Aniquilador (teoría del anillo)

Ideal que asigna a cero un subconjunto de un módulo

En matemáticas , el aniquilador de un subconjunto S de un módulo sobre un anillo es el ideal formado por los elementos del anillo que dan siempre cero al multiplicarse por cada elemento de S.

Sobre un dominio integral , un módulo que tiene un aniquilador distinto de cero es un módulo de torsión , y un módulo de torsión generado finitamente tiene un aniquilador distinto de cero.

La definición anterior se aplica también en el caso de anillos no conmutativos , donde el aniquilador izquierdo de un módulo izquierdo es un ideal izquierdo, y el aniquilador derecho de un módulo derecho es un ideal derecho.

Definiciones

Sea R un anillo y sea M un módulo izquierdo R. Elija un subconjunto no vacío S de M. El aniquilador de S , denotado Ann _R ( S ), es el conjunto de todos los elementos r en R tales que, para todos los s en S , rs = 0. [ ^1] En notación de conjuntos,

${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0}$a pesar de ${\displaystyle s\in S\}}$

Es el conjunto de todos los elementos de R que "aniquilan" a S (los elementos para los que S es un conjunto de torsión). También se pueden utilizar subconjuntos de módulos rectos, tras la modificación de " sr = 0 " en la definición.

El aniquilador de un solo elemento x se escribe habitualmente Ann _R ( x ) en lugar de Ann _R ({ x }). Si el anillo R se puede entender a partir del contexto, se puede omitir el subíndice R.

Dado que R es un módulo sobre sí mismo, S puede considerarse un subconjunto del propio R , y dado que R es un módulo R tanto derecho como izquierdo , la notación debe modificarse ligeramente para indicar el lado izquierdo o derecho. Por lo general, se utilizan y o algún esquema de subíndice similar para distinguir los aniquiladores izquierdo y derecho, si es necesario. ${\displaystyle \ell .\!\mathrm {Ann} _{R}(S)\,}$ ${\displaystyle r.\!\mathrm {Ann} _{R}(S)\,}$

Si M es un módulo R y Ann _R ( M ) = 0 , entonces M se llama un módulo fiel .

Propiedades

Si S es un subconjunto de un módulo R izquierdo M , entonces Ann( S ) es un ideal izquierdo de R . ^[2]

Si S es un submódulo de M , entonces Ann _R ( S ) es incluso un ideal bilateral: ( ac ) s = a ( cs ) = 0, ya que cs es otro elemento de S . ^[3]

Si S es un subconjunto de M y N es el submódulo de M generado por S , entonces en general Ann _R ( N ) es un subconjunto de Ann _R ( S ), pero no son necesariamente iguales. Si R es conmutativo , entonces se cumple la igualdad.

M también puede considerarse como un módulo R /Ann _R ( M ) mediante la acción . Por cierto, no siempre es posible convertir un módulo R en un módulo R / I de esta manera, pero si el ideal I es un subconjunto del aniquilador de M , entonces esta acción está bien definida. Considerado como un módulo R /Ann _R ( M ), M es automáticamente un módulo fiel. ${\displaystyle {\overline {r}}m:=rm\,}$

Para anillos conmutativos

A lo largo de esta sección, sea un anillo conmutativo y un módulo finitamente generado . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$

Relación con el apoyo

El soporte de un módulo se define como

${\displaystyle \operatorname {Supp} M=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\mid M_{\mathfrak {p}}\neq 0\}.}$

Entonces, cuando el módulo se genera finitamente, existe la relación

${\displaystyle V(\operatorname {Ann} _{R}(M))=\operatorname {Supp} M}$,

donde es el conjunto de ideales primos que contienen al subconjunto. ^[4] ${\displaystyle V(\cdot )}$

Secuencias cortas y exactas

Dada una secuencia corta y exacta de módulos,

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0,}$

la propiedad de soporte

${\displaystyle \operatorname {Supp} M=\operatorname {Supp} M'\cup \operatorname {Supp} M'',}$^[5]

Junto con la relación con el aniquilador implica

${\displaystyle V(\operatorname {Ann} _{R}(M))=V(\operatorname {Ann} _{R}(M'))\cup V(\operatorname {Ann} _{R}(M'')).}$

Más específicamente, las relaciones

${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(M')\cap \operatorname {Ann} _{R}(M'')\supseteq \operatorname {Ann} _{R}(M)\supseteq \operatorname {Ann} _{R}(M')\operatorname {Ann} _{R}(M'').}$

Si la secuencia se divide, entonces la desigualdad de la izquierda siempre es una igualdad. Esto se cumple para sumas directas arbitrarias de módulos, como

${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}\left(\bigoplus _{i\in I}M_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}\operatorname {Ann} _{R}(M_{i}).}$

Módulos de cociente y aniquiladores

Dado un ideal y sea un módulo finitamente generado, entonces existe la relación ${\displaystyle I\subseteq R}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\text{Supp}}(M/IM)=\operatorname {Supp} M\cap V(I)}$

sobre el soporte. Utilizando la relación con el soporte, se obtiene la relación con el aniquilador ^[6]

${\displaystyle V({\text{Ann}}_{R}(M/IM))=V({\text{Ann}}_{R}(M))\cap V(I).}$

Ejemplos

Sobre los números enteros

Sobre cualquier módulo finitamente generado se clasifica completamente como la suma directa de su parte libre con su parte de torsión a partir del teorema fundamental de los grupos abelianos. Entonces el aniquilador de un módulo finitamente generado es no trivial solo si es completamente de torsión. Esto se debe a que ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\text{Ann}}_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ^{\oplus k})=\{0\}=(0)}$

ya que el único elemento que mata a cada uno de los es . Por ejemplo, el aniquilador de es ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /3}$

${\displaystyle {\text{Ann}}_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /3)=(6)=({\text{lcm}}(2,3)),}$

El ideal generado por . De hecho, el aniquilador de un módulo de torsión ${\displaystyle (6)}$

${\displaystyle M\cong \bigoplus _{i=1}^{n}(\mathbb {Z} /a_{i})^{\oplus k_{i}}}$

es isomorfo al ideal generado por su mínimo común múltiplo , . Esto demuestra que los aniquiladores pueden clasificarse fácilmente sobre los números enteros. ${\displaystyle (\operatorname {lcm} (a_{1},\ldots ,a_{n}))}$

Sobre un anillo conmutativoR

Existe un cálculo similar que se puede realizar para cualquier módulo finitamente presentado sobre un anillo conmutativo . La definición de presentación finita de implica que existe una secuencia exacta, llamada presentación, dada por ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle R^{\oplus l}\xrightarrow {\phi } R^{\oplus k}\to M\to 0}$

donde está en . Escribiéndolo explícitamente como una matriz, se obtiene como ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\text{Mat}}_{k,l}(R)}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi ={\begin{bmatrix}\phi _{1,1}&\cdots &\phi _{1,l}\\\vdots &&\vdots \\\phi _{k,1}&\cdots &\phi _{k,l}\end{bmatrix}};}$

Por lo tanto, tiene la descomposición de suma directa ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M=\bigoplus _{i=1}^{k}{\frac {R}{(\phi _{i,1}(1),\ldots ,\phi _{i,l}(1))}}}$

Si cada uno de estos ideales se escribe como

${\displaystyle I_{i}=(\phi _{i,1}(1),\ldots ,\phi _{i,l}(1))}$

Entonces el ideal dado por ${\displaystyle I}$

${\displaystyle V(I)=\bigcup _{i=1}^{k}V(I_{i})}$

presenta el aniquilador.

Encimaa[incógnita,y]

Sobre el anillo conmutativo de un cuerpo , el aniquilador del módulo ${\displaystyle k[x,y]}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle M={\frac {k[x,y]}{(x^{2}-y)}}\oplus {\frac {k[x,y]}{(y-3)}}}$

viene dado por el ideal

${\displaystyle {\text{Ann}}_{k[x,y]}(M)=((x^{2}-y)(y-3)).}$

Condiciones de cadena sobre ideales aniquiladores

La red de ideales de la forma donde S es un subconjunto de R es una red completa cuando está parcialmente ordenada por inclusión . Existe interés en estudiar anillos para los cuales esta red (o su contraparte derecha) satisface la condición de cadena ascendente o la condición de cadena descendente . ${\displaystyle \ell .\!\mathrm {Ann} _{R}(S)}$

Denotemos la red de ideales de aniquilador izquierdo de R como y la red de ideales de aniquilador derecho de R como . Se sabe que satisface la condición de cadena ascendente si y solo si satisface la condición de cadena descendente, y satisface simétricamente la condición de cadena ascendente si y solo si satisface la condición de cadena descendente. Si cualquiera de las redes tiene cualquiera de estas condiciones de cadena, entonces R no tiene conjuntos ortogonales infinitos por pares de idempotentes . ^{[7] [8]} ${\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {RA}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {RA}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {RA}}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}$

Si R es un anillo que satisface la ACC y _R R tiene dimensión uniforme finita , entonces R se llama anillo de Goldie izquierdo . ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {LA}}\,}$

Descripción de anillos conmutativos según la teoría de categorías

Cuando R es conmutativo y M es un módulo R , podemos describir Ann _R ( M ) como el núcleo del mapa de acción R → End _R ( M ) determinado por el mapa adjunto de la identidad M → M a lo largo de la adjunción del tensor Hom .

De manera más general, dado un mapa bilineal de módulos , el aniquilador de un subconjunto es el conjunto de todos los elementos en ese aniquilador : ${\displaystyle F\colon M\times N\to P}$ ${\displaystyle S\subseteq M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {Ann} (S):=\{n\in N\mid \forall s\in S:F(s,n)=0\}.}$

Por el contrario, dado , se puede definir un aniquilador como un subconjunto de . ${\displaystyle T\subseteq N}$ ${\displaystyle M}$

El aniquilador proporciona una conexión de Galois entre subconjuntos de y , y el operador de cierre asociado es más fuerte que el intervalo. En particular: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

• Los aniquiladores son submódulos
• ${\displaystyle \operatorname {Span} S\leq \operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (S))}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (S)))=\operatorname {Ann} (S)}$

Un caso especial importante es la presencia de una forma no degenerada en un espacio vectorial , particularmente un producto interno : entonces el aniquilador asociado al mapa se llama complemento ortogonal . ${\displaystyle V\times V\to K}$

Relaciones con otras propiedades de los anillos.

Dado un módulo M sobre un anillo conmutativo noetheriano R , un ideal primo de R que es un aniquilador de un elemento distinto de cero de M se denomina primo asociado de M .

• Los aniquiladores se utilizan para definir anillos de Rickart y anillos de Baer izquierdos .
• El conjunto de divisores de cero (izquierdo) D _S de S se puede escribir como

${\displaystyle D_{S}=\bigcup _{x\in S\setminus \{0\}}{\mathrm {Ann} _{R}(x)}.}$

(Aquí permitimos que cero sea un divisor de cero).

En particular, D _R es el conjunto de divisores de cero (izquierdos) de R que toman S = R y R actúa sobre sí mismo como un módulo R izquierdo .

• Cuando R es conmutativo y noetheriano, el conjunto es precisamente igual a la unión de los primos asociados del R - módulo R. ${\displaystyle D_{R}}$

Véase también

• Teorema del aniquilador de Faltings
• Zócalo
• Soporte de un módulo

Notas

1. Pierce (1982), pág. 23.
2. Prueba: Si a y b aniquilan a S , entonces para cada s en S , ( a  +  b ) s = as  +  bs = 0, y para cualquier r en R , ( ra ) s = r ( as ) = r 0 = 0.
3. Pierce (1982), p. 23, Lema b, ítem (i).
4. "Lema 10.39.5 (00L2)—El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 13 de mayo de 2020 .
5. "Lema 10.39.9 (00L3)—El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 13 de mayo de 2020 .
6. "Lema 10.39.9 (00L3)—El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 13 de mayo de 2020 .
7. Anderson y Fuller 1992, pág. 322.
8. Lam 1999.

Referencias

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Graduate Texts in Mathematics , vol. 13 (2.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, Sr.  1245487
• Israel Nathan Herstein (1968) Anillos no conmutativos , Carus Mathematical Monographs #15, Mathematical Association of America , página 3.
• Lam, Tsit Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas, n.º 189, vol. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 228-232, doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, Sr.  1653294
• Richard S. Pierce. Álgebras asociativas . Textos de posgrado en matemáticas, vol. 88, Springer-Verlag, 1982, ISBN 978-0-387-90693-5