La trisección de un ángulo es un problema clásico de construcción con regla y compás de las matemáticas griegas antiguas . Se trata de la construcción de un ángulo igual a un tercio de un ángulo arbitrario dado, utilizando únicamente dos herramientas: una regla sin marcar y un compás .
En 1837, Pierre Wantzel demostró que el problema, tal como se plantea, es imposible de resolver para ángulos arbitrarios. Sin embargo, algunos ángulos especiales pueden trisecarse: por ejemplo, es trivial trisecar un ángulo recto .
Es posible trisecar un ángulo arbitrario utilizando herramientas distintas a la regla y el compás. Por ejemplo, la construcción neusis , también conocida por los antiguos griegos, implica el deslizamiento y la rotación simultáneos de una regla marcada, lo que no se puede lograr con las herramientas originales. Los matemáticos desarrollaron otras técnicas a lo largo de los siglos.
Debido a que se define en términos simples, pero es difícil demostrar que no se puede resolver, el problema de la trisección de un ángulo es un tema frecuente de intentos pseudomatemáticos de solución por parte de entusiastas ingenuos. Estas "soluciones" a menudo implican interpretaciones erróneas de las reglas o son simplemente incorrectas. [1]
Utilizando únicamente una regla sin marcar y un compás, los matemáticos griegos encontraron medios para dividir una línea en un conjunto arbitrario de segmentos iguales, dibujar líneas paralelas , bisecar ángulos , construir muchos polígonos y construir cuadrados de área igual o el doble de la de un polígono dado.
Tres problemas resultaron difíciles de resolver: la trisección del ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo . El problema de la trisección del ángulo se lee así:
Construye un ángulo igual a un tercio de un ángulo arbitrario dado (o divídelo en tres ángulos iguales), utilizando solo dos herramientas:
Pierre Wantzel publicó una prueba de la imposibilidad de trisecar clásicamente un ángulo arbitrario en 1837. [2] La prueba de Wantzel, reformulada en terminología moderna, utiliza el concepto de extensiones de campo , un tema que ahora se combina típicamente con la teoría de Galois . Sin embargo, Wantzel publicó estos resultados antes que Évariste Galois (cuyo trabajo, escrito en 1830, se publicó recién en 1846) y no utilizó los conceptos introducidos por Galois. [3]
El problema de construir un ángulo de una medida dada θ es equivalente a construir dos segmentos tales que la razón de sus longitudes sea cos θ . De una solución a uno de estos dos problemas, se puede pasar a una solución al otro mediante una construcción con regla y compás. La fórmula del triple ángulo da una expresión que relaciona los cosenos del ángulo original y su trisección: cos θ = 4 cos 3 θ/3 − 3 cos θ/3 .
De ello se deduce que, dado un segmento que se define como de longitud unitaria, el problema de la trisección de un ángulo es equivalente a construir un segmento cuya longitud sea la raíz de un polinomio cúbico . Esta equivalencia reduce el problema geométrico original a un problema puramente algebraico.
Todo número racional es construible. Todo número irracional que se puede construir en un solo paso a partir de unos números dados es raíz de un polinomio de grado 2 con coeficientes en el cuerpo generado por estos números. Por lo tanto, cualquier número que se pueda construir mediante una secuencia de pasos es raíz de un polinomio minimal cuyo grado es una potencia de dos . El ángulo π/3 radianes (60 grados , escrito 60°) es construible . El argumento a continuación muestra que es imposible construir un ángulo de 20°. Esto implica que un ángulo de 60° no se puede trisecar y, por lo tanto, que un ángulo arbitrario no se puede trisecar.
Denotemos el conjunto de números racionales por Q . Si 60° pudiera trisectarse, el grado de un polinomio mínimo de cos 20° sobre Q sería una potencia de dos. Ahora sea x = cos 20° . Nótese que cos 60° = cos π/3 = 1/2 . Entonces, por la fórmula del triple ángulo, cos π/3 = 4 x 3 − 3 x y entonces 4 x 3 − 3 x = 1/2 . Por lo tanto, 8 x 3 − 6 x − 1 = 0 . Defina p ( t ) como el polinomio p ( t ) = 8 t 3 − 6 t − 1 .
Como x = cos 20° es una raíz de p ( t ) , el polinomio mínimo para cos 20° es un factor de p ( t ) . Como p ( t ) tiene grado 3, si es reducible por Q entonces tiene una raíz racional . Por el teorema de la raíz racional , esta raíz debe ser ±1, ± 1/2 , ± 1/4 o ± 1/8 , pero ninguno de estos es una raíz. Por lo tanto, p ( t ) es irreducible por Q , y el polinomio mínimo para cos 20° es de grado 3 .
Por lo tanto, un ángulo de medida 60° no puede trisecarse.
Sin embargo, algunos ángulos se pueden trisecar. Por ejemplo, para cualquier ángulo construible θ , un ángulo de medida 3 θ se puede trisecar de manera trivial ignorando el ángulo dado y construyendo directamente un ángulo de medida θ . Hay ángulos que no son construibles pero sí trisecables (a pesar de que el tercio del ángulo en sí no es construible). Por ejemplo, 3π/7 es tal ángulo: cinco ángulos de medida 3π/7 combinar para hacer un ángulo de medida 15 π/7 , que es un círculo completo más el deseado π/7 .
Para un entero positivo N , un ángulo de medida 2π/norte es trisectable si y sólo si 3 no dividea N. [4] [5] Por el contrario, 2π/norte es construible si y sólo si N es una potencia de 2 o el producto de una potencia de 2 por el producto de uno o más primos de Fermat distintos.
Nuevamente, denotemos el conjunto de números racionales por Q.
Teorema : Un ángulo de medida θ puede trisecarse si y sólo si q ( t ) = 4 t 3 − 3 t − cos( θ ) es reducible sobre la extensión del campo Q (cos( θ )) .
La prueba es una generalización relativamente sencilla de la prueba dada anteriormente de que un ángulo de 60° no es trisectable. [6]
Para cualquier entero distinto de cero N , un ángulo de medida 2 π ⁄ N radianes se puede dividir en n partes iguales con regla y compás si y solo si n es una potencia de 2 o es una potencia de 2 multiplicada por el producto de uno o más primos de Fermat distintos, ninguno de los cuales divide a N . En el caso de la trisección ( n = 3 , que es un primo de Fermat), esta condición se convierte en el requisito mencionado anteriormente de que N no sea divisible por 3 . [5]
El problema general de la trisección de ángulos se puede resolver utilizando herramientas adicionales, saliendo así del marco griego original del compás y la regla.
Se han propuesto muchos métodos incorrectos para trisecar el ángulo general. Algunos de estos métodos proporcionan aproximaciones razonables; otros (algunos de los cuales se mencionan a continuación) implican herramientas no permitidas en el problema clásico. El matemático Underwood Dudley ha detallado algunos de estos intentos fallidos en su libro The Trisectors [1] .
La trisección se puede calcular de forma aproximada mediante la repetición del método de regla y compás para bisecar un ángulo. La serie geométrica1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ o 1/3 = 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ se puede utilizar como base para las bisecciones. Se puede obtener una aproximación con cualquier grado de precisión en un número finito de pasos. [7]
La trisección, como muchas construcciones imposibles de realizar con regla y compás, se puede realizar fácilmente mediante operaciones de plegado de papel u origami . Los axiomas de Huzita (tipos de operaciones de plegado) pueden construir extensiones cúbicas (raíces cúbicas) de longitudes dadas, mientras que con regla y compás solo se pueden construir extensiones cuadráticas (raíces cuadradas).
Hay una serie de enlaces simples que se pueden utilizar para crear un instrumento para trisecar ángulos, incluido el Trisector de Kempe y el Abanico de Enlace de Sylvester o Isoklinostato. [8]
En 1932, Ludwig Bieberbach publicó en el Journal für die reine und angewandte Mathematik su obra Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen . [9] En él afirma (traducción libre):
La construcción comienza dibujando un círculo que pasa por el vértice P del ángulo a trisecar, con centro en A sobre una arista de este ángulo y que tiene B como su segunda intersección con la arista. Un círculo con centro en P y del mismo radio interseca la línea que sostiene la arista en A y O.
Ahora la regla triangular rectángulo se coloca en el dibujo de la siguiente manera: un cateto de su ángulo recto pasa por O ; el vértice de su ángulo recto se coloca en un punto S sobre la línea PC de tal manera que el segundo cateto de la regla es tangente en E al círculo centrado en A . Se deduce que el ángulo original está trisectado por la línea PE , y la línea PD perpendicular a SE y que pasa por P . Esta línea se puede dibujar utilizando nuevamente la regla triangular rectángulo, o utilizando una construcción tradicional de regla y compás . Con una construcción similar, se puede mejorar la ubicación de E , utilizando que es la intersección de la línea SE y su perpendicular que pasa por A .
Demostración: Hay que demostrar las igualdades de los ángulos y Las tres rectas OS , PD y AE son paralelas. Como los segmentos OP y PA son iguales, estas tres rectas paralelas delimitan dos segmentos iguales en cada otra recta secante, y en particular en su perpendicular común SE . Así SD ' = D ' E , donde D' es la intersección de las rectas PD y SE . Se sigue que los triángulos rectángulos PD ' S y PD ' E son congruentes, y por tanto que la primera igualdad buscada. Por otra parte, el triángulo PAE es isósceles , ya que todos los radios de un círculo son iguales; esto implica que Uno tiene también ya que estos dos ángulos son ángulos alternos de una transversal a dos rectas paralelas. Esto prueba la segunda igualdad buscada, y por tanto la corrección de la construcción.
Hay ciertas curvas llamadas trisectrices que, si se dibujan en el plano utilizando otros métodos, se pueden utilizar para trisecar ángulos arbitrarios. [10] Los ejemplos incluyen la trisectriz de Colin Maclaurin , dada en coordenadas cartesianas por la ecuación implícita
y la espiral de Arquímedes . De hecho, la espiral se puede utilizar para dividir un ángulo en cualquier número de partes iguales. Arquímedes describió cómo trisecar un ángulo utilizando la espiral de Arquímedes en Sobre espirales alrededor del 225 a. C.
Otro método para trisecar un ángulo arbitrario con un pequeño paso fuera del marco griego es mediante una regla con dos marcas separadas por una distancia determinada. La siguiente construcción se debe originalmente a Arquímedes , llamada construcción de Neusis , es decir, que utiliza herramientas distintas a una regla sin marcar . Los diagramas que utilizamos muestran esta construcción para un ángulo agudo, pero de hecho funciona para cualquier ángulo de hasta 180 grados.
Esto requiere tres hechos de geometría (a la derecha):
Sea l la línea horizontal en el diagrama adyacente. El ángulo a (a la izquierda del punto B ) es el sujeto de la trisección. Primero, se dibuja un punto A en el rayo de un ángulo , a una unidad de distancia de B. Se dibuja un círculo de radio AB . Luego, entra en juego la marca de la regla: una marca de la regla se coloca en A y la otra en B. Mientras se mantiene la regla (pero no la marca) tocando A , se desliza y gira la regla hasta que una marca esté en el círculo y la otra en la línea l . La marca en el círculo está etiquetada como C y la marca en la línea está etiquetada como D. Esto asegura que CD = AB . Se dibuja un radio BC para hacer obvio que los segmentos de línea AB , BC y CD tienen todos la misma longitud. Ahora, los triángulos ABC y BCD son isósceles , por lo tanto (por el Hecho 3 anterior) cada uno tiene dos ángulos iguales.
Hipótesis : Dado que AD es una línea recta y AB , BC y CD tienen la misma longitud,
Conclusión : ángulo b = a/3 .
Prueba :
y el teorema queda demostrado.
Una vez más, esta construcción salió del marco de las construcciones permitidas al utilizar una regla marcada.
Thomas Hutcheson publicó un artículo en Mathematics Teacher [11] en el que utilizaba una cuerda en lugar de un compás y una regla. Una cuerda puede utilizarse como regla (estirándola) o como compás (fijando un punto e identificando otro), pero también puede enrollarse alrededor de un cilindro, la clave de la solución de Hutcheson.
Hutcheson construyó un cilindro a partir del ángulo que se iba a trisecar, dibujando un arco a través del ángulo, completándolo como un círculo y construyendo a partir de ese círculo un cilindro en el que se inscribió, por ejemplo, un triángulo equilátero (un ángulo de 360 grados dividido en tres). Esto se "trazó" luego sobre el ángulo que se iba a trisecar, con una prueba simple de triángulos similares.
Un " tomahawk " es una figura geométrica que consta de un semicírculo y dos segmentos de línea ortogonales, de modo que la longitud del segmento más corto es igual al radio del círculo. La trisección se ejecuta apoyando el extremo del segmento más corto del tomahawk sobre un rayo y el borde del círculo sobre el otro, de modo que el "mango" (segmento más largo) cruce el vértice del ángulo; la línea de trisección discurre entre el vértice y el centro del semicírculo.
Si bien es posible construir un hacha de guerra con compás y regla, por lo general no es posible construirla en cualquier posición deseada. Por lo tanto, la construcción anterior no contradice la no tricectibilidad de los ángulos con solo regla y compás.
Así como un tomahawk se puede utilizar como escuadra , también se puede utilizar para ángulos de trisección mediante el método descrito en § Con una regla triangular recta.
El hacha produce el mismo efecto geométrico que el método de plegado de papel: la distancia entre el centro del círculo y la punta del segmento más corto es el doble de la distancia del radio, lo que garantiza el contacto con el ángulo. También es equivalente al uso de una regla en forma de L de arquitecto ( escuadra de carpintero ).
Un ángulo se puede trisecar con un dispositivo que es esencialmente una versión de cuatro puntas de una brújula, con conexiones entre las puntas diseñadas para mantener iguales los tres ángulos entre las puntas adyacentes. [12]
Una ecuación cúbica con coeficientes reales se puede resolver geométricamente con compás, regla y un trisector de ángulos si y sólo si tiene tres raíces reales . [13] : Teo. 1
Un polígono regular con n lados se puede construir con regla, compás y trisectriz de ángulos si y solo si donde r, s, k ≥ 0 y donde los p i son primos distintos mayores que 3 de la forma (es decir, primos de Pierpont mayores que 3). [13] : Teoría 2
Véase también Comentarios sobre este artículo en el vol. 93, marzo de 2009, pág. 156.
