polinomio de Bernstein

Tipo de polinomio utilizado en análisis numérico

Polinomios de Bernstein que se aproximan a una curva

En el campo matemático del análisis numérico , un polinomio de Bernstein es un polinomio expresado como una combinación lineal de polinomios de base de Bernstein. La idea lleva el nombre del matemático Sergei Natanovich Bernstein .

Bernstein utilizó por primera vez los polinomios en forma de Bernstein en una prueba constructiva del teorema de aproximación de Weierstrass . Con la llegada de los gráficos por ordenador, los polinomios de Bernstein, restringidos al intervalo [0, 1], adquirieron importancia en forma de curvas de Bézier .

Una forma numéricamente estable de evaluar polinomios en forma de Bernstein es el algoritmo de De Casteljau .

Polinomios de la base de Bernstein para la combinación de curvas de cuarto grado

Definición

Polinomios de base de Bernstein

Los n  +1 polinomios de base de Bernstein de grado n se definen como

${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)\mathrel {:} \mathrel {=} {\binom {n}{\nu }}x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu },\quad \nu =0,\ldots ,n,}$

donde es un coeficiente binomial . ${\displaystyle {\tbinom {n}{\nu }}}$

Así por ejemplo, ${\displaystyle b_{2,5}(x)={\tbinom {5}{2}}x^{2}(1-x)^{3}=10x^{2}(1-x)^{3}.}$

Los primeros polinomios de base de Bernstein para combinar 1, 2, 3 o 4 valores son:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-x,&b_{1,1}(x)&=x\\b_{0,2}(x)&=(1-x)^{2},&b_{1,2}(x)&=2x(1-x),&b_{2,2}(x)&=x^{2}\\b_{0,3}(x)&=(1-x)^{3},&b_{1,3}(x)&=3x(1-x)^{2},&b_{2,3}(x)&=3x^{2}(1-x),&b_{3,3}(x)&=x^{3}\end{aligned}}}$

Los polinomios de base de Bernstein de grado n forman una base para el espacio vectorial de polinomios de grado como máximo  n con coeficientes reales. ${\displaystyle \Pi _{n}}$

polinomios de Bernstein

Una combinación lineal de polinomios de base de Bernstein.

${\displaystyle B_{n}(x)\mathrel {:} \mathrel {=} \sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)}$

se llama polinomio de Bernstein o polinomio en forma de Bernstein de grado  n . ^[1] Los coeficientes se denominan coeficientes de Bernstein o coeficientes de Bézier . ${\displaystyle \beta _{\nu }}$

Los primeros polinomios de la base de Bernstein vistos arriba en forma monomio son:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-1x,&b_{1,1}(x)&=0+1x\\b_{0,2}(x)&=1-2x+1x^{2},&b_{1,2}(x)&=0+2x-2x^{2},&b_{2,2}(x)&=0+0x+1x^{2}\\b_{0,3}(x)&=1-3x+3x^{2}-1x^{3},&b_{1,3}(x)&=0+3x-6x^{2}+3x^{3},&b_{2,3}(x)&=0+0x+3x^{2}-3x^{3},&b_{3,3}(x)&=0+0x+0x^{2}+1x^{3}\end{aligned}}}$

Propiedades

Los polinomios de base de Bernstein tienen las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0}$, Yo para ${\displaystyle \nu <0}$ ${\displaystyle \nu >n.}$
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)\geq 0}$para ${\displaystyle x\in [0,\ 1].}$
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}\left(1-x\right)=b_{n-\nu ,n}(x).}$
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}}$y donde está la función delta de Kronecker : ${\displaystyle b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}}$
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$tiene una raíz con multiplicidad en el punto (nota: si , no hay raíz en 0). ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \nu =0}$
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$tiene una raíz con multiplicidad en el punto (nota: si , no hay raíz en 1). ${\displaystyle \left(n-\nu \right)}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \nu =n}$
• La derivada se puede escribir como una combinación de dos polinomios de menor grado:
  $${\displaystyle b'_{\nu ,n}(x)=n\left(b_{\nu -1,n-1}(x)-b_{\nu ,n-1}(x)\right).}$$
• La k -ésima derivada en 0:
  $${\displaystyle b_{\nu ,n}^{(k)}(0)={\frac {n!}{(n-k)!}}{\binom {k}{\nu }}(-1)^{\nu +k}.}$$
• La k -ésima derivada en 1:
  $${\displaystyle b_{\nu ,n}^{(k)}(1)=(-1)^{k}b_{n-\nu ,n}^{(k)}(0).}$$
• La transformación del polinomio de Bernstein a monomios es
  $${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={\binom {n}{\nu }}\sum _{k=0}^{n-\nu }{\binom {n-\nu }{k}}(-1)^{n-\nu -k}x^{\nu +k}=\sum _{\ell =\nu }^{n}{\binom {n}{\ell }}{\binom {\ell }{\nu }}(-1)^{\ell -\nu }x^{\ell },}$$
  y por la transformación binomial inversa , la transformación inversa es ^[2]
  $${\displaystyle x^{k}=\sum _{i=0}^{n-k}{\binom {n-k}{i}}{\frac {1}{\binom {n}{i}}}b_{n-i,n}(x)={\frac {1}{\binom {n}{k}}}\sum _{j=k}^{n}{\binom {j}{k}}b_{j,n}(x).}$$
• La integral indefinida está dada por
  $${\displaystyle \int b_{\nu ,n}(x)\,dx={\frac {1}{n+1}}\sum _{j=\nu +1}^{n+1}b_{j,n+1}(x).}$$
• La integral definida es constante para un n dado :
  $${\displaystyle \int _{0}^{1}b_{\nu ,n}(x)\,dx={\frac {1}{n+1}}\quad \ \,{\text{for all }}\nu =0,1,\dots ,n.}$$
• Si , entonces tiene un máximo local único en el intervalo en . Este máximo toma el valor ${\displaystyle n\neq 0}$ ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$ ${\displaystyle [0,\,1]}$ ${\displaystyle x={\frac {\nu }{n}}}$
  $${\displaystyle \nu ^{\nu }n^{-n}\left(n-\nu \right)^{n-\nu }{n \choose \nu }.}$$
• Los polinomios de grado de la base de Bernstein forman una partición de la unidad : ${\displaystyle n}$
  $${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}b_{\nu ,n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu }=\left(x+\left(1-x\right)\right)^{n}=1.}$$
• Tomando la primera derivada de , tratándola como constante y luego sustituyendo el valor , se puede demostrar que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x+y)^{n}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y=1-x}$
  $${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}\nu b_{\nu ,n}(x)=nx.}$$
• De manera similar, la segunda derivada de , nuevamente sustituida , muestra que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x+y)^{n}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y=1-x}$
  $${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}\nu (\nu -1)b_{\nu ,n}(x)=n(n-1)x^{2}.}$$
• Un polinomio de Bernstein siempre se puede escribir como una combinación lineal de polinomios de grado superior:
  $${\displaystyle b_{\nu ,n-1}(x)={\frac {n-\nu }{n}}b_{\nu ,n}(x)+{\frac {\nu +1}{n}}b_{\nu +1,n}(x).}$$
• La expansión de los polinomios de primer tipo de Chebyshev en la base de Bernstein es ^[3]
  $${\displaystyle T_{n}(u)=(2n-1)!!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{n-k}}{(2k-1)!!(2n-2k-1)!!}}b_{k,n}(u).}$$

Aproximación de funciones continuas

Sea ƒ una función continua en el intervalo [0, 1]. Considere el polinomio de Bernstein

${\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).}$

Se puede demostrar que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{B_{n}(f)}=f}$

uniformemente en el intervalo [0, 1]. ^{[4] [1] [5] [6]}

Los polinomios de Bernstein proporcionan así una forma de demostrar el teorema de aproximación de Weierstrass de que toda función continua de valor real en un intervalo real [ a ,  b ] puede aproximarse uniformemente mediante funciones polinomiales sobre  . ^[7] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Una afirmación más general para una función con k- ^ésima derivada continua es

${\displaystyle {\left\|B_{n}(f)^{(k)}\right\|}_{\infty }\leq {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}\left\|f^{(k)}\right\|_{\infty }\quad \ {\text{and}}\quad \ \left\|f^{(k)}-B_{n}(f)^{(k)}\right\|_{\infty }\to 0,}$

donde además

${\displaystyle {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}=\left(1-{\frac {0}{n}}\right)\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)}$

es un valor propio de B _n ; la función propia correspondiente es un polinomio de grado  k .

prueba probabilística

Esta prueba sigue la prueba original de Bernstein de 1912. ^[8] Véase también Feller (1966) o Koralov & Sinai (2007). ^{[9] [5]}

Supongamos que K es una variable aleatoria distribuida como el número de éxitos en n ensayos independientes de Bernoulli con probabilidad x de éxito en cada ensayo; en otras palabras, K tiene una distribución binomial con parámetros n y  x . Entonces tenemos el valor esperado y ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {E}} \left[{\frac {K}{n}}\right]=x\ }$

${\displaystyle p(K)={n \choose K}x^{K}\left(1-x\right)^{n-K}=b_{K,n}(x)}$

Por la ley débil de los grandes números de la teoría de la probabilidad ,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{P\left(\left|{\frac {K}{n}}-x\right|>\delta \right)}=0}$

para cada δ  > 0. Además, esta relación se cumple uniformemente en x , lo que se puede ver en su prueba mediante la desigualdad de Chebyshev , teniendo en cuenta que la varianza de 1 ⁄ n  K , igual a 1 ⁄ n x (1− x ), está delimitado desde arriba por 1 ⁄ (4 n ) independientemente de x . 

Debido a que ƒ , al ser continua en un intervalo acotado cerrado, debe ser uniformemente continua en ese intervalo, se infiere un enunciado de la forma

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{P\left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|>\varepsilon \right)}=0}$

uniformemente en x . Teniendo en cuenta que ƒ está acotada (en el intervalo dado), se obtiene la expectativa

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\operatorname {\mathcal {E}} \left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|\right)}=0}$

uniformemente en x . Para ello se divide el importe de la expectativa en dos partes. Por una parte la diferencia no excede ε ; esta parte no puede contribuir más que ε . Por otra parte la diferencia excede ε , pero no excede 2 M , donde M es un límite superior para | ƒ (x)|; esta parte no puede contribuir más de 2 M veces la pequeña probabilidad de que la diferencia exceda ε .

Finalmente, se observa que el valor absoluto de la diferencia entre expectativas nunca excede la expectativa del valor absoluto de la diferencia, y

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {E}} \left[f\left({\frac {K}{n}}\right)\right]=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)p(K)=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)b_{K,n}(x)=B_{n}(f)(x)}$

Prueba elemental

La prueba probabilística también puede reformularse de manera elemental, utilizando las ideas probabilísticas subyacentes pero procediendo por verificación directa: ^{[10] [6] [11] [12] [13]}

Se pueden verificar las siguientes identidades:

1. ${\displaystyle \sum _{k}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=1}$("probabilidad")
2. ${\displaystyle \sum _{k}{k \over n}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=x}$("significar")
3. ${\displaystyle \sum _{k}\left(x-{k \over n}\right)^{2}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}={x(1-x) \over n}.}$("diferencia")

De hecho, por el teorema del binomio

$${\displaystyle (1+t)^{n}=\sum _{k}{n \choose k}t^{k},}$$

y esta ecuación se puede aplicar dos veces a . Las identidades (1), (2) y (3) se siguen fácilmente usando la sustitución . ${\displaystyle t{\frac {d}{dt}}}$ ${\displaystyle t=x/(1-x)}$

Dentro de estas tres identidades, utilice la notación polinómica básica anterior.

${\displaystyle b_{k,n}(x)={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k},}$

y deja

${\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{k}f(k/n)\,b_{k,n}(x).}$

Así, por identidad (1)

${\displaystyle f_{n}(x)-f(x)=\sum _{k}[f(k/n)-f(x)]\,b_{k,n}(x),}$

de modo que

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leq \sum _{k}|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x).}$

Dado que f es uniformemente continua, dado , existe un tal que siempre que . Además, por continuidad, . Pero entonces ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle |f(a)-f(b)|<\varepsilon }$ ${\displaystyle |a-b|<\delta }$ ${\displaystyle M=\sup |f|<\infty }$

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leq \sum _{|x-{k \over n}|<\delta }|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x)+\sum _{|x-{k \over n}|\geq \delta }|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x).}$

La primera suma es menor que ε. Por otro lado, por la identidad (3) anterior, y dado que , la segunda suma está limitada por los tiempos ${\displaystyle |x-k/n|\geq \delta }$ ${\displaystyle 2M}$

${\displaystyle \sum _{|x-k/n|\geq \delta }b_{k,n}(x)\leq \sum _{k}\delta ^{-2}\left(x-{k \over n}\right)^{2}b_{k,n}(x)=\delta ^{-2}{x(1-x) \over n}<{1 \over 4}\delta ^{-2}n^{-1}.}$

( Desigualdad de Chebyshev )

De ello se deduce que los polinomios f _n tienden a f uniformemente.

Generalizaciones a una dimensión superior.

Los polinomios de Bernstein se pueden generalizar a k dimensiones: los polinomios resultantes tienen la forma B _{i 1} ( x ₁ ) B _{i 2} ( x ₂ ) ... B _{i k} ( x _k ) . ^[1] En el caso más simple sólo se consideran productos del intervalo unitario [0,1] ; pero, usando transformaciones afines de la línea, los polinomios de Bernstein también se pueden definir para productos [ a ₁ , b ₁ ] × [ a ₂ , b ₂ ] × ... × [ a _k , b _k ] . Para una función continua f sobre el producto k veces mayor del intervalo unitario, la prueba de que f ( x ₁ , x ₂ , ... , x _k ) puede aproximarse uniformemente mediante

${\displaystyle \sum _{i_{1}}\sum _{i_{2}}\cdots \sum _{i_{k}}{n_{1} \choose i_{1}}{n_{2} \choose i_{2}}\cdots {n_{k} \choose i_{k}}f\left({i_{1} \over n_{1}},{i_{2} \over n_{2}},\dots ,{i_{k} \over n_{k}}\right)x_{1}^{i_{1}}(1-x_{1})^{n_{1}-i_{1}}x_{2}^{i_{2}}(1-x_{2})^{n_{2}-i_{2}}\cdots x_{k}^{i_{k}}(1-x_{k})^{n_{k}-i_{k}}}$

es una extensión directa de la prueba de Bernstein en una dimensión. ^[14]

Ver también

• Interpolación polinomial
• forma de Newton
• forma de Lagrange
• QMF binomial (también conocido como wavelet de Daubechies )

Notas

1. Lorentz 1953
2. Mathar, RJ (2018). "Función de base ortogonal sobre el círculo unitario con la propiedad minimax". Apéndice B. arXiv : 1802.09518 [math.NA].
3. Rababah, Abedallah (2003). "Transformación de la base polinómica de Chebyshev-Bernstein". comp. Metanfetamina. Aplica. Matemáticas . 3 (4): 608–622. doi : 10.2478/cmam-2003-0038 . S2CID  120938358.
4. Natanson (1964) pág. 6
5. Feller 1966
6. Beals 2004
7. Natanson (1964) pág. 3
8. Bernstein 1912
9. Koralov, L.; Sinaí, Y. (2007). ""Demostración probabilística del teorema de Weierstrass"". Teoría de la probabilidad y procesos aleatorios (2ª ed.). Springer. p. 29.
10. Lorentz 1953, págs. 5-6
11. Goldberg 1964
12. Akhiezer 1956
13. Burkill 1959
14. Hildebrandt, TH ; Schoenberg, IJ (1933), "Sobre operaciones funcionales lineales y el problema del momento para un intervalo finito en una o varias dimensiones", Annals of Mathematics , 34 (2): 327, doi :10.2307/1968205, JSTOR  1968205

Referencias

• Bernstein, S. (1912), "Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités (Prueba del teorema de Weierstrass basada en el cálculo de probabilidades)" (PDF) , Comm. Matemáticas de Jarkov. Soc. , 13 : 1–2, Traducción en inglés
• Lorentz, GG (1953), Polinomios de Bernstein , University of Toronto Press
• Akhiezer, NI (1956), Teoría de la aproximación (en ruso), traducida por Charles J. Hyman, Frederick Ungar, págs. 30-31, edición rusa publicada por primera vez en 1940
• Burkill, JC (1959), Conferencias sobre aproximación mediante polinomios (PDF) , Bombay: Instituto Tata de Investigación Fundamental , págs.
• Goldberg, Richard R. (1964), Métodos de análisis real, John Wiley & Sons, págs. 263–265
• Caglar, Hakan; Akansu, Ali N. (julio de 1993). "Una técnica de diseño PR-QMF paramétrico generalizado basada en la aproximación polinómica de Bernstein". Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 41 (7): 2314–2321. Código bibliográfico : 1993ITSP...41.2314C. doi : 10.1109/78.224242. Zbl  0825.93863.
• Korovkin, PP (2001) [1994], "Polinomios de Bernstein", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Natanson, IP (1964). Teoría de funciones constructivas. Volumen I: Aproximación uniforme . Traducido por Alexis N. Obolensky. Nueva York: Frederick Ungar. SEÑOR  0196340. Zbl  0133.31101.
• Feller, William (1966), Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, Vol, II , John Wiley & Sons, págs. 149–150, 218–222
• Beals, Richard (2004), Análisis. Una introducción , Cambridge University Press , págs. 95–98, ISBN 0521600472

enlaces externos

• Kac, Mark (1938). "Une comentario sobre los polinomes de MS Bernstein". Estudios Matemáticos . 7 : 49–51. doi : 10.4064/sm-7-1-49-51 .
• Kelisky, Richard Paul; Rivlin, Theodore Joseph (1967). "Iterativos de polinomios de Bernstein". Revista Pacífico de Matemáticas . 21 (3): 511. doi : 10.2140/pjm.1967.21.511 .
• Stark, EL (1981). "Polinoma de Bernstein, 1912-1955". En Butzer, PL (ed.). ISNM60 . págs. 443–461. doi :10.1007/978-3-0348-9369-5_40. ISBN 978-3-0348-9369-5.
• Petrone, Sonia (1999). "Polinomios aleatorios de Bernstein". Escanear. J. Estadísticas . 26 (3): 373–393. doi :10.1111/1467-9469.00155. S2CID  122387975.
• Oruc, Halil; Phillips, Geoerge M. (1999). "Una generalización de los polinomios de Bernstein". Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 42 (2): 403–413. doi : 10.1017/S0013091500020332 .
• Alegría, Kenneth I. (2000). "Polinomios de Bernstein" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 20 de febrero de 2012 . Consultado el 28 de febrero de 2009 .de la Universidad de California, Davis . Tenga en cuenta el error en los límites de suma en la primera fórmula de la página 9.
• Idrees Bhatti, M.; Bracken, P. (2007). "Soluciones de ecuaciones diferenciales en base polinómica de Bernstein". J. Computación. Aplica. Matemáticas . 205 (1): 272–280. Código Bib : 2007JCoAM.205..272I. doi : 10.1016/j.cam.2006.05.002 .
• Casselman, Bill (2008). "De Bézier a Bernstein".Columna destacada de la Sociedad Matemática Estadounidense
• Acikgoz, Mehmet; Araci, Serkan (2010). "Sobre la función generadora de polinomios de Bernstein". Conferencia AIP. Proc . Actas de la conferencia AIP. 1281 (1): 1141. Código bibliográfico : 2010AIPC.1281.1141A. doi : 10.1063/1.3497855.
• Doha, EH; Bhrawy, AH; Saker, MA (2011). "Integrales de polinomios de Bernstein: una aplicación para la solución de ecuaciones diferenciales de orden par alto". Aplica. Matemáticas. Lett . 24 (4): 559–565. doi : 10.1016/j.aml.2010.11.013 .
• Farouki, Rida T. (2012). "La base polinómica de Bernstein: una retrospectiva centenaria". comp. Ayuda. Geom. Des . 29 (6): 379–419. doi :10.1016/j.cagd.2012.03.001.
• Chen, Xiaoyan; Tan, Jieqing; Liu, Zhi; Xie, Jin (2017). "Aproximaciones de funciones por una nueva familia de operadores de Bernstein generalizados". J. Matemáticas. Ana. Aplicar . 450 : 244–261. doi : 10.1016/j.jmaa.2016.12.075 .
• Weisstein, Eric W. "Polinomio de Bernstein". MundoMatemático .
• Este artículo incorpora material de las propiedades del polinomio de Bernstein en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .