Carcaj (matemáticas)

Gráfico dirigido que también es un multigrafo.

En matemáticas , especialmente en teoría de la representación , un carcaj es otro nombre para un multidígrafo ; es decir, un gráfico dirigido donde se permiten bucles y múltiples flechas entre dos vértices . Los carcaj se utilizan comúnmente en la teoría de la representación: una representación  V de un carcaj asigna un espacio vectorial  V ( x ) a cada vértice  x del carcaj y un mapa lineal  V ( a ) a cada flecha  a .

En la teoría de categorías , se puede entender que un carcaj es la estructura subyacente de una categoría , pero sin composición ni designación de morfismos de identidad. Es decir, hay un funtor olvidable desde Cat (la categoría de categorías) hasta Quiv (la categoría de multidígrafos). Su adjunto izquierdo es un funtor libre que, a partir de un carcaj, forma la categoría libre correspondiente .

Definición

Un carcaj Γ consta de:

• El conjunto V de vértices de Γ
• El conjunto E de aristas de Γ
• Dos funciones: dar el inicio o origen del borde, y otra función, dar el destino del borde. ${\displaystyle s:E\to V}$ ${\displaystyle t:E\to V}$

Esta definición es idéntica a la de un multidígrafo .

Un morfismo de carcaj es un mapeo de vértices a vértices que lleva aristas dirigidas a aristas dirigidas. Formalmente, si y son dos carcaj, entonces un morfismo de carcaj consta de dos funciones y es tal que los siguientes diagramas conmutan : ${\displaystyle \Gamma =(V,E,s,t)}$ ${\displaystyle \Gamma '=(V',E',s',t')}$ ${\displaystyle m=(m_{v},m_{e})}$ ${\displaystyle m_{v}:V\to V'}$ ${\displaystyle m_{e}:E\to E'}$

Eso es,

${\displaystyle m_{v}\circ s=s'\circ m_{e}}$

y

${\displaystyle m_{v}\circ t=t'\circ m_{e}}$

Definición teórica de categorías

La definición anterior se basa en la teoría de conjuntos ; la definición teórica de categorías generaliza esto en un functor del carcaj libre a la categoría de conjuntos .

El carcaj libre (también llamado carcaj andante , carcaj de Kronecker , carcaj de 2 Kronecker o categoría Kronecker ) Q es una categoría con dos objetos y cuatro morfismos: los objetos son V y E. Los cuatro morfismos son y los morfismos de identidad y Es decir, el carcaj libre es ${\displaystyle s:E\to V,}$ ${\displaystyle t:E\to V,}$ ${\displaystyle \mathrm {id} _{V}:V\to V}$ ${\displaystyle \mathrm {id} _{E}:E\to E.}$

${\displaystyle E\;{\begin{matrix}s\\[-6pt]\rightrightarrows \\[-4pt]t\end{matrix}}\;V}$

Un carcaj es entonces un funtor. ${\displaystyle \Gamma :Q\to \mathbf {Set} .}$

De manera más general, un carcaj en una categoría C es un funtor. La categoría Quiv ( C ) de carcaj en C es la categoría de funtor donde: ${\displaystyle \Gamma :Q\to C.}$

• los objetos son funtores ${\displaystyle \Gamma :Q\to C,}$
• Los morfismos son transformaciones naturales entre functores.

Tenga en cuenta que Quiv es la categoría de presheaves en la categoría opuesta Q ^op .

Álgebra de caminos

Si Γ es un carcaj, entonces un camino en Γ es una secuencia de flechas

${\displaystyle a_{n}a_{n-1}\dots a_{3}a_{2}a_{1}}$

tal que la cabeza de a _{i +1} es la cola de a _i para i = 1,…, n −1 , usando la convención de concatenar caminos de derecha a izquierda.

Si K es un campo , entonces el álgebra del carcaj o álgebra de caminos K  Γ se define como un espacio vectorial que tiene todos los caminos (de longitud ≥ 0) en el carcaj como base (incluido, para cada vértice i del carcaj Γ , un camino trivial e _i de longitud 0; no se supone que estos caminos sean iguales para diferentes i ), y la multiplicación se da por concatenación de caminos. Si dos caminos no se pueden concatenar porque el vértice final del primero no es igual al vértice inicial del segundo, su producto se define como cero. Esto define un álgebra asociativa sobre K . Esta álgebra tiene un elemento unitario si y sólo si el carcaj tiene sólo un número finito de vértices. En este caso, los módulos sobre K  Γ se identifican naturalmente con las representaciones de Γ . Si el carcaj tiene infinitos vértices, entonces K  Γ tiene una identidad aproximada dada por donde F abarca subconjuntos finitos del conjunto de vértices de Γ . ${\textstyle e_{F}:=\sum _{v\in F}1_{v}}$

Si el carcaj tiene un número finito de vértices y flechas, y el vértice final y el vértice inicial de cualquier camino son siempre distintos (es decir, Q no tiene ciclos orientados), entonces K  Γ es un álgebra hereditaria de dimensión finita sobre K . Por el contrario, si K es algebraicamente cerrado, entonces cualquier álgebra asociativa hereditaria de dimensión finita sobre K es equivalente de Morita al álgebra de trayectoria de su carcaj Ext (es decir, tienen categorías de módulo equivalentes).

Representaciones de carcaj

Una representación de un carcaj Q es una asociación de un módulo R a cada vértice de Q y un morfismo entre cada módulo para cada flecha.

Se dice que una representación V de un carcaj Q es trivial si para todos los vértices x en  Q. ${\displaystyle V(x)=0}$

Un morfismo , entre representaciones del carcaj Q , es una colección de aplicaciones lineales tales que para cada flecha a en Q de x a y , es decir, los cuadrados que f forma con las flechas de V y V' todos conmutan. Un morfismo, f , es un isomorfismo , si f ( x ) es invertible para todos los vértices x del carcaj. Con estas definiciones las representaciones de un carcaj forman una categoría . ${\displaystyle f:V\to V',}$ ${\displaystyle f(x):V(x)\to V'(x)}$ ${\displaystyle V'(a)f(x)=f(y)V(a),}$

Si V y W son representaciones de un carcaj Q , entonces la suma directa de estas representaciones se define por para todos los vértices x en Q y es la suma directa de las asignaciones lineales V ( a ) y  W ( a ) . ${\displaystyle V\oplus W,}$ ${\displaystyle (V\oplus W)(x)=V(x)\oplus W(x)}$ ${\displaystyle (V\oplus W)(a)}$

Se dice que una representación es descomponible si es isomorfa a la suma directa de representaciones distintas de cero.

También se puede dar una definición categórica de representación de carcaj. El carcaj en sí puede considerarse una categoría, donde los vértices son objetos y los caminos son morfismos. Entonces una representación de Q es simplemente un functor covariante de esta categoría a la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita . Los morfismos de representaciones de Q son precisamente transformaciones naturales entre los functores correspondientes.

Para un carcaj finito Γ (un carcaj con un número finito de vértices y aristas), sea K  Γ su álgebra de caminos. Sea e _i el camino trivial en el vértice  i . Entonces podemos asociar al vértice  i el módulo proyectivo K  Γ K  Γ e _i que consta de combinaciones lineales de caminos que tienen un vértice inicial  i . Esto corresponde a la representación de Γ obtenida al colocar una copia de K en cada vértice que se encuentra en un camino que comienza en i y 0 en cada uno de los demás vértices. A cada arista que une dos copias de K le asociamos el mapa de identidad.

Esta teoría fue relacionada con las álgebras de grupos de Derksen, Weyman y Zelevinsky. ^[1]

Carcaj con relaciones

Para imponer la conmutatividad de algunos cuadrados dentro de un carcaj, una generalización es la noción de carcaj con relaciones (también llamado carcaj ligado). Una relación en un carcaj Q es una K combinación lineal de caminos desde Q. Un carcaj con relación es un par ( Q , I ) con Q un carcaj y un ideal del álgebra de caminos. El cociente K  Γ/ I es el álgebra de caminos de ( Q , I ) . ${\displaystyle I\subseteq K\Gamma }$

Variedad de carcaj

Dadas las dimensiones de los espacios vectoriales asignados a cada vértice, se puede formar una variedad que caracterice todas las representaciones de ese carcaj con esas dimensiones especificadas, y considerar las condiciones de estabilidad. Estos dan variedades de carcaj, según lo construido por King (1994).

teorema de gabriel

Un carcaj es de tipo finito si tiene sólo un número finito de clases de isomorfismo de representaciones indescomponibles . Gabriel (1972) clasificó todos los carcaj de tipo finito y también sus representaciones indescomponibles. Más precisamente, el teorema de Gabriel establece que:

1. _{Un carcaj ( conectado ) es de tipo finito si y sólo si} su gráfico subyacente (cuando se ignoran las direcciones de las flechas) es uno de los diagramas de ADE Dynkin : An , _Dn , E6 , E7 , E8 .
2. Las representaciones indescomponibles están en correspondencia uno a uno con las raíces positivas del sistema de raíces del diagrama de Dynkin.

Dlab y Ringel (1973) encontraron una generalización del teorema de Gabriel en el que ocurren todos los diagramas de Dynkin de álgebras de Lie semisimples de dimensión finita. Victor Kac generalizó esto a todos los carcaj y sus correspondientes álgebras de Kac-Moody .

Ver también

• clasificación ADE
• Categoría de adhesivo
• Teoría de la asamblea
• Álgebra gráfica
• Anillo de grupo
• Álgebra de incidencia
• diagrama de carcaj
• Semi-invariante de un carcaj
• Variedad tórica
• Geometría algebraica no conmutativa derivada : los Quivers ayudan a codificar los datos de esquemas no conmutativos derivados.

Referencias

1. Derksen, daño; Weyman, Jerzy; Zelevinsky, Andrei (21 de abril de 2008), Carcaj con potenciales y sus representaciones I: Mutaciones, doi :10.48550/arXiv.0704.0649 , consultado el 23 de febrero de 2024. Publicado en J. Amer. Matemáticas. Soc. 23 (2010), pág. 749-790.

Libros

Kirillov, Alexander (2016), Representaciones de Quiver y variedades de Quiver, Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-1-4704-2307-0

Notas de lectura

• Crawley-Boevey, William, Conferencias sobre representaciones de carcaj (PDF) , archivado desde el original el 20 de agosto de 2017{{citation}}: Mantenimiento CS1: bot: estado de la URL original desconocido ( enlace )
• Representaciones de carcaj en geometría tórica.

Investigación

• Variedades tóricas proyectivas como espacios de módulos finos de representaciones de carcaj.

Fuentes

• Derksen, daño; Weyman, Jerzy (febrero de 2005), "Quiver Representations" (PDF) , Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense , 52 (2)
• Dlab, Vlastimil; Ringel, Claus Michael (1973), Sobre álgebras de tipo de representación finita, Carleton Mathematical Lecture Notes, vol. 2, Departamento de Matemáticas, Carleton Univ., Ottawa, Ontario, MR  0347907
• Crawley-Boevey, William (1992), Notas sobre representaciones de Quiver (PDF) , Universidad de Oxford , archivado desde el original (PDF) el 24 de julio de 2011 , consultado el 17 de febrero de 2007
• Gabriel, Peter (1972), "Unzerlegbare Darstellungen. I", Manuscripta Mathematica , 6 (1): 71–103, doi :10.1007/BF01298413, ISSN  0025-2611, SEÑOR  0332887. Fe de erratas ^{[ enlace muerto permanente ]} .
• Victor Kac, "Sistemas de raíces, representaciones de carcaj y teoría invariante" . Teoría invariante (Montecatini, 1982) , págs. 74-108, Lecture Notes in Math. 996, Springer-Verlag, Berlín 1983. ISBN 3-540-12319-9. ^[1]
• King, Alastair (1994), "Módulos de representaciones de álgebras de dimensión finita", Quart. J. Matemáticas. , 45 (180): 515–530, doi : 10.1093/qmath/45.4.515
• Savage, Alistair (2006) [2005], "Álgebras y carcajes de dimensión finita", en Francoise, J.-P.; Naber, GL; Tsou, ST (eds.), Enciclopedia de Física Matemática , vol. 2, Elsevier, págs. 313–320, arXiv : math/0505082 , Bibcode : 2005math......5082S
• Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim (2007), Elementos de la teoría de la representación de álgebras asociativas , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88218-7
• Bernšteĭn, IN; Gelfand, IM; Ponomarev, VA, "Functores de Coxeter y teorema de Gabriel" (ruso), Uspekhi Mat. Nauk 28 (1973), núm. 2(170), 19–33. Traducción en el sitio web de Bernstein.
• Carcaj en el laboratorio n

1. Gherardelli, Francesco; Centro Internazionale Matematico Estivo, eds. (1983). Teoría invariante: actas de la primera sesión de 1982 del Centro Internazionale Matematico Estivo (CIME), celebrada en Montecatini, Italia, del 10 al 18 de junio de 1982 . Apuntes de clases de matemáticas. Berlín Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-12319-4.