que los anillos con unidad siempre tienen ideales máximos correctos . Sin embargo, algunos teoremas y conjeturas importantes en la teoría de anillos consideran el caso en el que J( R ) = R – "Si R es un anillo nulo (es decir, cada uno de sus elementos es nilpotente ), ¿el anillo polinómico R [ x ] es igual a ¿Es radical Jacobson?" Es equivalente a la conjetura abierta de Köthe . ^[9]
Para cualquier ideal I contenido en J( R ), J( R / I ) = J( R ) / I .
En particular, el radical de Jacobson del anillo R /J( R ) es cero. Los anillos con radical de Jacobson cero se denominan anillos semiprimitivos .
Un anillo es semisimple si y sólo si es artiniano y su radical de Jacobson es cero.
Si f : R → S es un homomorfismo de anillo sobreyectivo , entonces f (J( R )) ⊆ J( S ) .
Si R es un anillo con unidad y M es un módulo R izquierdo finitamente generado con J( R ) M = M , entonces M = 0 ( lema de Nakayama ).
J( R ) contiene todos los elementos nilpotentes centrales , pero no contiene elementos idempotentes excepto 0.
J( R ) contiene cada ideal nulo de R . Si R es artiniano de izquierda o de derecha , entonces J( R ) es un ideal nilpotente .
En realidad, esto se puede fortalecer: si {0} = T ₀ ⊆ T ₁ ⊆ ⋅⋅⋅ ⊆ T _k = R es una serie de composición para el módulo R derecho R (dicha serie seguramente existirá si R es correcto. Artiniano , y hay una serie de composición izquierda similar si R es artiniano por la izquierda), entonces (J( R )) ^k = 0 . ^[a]

Tenga en cuenta, sin embargo, que en general el radical de Jacobson no tiene por qué consistir únicamente en los elementos nilpotentes del anillo.
Si R es conmutativo y se genera de forma finita como un álgebra sobre un campo o Z , entonces J( R ) es igual al radical nil de R.
El radical de Jacobson de un anillo (unital) es su ideal derecho (equivalentemente izquierdo) superfluo más grande.

Ver también

Notas

^ Prueba: dado que los factores T _u / T _{u −1} son módulos R derechos simples , la multiplicación correcta por cualquier elemento de J ( R ) aniquila estos factores.
En otras palabras, ( T _u / T _{u −1} ) ⋅ J( R ) = 0 , de donde T _u · J( R ) ⊆ T _{u −1} . En consecuencia, la inducción sobre i muestra que todos los enteros no negativos i y u (para los cuales lo siguiente tiene sentido) satisfacen T _u ⋅ (J( R )) ⁱ ⊆ T _{u − i} . Aplicando esto a u = i = k se obtiene el resultado.

Citas

^ "Sección 10.18 (0AMD): El radical Jacobson de un anillo: el proyecto Stacks". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 24 de diciembre de 2020 .
^ abc Isaacs 1994, pag. 182
^ Isaacs 1994, pag. 173, Problema 12.5
^ Lam 2001, pag. 46, ej. 3.15
^ Isaacs 1994, pag. 180, Corolario 13.4
^ ab Isaacs 1994, pág. 181
^ Lam 2001, pag. 50.
^ Lam 2001, pag. 63
^ Smoktunowicz 2006, pag. 260, §5

Referencias

Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Textos de Posgrado en Matemáticas , vol. 13 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, señor 1245487
Atiyah, MF ; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley Publishing Co., págs. ix+128, MR 0242802
Bourbaki, N. Éléments de mathématique .
Herstein, IN (1994) [1968], Anillos no conmutativos , Carus Mathematical Monographs, vol. 15, Washington, DC: Asociación Matemática de América , págs. xii+202, ISBN 0-88385-015-X, señor 1449137Reimpresión del original de 1968; Con epílogo de Lance W. Small
Isaacs, IM (1994), Álgebra: un curso de posgrado (1ª ed.), Brooks/Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
Jacobson, Nathan (1945), "La radical y la semisimplicidad de los anillos arbitrarios", American Journal of Mathematics , 67 (2): 300–320, doi :10.2307/2371731, ISSN 0002-9327, JSTOR 2371731, MR 0012271
Lam, TY (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 131 (2 ed.), Springer-Verlag, págs. xx+385, doi :10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, señor 1838439
Pierce, Richard S. (1982), Álgebras asociativas , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 88, Springer-Verlag, págs. xii+436, ISBN 0-387-90693-2, señor 0674652Estudios de Historia de la Ciencia Moderna, 9
Smoktunowicz, Agata (2006), "Algunos resultados en la teoría de anillos no conmutativos", Congreso Internacional de Matemáticos, vol. II (PDF) , Sociedad Matemática Europea , págs. 259–269, ISBN 978-3-03719-022-7, MR 2275597, archivado desde el original (PDF) el 9 de agosto de 2017 , consultado el 31 de diciembre de 2014

enlaces externos

Ejemplo intuitivo de un radical de Jacobson