En geometría , un trapezoide ( / ˈ t r æ p ə z ɔɪ d / ) en inglés norteamericano , o trapecio ( / t r ə ˈ p iː z i ə m / ) en inglés británico , [1] [2] es un cuadrilátero que tiene al menos un par de lados paralelos .
Los lados paralelos se llaman bases del trapezoide. Los otros dos lados se llaman catetos (o lados laterales ) si no son paralelos; de lo contrario, el trapezoide es un paralelogramo y hay dos pares de bases. Un trapecio escaleno es un trapezoide sin lados de igual medida, [3] en contraste con los casos especiales siguientes.
Generalmente se considera que un trapezoide es un cuadrilátero convexo en la geometría euclidiana , pero también existen casos cruzados . Si ABCD es un trapezoide convexo, entonces ABDC es un trapezoide cruzado. Las fórmulas métricas de este artículo se aplican en trapecios convexos.
El antiguo matemático griego Euclides definió cinco tipos de cuadrilátero, de los cuales cuatro tenían dos conjuntos de lados paralelos (conocidos en inglés como cuadrado, rectángulo, rombo y romboide) y el último no tenía dos conjuntos de lados paralelos: una τραπέζια ( trapecio [ 5] literalmente 'mesa', a su vez de τετράς ( tetrás ) 'cuatro' + πέζα ( péza ) 'pie; fin, borde, borde'). [6]
Proclo (412 a 485 d.C.) introdujo dos tipos de trapecio en su comentario al primer libro de los Elementos de Euclides : [4] [7]
Todas las lenguas europeas siguen la estructura de Proclus [7] [8] al igual que el inglés hasta finales del siglo XVIII, hasta que un influyente diccionario matemático publicado por Charles Hutton en 1795 apoyó sin explicación una transposición de los términos. Esto se revirtió en inglés británico alrededor de 1875, pero se ha mantenido en inglés americano hasta el presente. [4]
La siguiente tabla compara los usos, con las definiciones más específicas en la parte superior y las más generales en la parte inferior.
Existe cierto desacuerdo sobre si los paralelogramos , que tienen dos pares de lados paralelos, deben considerarse trapecios.
Algunos definen un trapecio como un cuadrilátero que tiene sólo un par de lados paralelos (la definición exclusiva), excluyendo así los paralelogramos. [11] Algunas fuentes utilizan el término trapezoide propio para describir los trapecios bajo la definición exclusiva, de forma análoga a los usos de la palabra propio en algunos otros objetos matemáticos. [12]
Otros [13] [ verificación fallida ] definen un trapezoide como un cuadrilátero con al menos un par de lados paralelos (la definición inclusiva [14] ), lo que convierte al paralelogramo en un tipo especial de trapezoide. La última definición es consistente con sus usos en matemáticas superiores como el cálculo . Este artículo utiliza la definición inclusiva y considera los paralelogramos como casos especiales de un trapezoide. Esto también se defiende en la taxonomía de cuadriláteros .
Según la definición inclusiva, todos los paralelogramos (incluidos rombos , cuadrados y rectángulos no cuadrados ) son trapecios. Los rectángulos tienen simetría especular en los bordes medios; los rombos tienen simetría especular en los vértices, mientras que los cuadrados tienen simetría especular tanto en los bordes centrales como en los vértices.
Un trapezoide recto (también llamado trapezoide rectángulo ) tiene dos ángulos rectos adyacentes . [13] Los trapecios rectos se utilizan en la regla del trapecio para estimar áreas bajo una curva.
Un trapezoide agudo tiene dos ángulos agudos adyacentes en su borde base más largo .
Un trapezoide obtuso, por otro lado, tiene un ángulo agudo y otro obtuso en cada base .
Un trapezoide isósceles es un trapezoide donde los ángulos de la base tienen la misma medida. Como consecuencia, los dos catetos también tienen la misma longitud y tienen simetría de reflexión . Esto es posible para trapecios agudos o trapecios rectos (como rectángulos).
Un paralelogramo es (según la definición inclusiva) un trapezoide con dos pares de lados paralelos. Un paralelogramo tiene simetría rotacional central doble (o simetría de reflexión puntual ). Es posible que se trate de trapecios obtusos o trapecios rectos (rectángulos).
Un trapezoide tangencial es un trapezoide que tiene un círculo interior .
Un cuadrilátero de Saccheri es similar a un trapecio en el plano hiperbólico , con dos ángulos rectos adyacentes, mientras que en el plano euclidiano es un rectángulo . Un cuadrilátero de Lambert en el plano hiperbólico tiene 3 ángulos rectos.
Cuatro longitudes a , c , b , d pueden constituir los lados consecutivos de un trapezoide no paralelogramo con a y b paralelos solo cuando [15]
El cuadrilátero es un paralelogramo cuando , pero es un cuadrilátero extangencial (que no es un trapezoide) cuando . [16] : pág. 35
Dado un cuadrilátero convexo, las siguientes propiedades son equivalentes y cada una implica que el cuadrilátero es un trapezoide:
Además, las siguientes propiedades son equivalentes y cada una implica que los lados opuestos a y b son paralelos:
El segmento medio (también llamado mediana o línea media) de un trapezoide es el segmento que une los puntos medios de las piernas. Es paralelo a las bases. Su longitud m es igual al promedio de las longitudes de las bases a y b del trapezoide, [13]
El segmento medio de un trapezoide es una de las dos bimedianas (la otra bimediana divide el trapezoide en áreas iguales).
La altura (o altitud) es la distancia perpendicular entre las bases. En el caso de que las dos bases tengan longitudes diferentes ( a ≠ b ), la altura de un trapezoide h se puede determinar por la longitud de sus cuatro lados usando la fórmula [13]
donde c y d son las longitudes de los catetos.
El área K de un trapecio viene dada por [13]
donde a y b son las longitudes de los lados paralelos, h es la altura (la distancia perpendicular entre estos lados) y m es la media aritmética de las longitudes de los dos lados paralelos. En 499 d.C., Aryabhata , un gran matemático - astrónomo de la época clásica de las matemáticas y la astronomía indias , utilizó este método en el Aryabhatiya (sección 2.8). Esto produce como caso especial la conocida fórmula para el área de un triángulo , al considerar un triángulo como un trapezoide degenerado en el que uno de los lados paralelos se ha reducido a un punto.
El matemático indio del siglo VII Bhāskara I derivó la siguiente fórmula para el área de un trapecio con lados consecutivos a , c , b , d :
donde a y b son paralelos y b > a . [17] Esta fórmula se puede factorizar en una versión más simétrica [13]
Cuando uno de los lados paralelos se ha reducido a un punto (digamos a = 0), esta fórmula se reduce a la fórmula de Heron para el área de un triángulo.
Otra fórmula equivalente para el área, que se parece más a la fórmula de Herón, es [13]
¿ Dónde está el semiperímetro del trapezoide? (Esta fórmula es similar a la fórmula de Brahmagupta , pero se diferencia de ella en que un trapecio puede no ser cíclico (inscrito en un círculo). La fórmula también es un caso especial de la fórmula de Bretschneider para un cuadrilátero general ).
De la fórmula de Bretschneider se deduce que
La recta que une los puntos medios de los lados paralelos biseca el área.
Las longitudes de las diagonales son [13]
donde a es la base corta, b es la base larga y c y d son los catetos trapezoidales.
Si el trapezoide se divide en cuatro triángulos por sus diagonales AC y BD (como se muestra a la derecha), que se cruzan en O , entonces el área de AOD es igual a la de BOC , y el producto de las áreas de AOD y BOC es igual al de AOB y COD . La razón de las áreas de cada par de triángulos adyacentes es la misma que entre las longitudes de los lados paralelos. [13]
Deje que el trapezoide tenga vértices A , B , C y D en secuencia y tenga lados paralelos AB y DC . Sea E la intersección de las diagonales, y sea F del lado DA y G del lado BC de manera que FEG sea paralela a AB y CD . Entonces FG es la media armónica de AB y DC : [18]
La línea que pasa por el punto de intersección de los lados extendidos no paralelos y el punto de intersección de las diagonales biseca cada base. [19]
El centro de área (centro de masa para una lámina uniforme ) se encuentra a lo largo del segmento de línea que une los puntos medios de los lados paralelos, a una distancia perpendicular x del lado más largo b dada por [20]
El centro del área divide este segmento en la proporción (cuando se toma del lado corto al largo) [21] : p. 862
Si las bisectrices de los ángulos A y B se cortan en P , y las bisectrices de los ángulos C y D se cortan en Q , entonces [19]
En arquitectura, la palabra se usa para referirse a puertas, ventanas y edificios simétricos construidos más anchos en la base y estrechándose hacia la parte superior, en estilo egipcio. Si estos tienen lados rectos y esquinas angulares agudas, sus formas suelen ser trapecios isósceles . Este era el estilo estándar para las puertas y ventanas de los Incas . [22]
El problema de las escaleras cruzadas es el problema de encontrar la distancia entre los lados paralelos de un trapecio recto, dadas las longitudes de las diagonales y la distancia desde el cateto perpendicular a la intersección diagonal.
En morfología , taxonomía y otras disciplinas descriptivas en las que es necesario un término para tales formas, términos como trapezoidal o trapeziforme suelen ser útiles en descripciones de órganos o formas particulares. [23]
En ingeniería informática, específicamente en lógica digital y arquitectura de computadoras, los trapecios se utilizan típicamente para simbolizar multiplexores . Los multiplexores son elementos lógicos que seleccionan entre múltiples elementos y producen una única salida basada en una señal seleccionada. Los diseños típicos emplearán trapezoides sin indicar específicamente que son multiplexores, ya que son universalmente equivalentes.
Con Euclides (c 300 a. C.), τραπέζιον incluía todas las figuras cuadriláteras excepto el cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide;
en las variedades de trapecio no entró.
Pero Proclo, que escribió Comentarios al Primer Libro de los Elementos de Euclides en el año 450 d.C., retuvo el nombre τραπέζιον sólo para los cuadriláteros que tenían dos lados paralelos, subdividiéndolos en τραπέζιον ἰσοσκελὲς, trapecio isósceles, que tiene los dos lados no paralelos (y los ángulos). en sus bases) iguales, y σκαληνὸν τραπέζιον, trapecio escaleno, en el que estos lados y ángulos son desiguales.
Para los cuadriláteros que no tenían lados paralelos, Proclo introdujo el nombre τραπέζοειδὲς TRAPEZOIDE.
Esta nomenclatura se conserva en todas las lenguas continentales y fue universal en Inglaterra hasta finales del siglo XVIII, cuando se transpuso la aplicación de los términos, de modo que la figura que Proclo y los geómetras modernos de otras naciones llaman específicamente trapecio (F. trapèze, Ger. trapez, Du. trapezium, It. trapezio) se convirtió para la mayoría de los escritores ingleses en un trapezoide, y el trapecio de Proclo y otras naciones en un trapecio.
Este cambio de sentido de trapezoide se da en el Diccionario matemático de Hutton, 1795, como se usa "a veces"; no dice por quién;
pero, lamentablemente, él mismo lo adoptó y utilizó, y su Diccionario fue sin duda el principal agente en su difusión.
Sin embargo, algunos geómetras continuaron usando los términos en su sentido original, y desde alrededor de 1875 este es el uso predominante.
