Historia de las transformaciones de Lorentz.

La historia de las transformaciones de Lorentz comprende el desarrollo de transformaciones lineales formando el grupo de Lorentz o grupo de Poincaré conservando el intervalo de Lorentz y el producto interno de Minkowski . ${\displaystyle -x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$ ${\displaystyle -x_{0}y_{0}+\cdots +x_{n}y_{n}}$

En matemáticas , en el siglo XIX se discutieron transformaciones equivalentes a lo que más tarde se conoció como transformaciones de Lorentz en varias dimensiones en relación con la teoría de las formas cuadráticas , la geometría hiperbólica , la geometría de Möbius y la geometría de esferas , lo que está relacionado con el hecho de que el grupo de movimientos en el espacio hiperbólico , el grupo de Möbius o grupo lineal especial proyectivo y el grupo de Laguerre son isomorfos al grupo de Lorentz .

En física , las transformaciones de Lorentz se dieron a conocer a principios del siglo XX, cuando se descubrió que exhiben la simetría de las ecuaciones de Maxwell . Posteriormente, se volvieron fundamentales para toda la física, porque formaron la base de la relatividad especial en la que exhiben la simetría del espacio-tiempo de Minkowski , haciendo que la velocidad de la luz sea invariante entre diferentes sistemas inerciales. Relacionan las coordenadas espacio-temporales de dos sistemas de referencia inerciales arbitrarios con velocidad relativa constante v . En un cuadro, la posición de un evento está dada por x,y,z y el tiempo t , mientras que en el otro cuadro el mismo evento tiene coordenadas x′,y′,z′ y t′ .

Prehistoria matemática

Utilizando los coeficientes de una matriz simétrica A , la forma bilineal asociada y transformaciones lineales en términos de la matriz de transformación g , se da la transformación de Lorentz si se cumplen las siguientes condiciones:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}-x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}&=-x_{0}^{\prime 2}+\dots +x_{n}^{\prime 2}\\-x_{0}y_{0}+\cdots +x_{n}y_{n}&=-x_{0}^{\prime }y_{0}^{\prime }+\cdots +x_{n}^{\prime }y_{n}^{\prime }\end{aligned}}\\\hline {\begin{matrix}\mathbf {x} '=\mathbf {g} \cdot \mathbf {x} \\\mathbf {x} =\mathbf {g} ^{-1}\cdot \mathbf {x} '\end{matrix}}\\\hline {\begin{matrix}{\begin{aligned}\mathbf {A} \cdot \mathbf {g} ^{\mathrm {T} }\cdot \mathbf {A} &=\mathbf {g} ^{-1}\\\mathbf {g} ^{\rm {T}}\cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {g} &=\mathbf {A} \\\mathbf {g} \cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {g} ^{\mathrm {T} }&=\mathbf {A} \end{aligned}}\end{matrix}}\\\hline \mathbf {A} ={\rm {diag}}(-1,1,\dots ,1)\\\det \mathbf {g} =\pm 1\end{matrix}}}$

Forma un grupo ortogonal indefinido llamado grupo de Lorentz O(1,n), mientras que el caso det g =+1 forma el grupo de Lorentz restringido SO(1,n). La forma cuadrática se convierte en el intervalo de Lorentz en términos de una forma cuadrática indefinida del espacio de Minkowski (siendo un caso especial de espacio pseudoeuclidiano ), y la forma bilineal asociada se convierte en el producto interno de Minkowski . ^{[1] [2]} Mucho antes del advenimiento de la relatividad especial, se usaba en temas como la métrica de Cayley-Klein , el modelo hiperboloide y otros modelos de geometría hiperbólica , cálculos de funciones elípticas e integrales, transformación de formas cuadráticas indefinidas , mapeos de compresión . de la hipérbola, teoría de grupos , transformaciones de Möbius , transformación de ondas esféricas , transformación de la ecuación de Seno-Gordon , álgebra de Biquaternion , números complejos divididos , álgebra de Clifford , y otras.

Materiales de aprendizaje de Wikiversity:

• La Wikiversidad: Historia de las transformaciones más generales de Lorentz

incluye contribuciones de Carl Friedrich Gauss (1818), Carl Gustav Jacob Jacobi (1827, 1833/34), Michel Chasles (1829), Victor-Amédée Lebesgue (1837), Thomas Weddle (1847), Edmond Bour (1856), Osip Ivanovich Somov (1863), Wilhelm Killing (1878–1893), Henri Poincaré (1881), Homersham Cox (1881–1883), George William Hill (1882), Émile Picard (1882-1884), Octave Callandreau (1885), Sophus Lie (1885-1890), Louis Gérard (1892), Felix Hausdorff (1899), Frederick S. Woods (1901-05), Heinrich Liebmann (1904/05).

• La Wikiversidad: Historia de las transformaciones de Lorentz a través de una transformación ortogonal imaginaria

incluye contribuciones de Sophus Lie (1871), Hermann Minkowski (1907-1908), Arnold Sommerfeld (1909).

• La Wikiversidad: Historia de las transformaciones de Lorentz a través de funciones hiperbólicas

incluye contribuciones de Vincenzo Riccati (1757), Johann Heinrich Lambert (1768-1770), Franz Taurinus (1826), Eugenio Beltrami (1868), Charles-Ange Laisant (1874), Gustav von Escherich (1874), James Whitbread Lee Glaisher ( 1878), Siegmund Günther (1880/81), Homersham Cox (1881/82), Rudolf Lipschitz (1885/86), Friedrich Schur (1885-1902), Ferdinand von Lindemann (1890–91), Louis Gérard (1892), Wilhelm Killing (1893-97), Alfred North Whitehead (1897/98), Edwin Bailey Elliott (1903), Frederick S. Woods (1903), Heinrich Liebmann (1904/05), Philipp Frank (1909), Gustav Herglotz (1909 ) /10), Vladimir Varićak (1910).

• La Wikiversidad: Historia de las transformaciones de Lorentz a través de la transformación de esfera

incluye contribuciones de Pierre Ossian Bonnet (1856), Albert Ribaucour (1870), Sophus Lie (1871a), Gaston Darboux (1873-87), Edmond Laguerre (1880), Cyparissos Stephanos (1883), Georg Scheffers (1899), Percey F. Smith (1900), Harry Bateman y Ebenezer Cunningham (1909-1910).

• La Wikiversidad: Historia de las transformaciones de Lorentz a través de la transformación Cayley-Hermite

fue utilizado por Arthur Cayley (1846–1855), Charles Hermite (1853, 1854), Paul Gustav Heinrich Bachmann (1869), Edmond Laguerre (1882), Gaston Darboux (1887), Percey F. Smith (1900), Émile Borel ( 1913).

• La Wikiversidad: Historia de las transformaciones de Lorentz a través de parámetros de Cayley-Klein, Möbius y transformaciones de espín

incluye contribuciones de Carl Friedrich Gauss (1801/63), Felix Klein (1871–97), Eduard Selling (1873–74), Henri Poincaré (1881), Luigi Bianchi (1888-93), Robert Fricke (1891–97), Frederick S. Woods (1895), Gustav Herglotz (1909/10).

• La Wikiversidad: Historia de las transformaciones de Lorentz mediante cuaterniones y números hiperbólicos

incluye contribuciones de James Cockle (1848), Homersham Cox (1882/83), Cyparissos Stephanos (1883), Arthur Buchheim (1884), Rudolf Lipschitz (1885/86), Theodor Vahlen (1901/02), Fritz Noether (1910) , Felix Klein (1910), Arthur W. Conway (1911), Ludwik Silberstein (1911).

• La Wikiversidad: transformación de Lorentz mediante funciones trigonométricas

incluye contribuciones de Luigi Bianchi (1886), Gaston Darboux (1891/94), Georg Scheffers (1899), Luther Pfahler Eisenhart (1905), Vladimir Varićak (1910), Henry Crozier Keating Plummer (1910), Paul Gruner (1921).

• La Wikiversidad: Historia de las transformaciones de Lorentz mediante mapeos comprimidos

incluye contribuciones de Antoine André Louis Reynaud (1819), Felix Klein (1871), Charles-Ange Laisant (1874), Sophus Lie (1879-84), Siegmund Günther (1880/81), Edmond Laguerre (1882), Gaston Darboux ( 1883–1891), Rudolf Lipschitz (1885/86), Luigi Bianchi (1886–1894), Ferdinand von Lindemann (1890/91), Mellen W. Haskell (1895), Percey F. Smith (1900), Edwin Bailey Elliott ( 1903), Lutero Pfahler Eisenhart (1905).

Electrodinámica y relatividad especial.

Descripción general

En la relatividad especial , las transformaciones de Lorentz exhiben la simetría del espacio-tiempo de Minkowski utilizando una constante c como velocidad de la luz y un parámetro v como velocidad relativa entre dos sistemas de referencia inerciales . Usando las condiciones anteriores, la transformación de Lorentz en 3+1 dimensiones asume la forma:

${\displaystyle {\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\\\hline \left.{\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-x{\frac {v}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma (x-vt)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+x{\frac {v}{c^{2}}}\right)\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}\end{matrix}}\Rightarrow {\begin{aligned}(ct'+x')&=(ct+x){\sqrt {\frac {c+v}{c-v}}}\\(ct'-x')&=(ct-x){\sqrt {\frac {c-v}{c+v}}}\end{aligned}}}$

En física, Voigt (1887) introdujeron transformaciones análogas relacionadas con un medio incompresible, y Heaviside (1888), Thomson (1889), Searle (1896) y Lorentz (1892, 1895), quienes analizaron las ecuaciones de Maxwell . Fueron completados por Larmor (1897, 1900) y Lorentz (1899, 1904), y llevados a su forma moderna por Poincaré (1905), quien dio a la transformación el nombre de Lorentz. ^[3] Finalmente, Einstein (1905) demostró en su desarrollo de la relatividad especial que las transformaciones se derivan únicamente del principio de la relatividad y de la velocidad constante de la luz, modificando los conceptos tradicionales de espacio y tiempo, sin requerir un éter mecánico a diferencia de Lorentz y Poincaré. ^[4] Minkowski (1907-1908) los utilizó para argumentar que el espacio y el tiempo están inseparablemente conectados como espacio-tiempo .

En cuanto a las representaciones especiales de las transformaciones de Lorentz: Minkowski (1907-1908) y Sommerfeld (1909) utilizaron funciones trigonométricas imaginarias, Frank (1909) y Varićak (1910) utilizaron funciones hiperbólicas , Bateman y Cunningham (1909-1910) utilizaron transformaciones de ondas esféricas . Herglotz (1909-10) utilizó transformaciones de Möbius, Plummer (1910) y Gruner (1921) utilizaron impulsos trigonométricos de Lorentz, Ignatowski (1910) derivó las transformaciones sin el postulado de la velocidad de la luz, Noether (1910) y Klein (1910), así como Conway (1911). ) y Silberstein (1911) utilizaron Biquaternions, Ignatowski (1910/11), Herglotz (1911) y otros utilizaron transformaciones vectoriales válidas en direcciones arbitrarias, Borel (1913-14) utilizó el parámetro Cayley-Hermite,

Voigt (1887)

Woldemar Voigt (1887) ^{[R 1]} desarrolló una transformación en relación con el efecto Doppler y un medio incompresible, siendo en notación moderna: ^{[5] [6]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}\xi _{1}&=x_{1}-\varkappa t\\\eta _{1}&=y_{1}q\\\zeta _{1}&=z_{1}q\\\tau &=t-{\frac {\varkappa x_{1}}{\omega ^{2}}}\\q&={\sqrt {1-{\frac {\varkappa ^{2}}{\omega ^{2}}}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=x-vt\\y^{\prime }&={\frac {y}{\gamma }}\\z^{\prime }&={\frac {z}{\gamma }}\\t^{\prime }&=t-{\frac {vx}{c^{2}}}\\{\frac {1}{\gamma }}&={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

Si los lados derechos de sus ecuaciones se multiplican por γ, se obtiene la transformación moderna de Lorentz. En la teoría de Voigt la velocidad de la luz es invariante, pero sus transformaciones mezclan un impulso relativista junto con una reescalación del espacio-tiempo. Los fenómenos ópticos en el espacio libre son de escala , conformes e invariantes de Lorentz , por lo que la combinación también es invariante. ^[6] Por ejemplo, las transformaciones de Lorentz se pueden ampliar utilizando el factor : ^{[R 2]} ${\displaystyle l}$

${\displaystyle x^{\prime }=\gamma l\left(x-vt\right),\quad y^{\prime }=ly,\quad z^{\prime }=lz,\quad t^{\prime }=\gamma l\left(t-x{\frac {v}{c^{2}}}\right)}$.

l =1/γ da la transformación de Voigt, l =1 la transformación de Lorentz. Pero las transformaciones de escala no son una simetría de todas las leyes de la naturaleza, sólo del electromagnetismo, por lo que estas transformaciones no pueden usarse para formular un principio de relatividad en general. Poincaré y Einstein demostraron que hay que establecer l = 1 para hacer simétrica la transformación anterior y formar un grupo como lo requiere el principio de relatividad, por lo tanto, la transformación de Lorentz es la única opción viable.

Voigt envió su artículo de 1887 a Lorentz en 1908, ^[7] y fue reconocido en 1909:

En un artículo "Über das Doppler'sche Princip", publicado en 1887 (Gött. Nachrichten, p. 41) y que, lamentablemente, ha pasado desapercibido durante todos estos años, Voigt ha aplicado ecuaciones de la forma (7) (§ 3 de este libro) [es decir, ] una transformación equivalente a las fórmulas (287) y (288) [es decir, ]. Por lo tanto, la idea de las transformaciones utilizadas anteriormente (y en el § 44) podría haber sido tomada prestada de Voigt y la prueba de que no altera la forma de las ecuaciones para el éter libre está contenida en su artículo. ^[R3] ${\displaystyle \Delta \Psi -{\tfrac {1}{c^{2}}}{\tfrac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}=0}$ ${\displaystyle x^{\prime }=\gamma l\left(x-vt\right),\ y^{\prime }=ly,\ z^{\prime }=lz,\ t^{\prime }=\gamma l\left(t-{\tfrac {v}{c^{2}}}x\right)}$

También Hermann Minkowski dijo en 1908 que las transformaciones que desempeñan el papel principal en el principio de la relatividad fueron examinadas por primera vez por Voigt en 1887. Voigt respondió en el mismo artículo diciendo que su teoría se basaba en una teoría elástica de la luz, no en una teoría electromagnética. uno. Sin embargo, concluyó que algunos resultados eran en realidad los mismos. ^{[R 4]}

Heaviside (1888), Thomson (1889), Searle (1896)

En 1888, Oliver Heaviside ^{[R 5]} investigó las propiedades de las cargas en movimiento según la electrodinámica de Maxwell. Calculó, entre otras cosas, las anisotropías en el campo eléctrico de los cuerpos en movimiento representados por esta fórmula: ^[8]

${\displaystyle \mathrm {E} =\left({\frac {q\mathrm {r} }{r^{2}}}\right)\left(1-{\frac {v^{2}\sin ^{2}\theta }{c^{2}}}\right)^{-3/2}}$.

En consecuencia, Joseph John Thomson (1889) ^{[R 6]} encontró una manera de simplificar sustancialmente los cálculos relativos a cargas en movimiento mediante el uso de la siguiente transformación matemática (al igual que otros autores como Lorentz o Larmor, también Thomson utilizó implícitamente la transformación galileana z-vt en su ecuación ^[9] ):

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}z&=\left\{1-{\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}\right\}^{\frac {1}{2}}z'\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}z^{\ast }=z-vt&={\frac {z'}{\gamma }}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

De este modo, las ecuaciones de ondas electromagnéticas no homogéneas se transforman en una ecuación de Poisson . ^[9] Finalmente, George Frederick Charles Searle ^{[R 7]} señaló en (1896) que la expresión de Heaviside conduce a una deformación de los campos eléctricos a la que llamó "Heaviside-Elipsoide" de relación axial.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}&{\sqrt {\alpha }}:1:1\\\alpha =&1-{\frac {u^{2}}{v^{2}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}&{\frac {1}{\gamma }}:1:1\\{\frac {1}{\gamma ^{2}}}&=1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\end{aligned}}\end{matrix}}}$^[9]

Lorenzo (1892, 1895)

Para explicar la aberración de la luz y el resultado del experimento de Fizeau según las ecuaciones de Maxwell , Lorentz desarrolló en 1892 un modelo (" teoría del éter de Lorentz ") en el que el éter está completamente inmóvil y la velocidad de la luz en el éter es constante en todas las direcciones. Para calcular la óptica de los cuerpos en movimiento, Lorentz introdujo las siguientes cantidades para transformar el sistema de éter en un sistema en movimiento (se desconoce si fue influenciado por Voigt, Heaviside y Thomson) ^{[R 8] [10]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}{\mathfrak {x}}&={\frac {V}{\sqrt {V^{2}-p^{2}}}}x\\t'&=t-{\frac {\varepsilon }{V}}{\mathfrak {x}}\\\varepsilon &={\frac {p}{\sqrt {V^{2}-p^{2}}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=\gamma x^{\ast }=\gamma (x-vt)\\t^{\prime }&=t-{\frac {\gamma ^{2}vx^{\ast }}{c^{2}}}=\gamma ^{2}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\\gamma {\frac {v}{c}}&={\frac {v}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

donde x ^* es la transformación galileana x-vt . Excepto el γ adicional en la transformación del tiempo, esta es la transformación de Lorentz completa. ^[10] Mientras que t es el tiempo "verdadero" para los observadores que descansan en el éter, t′ es una variable auxiliar sólo para calcular procesos para sistemas en movimiento. También es importante que Lorentz y más tarde también Larmor formularan esta transformación en dos pasos. Al principio una transformación galileana implícita y más tarde la ampliación al sistema electromagnético "ficticio" con ayuda de la transformación de Lorentz. Para explicar el resultado negativo del experimento de Michelson-Morley , él (1892b) ^{[R 9]} introdujo la hipótesis adicional de que también las fuerzas intermoleculares se ven afectadas de manera similar e introdujo la contracción de longitud en su teoría (sin pruebas, como él mismo admitió). . La misma hipótesis había sido formulada previamente por George FitzGerald en 1889 basándose en el trabajo de Heaviside. Si bien para Lorentz la contracción de la longitud era un efecto físico real, consideraba la transformación del tiempo sólo como una hipótesis de trabajo heurística y una estipulación matemática.

En 1895, Lorentz desarrolló aún más su teoría e introdujo el "teorema de los estados correspondientes". Este teorema establece que un observador en movimiento (en relación con el éter) en su campo "ficticio" hace las mismas observaciones que un observador en reposo en su campo "real" para velocidades de primer orden en v/c . Lorentz demostró que las dimensiones de los sistemas electrostáticos en el éter y en un marco móvil están conectadas por esta transformación: ^{[R 10]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x&=x^{\prime }{\sqrt {1-{\frac {{\mathfrak {p}}^{2}}{V^{2}}}}}\\y&=y^{\prime }\\z&=z^{\prime }\\t&=t^{\prime }\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\ast }=x-vt&={\frac {x^{\prime }}{\gamma }}\\y&=y^{\prime }\\z&=z^{\prime }\\t&=t^{\prime }\end{aligned}}\end{matrix}}}$

Para resolver problemas ópticos, Lorentz utilizó la siguiente transformación, en la que él llamó a la variable de tiempo modificada "hora local" ( alemán : Ortszeit ): ^{[R 11]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x&=\mathrm {x} -{\mathfrak {p}}_{x}t\\y&=\mathrm {y} -{\mathfrak {p}}_{y}t\\z&=\mathrm {z} -{\mathfrak {p}}_{z}t\\t^{\prime }&=t-{\frac {{\mathfrak {p}}_{x}}{V^{2}}}x-{\frac {{\mathfrak {p}}_{y}}{V^{2}}}y-{\frac {{\mathfrak {p}}_{z}}{V^{2}}}z\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=x-v_{x}t\\y^{\prime }&=y-v_{y}t\\z^{\prime }&=z-v_{z}t\\t^{\prime }&=t-{\frac {v_{x}}{c^{2}}}x'-{\frac {v_{y}}{c^{2}}}y'-{\frac {v_{z}}{c^{2}}}z'\end{aligned}}\end{matrix}}}$

Con este concepto Lorentz pudo explicar el efecto Doppler , la aberración de la luz y el experimento de Fizeau . ^[11]

Larmor (1897, 1900)

En 1897, Larmor amplió el trabajo de Lorentz y derivó la siguiente transformación ^{[R 12]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x_{1}&=x\varepsilon ^{\frac {1}{2}}\\y_{1}&=y\\z_{1}&=z\\t^{\prime }&=t-vx/c^{2}\\dt_{1}&=dt^{\prime }\varepsilon ^{-{\frac {1}{2}}}\\\varepsilon &=\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{-1}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x_{1}&=\gamma x^{\ast }=\gamma (x-vt)\\y_{1}&=y\\z_{1}&=z\\t^{\prime }&=t-{\frac {vx^{\ast }}{c^{2}}}=t-{\frac {v(x-vt)}{c^{2}}}\\dt_{1}&={\frac {dt^{\prime }}{\gamma }}\\\gamma ^{2}&={\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

Larmor señaló que si se supone que la constitución de las moléculas es eléctrica entonces la contracción de FitzGerald-Lorentz es una consecuencia de esta transformación, explicando el experimento de Michelson-Morley . Es notable que Larmor fue el primero en reconocer que algún tipo de dilatación del tiempo es también una consecuencia de esta transformación, porque "los electrones individuales describen partes correspondientes de sus órbitas en tiempos más cortos para el sistema [resto] en la proporción 1/γ". . ^{[12] [13]} Larmor escribió sus ecuaciones y transformaciones electrodinámicas ignorando términos de orden superior a (v/c) ² ; cuando su artículo de 1897 se reimprimió en 1929, Larmor añadió el siguiente comentario en el que describía cómo se pueden hacer válidos. a todos los órdenes de v/c : ^{[R 13]}

No es necesario descuidar nada: la transformación es exacta si v/c ² se reemplaza por εv/c ² en las ecuaciones y también en el cambio que sigue de t a t′ , como se explica en Aether and Matter (1900), p. 168, y como Lorentz descubrió que era en 1904, estimulando así los esquemas modernos de la relatividad relacional intrínseca.

De acuerdo con ese comentario, en su libro Aether and Matter publicado en 1900, Larmor usó una hora local modificada t″=t′-εvx′/c ² en lugar de la expresión de 1897 t′=t-vx/c ² reemplazando v /c ² con εv/c ² , de modo que t'' es ahora idéntica a la dada por Lorentz en 1892, que combinó con una transformación galileana para las coordenadas x′, y′, z′, t′ : ^{[R 14 ]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x^{\prime }&=x-vt\\y^{\prime }&=y\\z^{\prime }&=z\\t^{\prime }&=t\\t^{\prime \prime }&=t^{\prime }-\varepsilon vx^{\prime }/c^{2}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=x-vt\\y^{\prime }&=y\\z^{\prime }&=z\\t^{\prime }&=t\\t^{\prime \prime }=t^{\prime }-{\frac {\gamma ^{2}vx^{\prime }}{c^{2}}}&=\gamma ^{2}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}}$

Larmor sabía que el experimento de Michelson-Morley era lo suficientemente preciso como para detectar un efecto del movimiento dependiendo del factor (v/c) ² , por lo que buscó transformaciones que fueran "precisas de segundo orden" (como él dijo). Así, escribió las transformaciones finales (donde x′=x-vt y t″ como se indicó anteriormente) como: ^{[R 15]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x_{1}&=\varepsilon ^{\frac {1}{2}}x^{\prime }\\y_{1}&=y^{\prime }\\z_{1}&=z^{\prime }\\dt_{1}&=\varepsilon ^{-{\frac {1}{2}}}dt^{\prime \prime }=\varepsilon ^{-{\frac {1}{2}}}\left(dt^{\prime }-{\frac {v}{c^{2}}}\varepsilon dx^{\prime }\right)\\t_{1}&=\varepsilon ^{-{\frac {1}{2}}}t^{\prime }-{\frac {v}{c^{2}}}\varepsilon ^{\frac {1}{2}}x^{\prime }\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x_{1}&=\gamma x^{\prime }=\gamma (x-vt)\\y_{1}&=y'=y\\z_{1}&=z'=z\\dt_{1}&={\frac {dt^{\prime \prime }}{\gamma }}={\frac {1}{\gamma }}\left(dt^{\prime }-{\frac {\gamma ^{2}vdx^{\prime }}{c^{2}}}\right)=\gamma \left(dt-{\frac {vdx}{c^{2}}}\right)\\t_{1}&={\frac {t^{\prime }}{\gamma }}-{\frac {\gamma vx^{\prime }}{c^{2}}}=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}}$

por lo que llegó a la transformación completa de Lorentz. Larmor demostró que las ecuaciones de Maxwell eran invariantes bajo esta transformación de dos pasos, "a segundo orden en v/c "; más tarde, Lorentz (1904) y Poincaré (1905) demostraron que de hecho son invariantes bajo esta transformación a todos los órdenes en v/c .

Larmor dio crédito a Lorentz en dos artículos publicados en 1904, en los que utilizó el término "transformación de Lorentz" para las transformaciones de primer orden de coordenadas y configuraciones de campo de Lorentz:

pag. 583: [..] Transformación de Lorentz para pasar del campo de actividad de un sistema material electrodinámico estacionario al de uno que se mueve con velocidad uniforme de traslación a través del éter.
pag. 585: [..] la transformación de Lorentz nos ha mostrado lo que no es tan inmediatamente obvio [..] ^{[R 16]}
p. 622: [..] la transformación desarrollada por primera vez por Lorentz: es decir, cada punto en el espacio debe tener su propio origen a partir del cual se mide el tiempo, su "tiempo local" en la fraseología de Lorentz, y luego los valores de los vectores eléctrico y magnético. [..] en todos los puntos del éter entre las moléculas del sistema en reposo, son los mismos que los de los vectores [..] en los puntos correspondientes del sistema convectivo en los mismos tiempos locales. ^{[R 17]}

Lorenzo (1899, 1904)

También Lorentz amplió su teorema de los estados correspondientes en 1899. Primero escribió una transformación equivalente a la de 1892 (nuevamente, x * debe ser reemplazado por x-vt ): ^{[R 18]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {V}{\sqrt {V^{2}-{\mathfrak {p}}_{x}^{2}}}}x\\y^{\prime }&=y\\z^{\prime }&=z\\t^{\prime }&=t-{\frac {{\mathfrak {p}}_{x}}{V^{2}-{\mathfrak {p}}_{x}^{2}}}x\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=\gamma x^{\ast }=\gamma (x-vt)\\y^{\prime }&=y\\z^{\prime }&=z\\t^{\prime }&=t-{\frac {\gamma ^{2}vx^{\ast }}{c^{2}}}=\gamma ^{2}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}}$

Luego introdujo un factor ε del cual dijo que no tenía medios para determinarlo, y modificó su transformación de la siguiente manera (donde debe insertarse el valor anterior de t′ ): ^{[R 19]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x&={\frac {\varepsilon }{k}}x^{\prime \prime }\\y&=\varepsilon y^{\prime \prime }\\z&=\varepsilon x^{\prime \prime }\\t^{\prime }&=k\varepsilon t^{\prime \prime }\\k&={\frac {V}{\sqrt {V^{2}-{\mathfrak {p}}_{x}^{2}}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\ast }=x-vt&={\frac {\varepsilon }{\gamma }}x^{\prime \prime }\\y&=\varepsilon y^{\prime \prime }\\z&=\varepsilon z^{\prime \prime }\\t^{\prime }=\gamma ^{2}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)&=\gamma \varepsilon t^{\prime \prime }\\\gamma &={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

Esto equivale a la transformación de Lorentz completa cuando se resuelve para x″ y t″ y con ε=1. Al igual que Larmor, Lorentz notó en 1899 ^{[R 20]} también una especie de efecto de dilatación del tiempo en relación con la frecuencia de los electrones oscilantes "que en S el tiempo de las vibraciones es kε veces mayor que en S ₀ " , donde S ₀ es el marco de éter. ^[14]

En 1904 reescribió las ecuaciones de la siguiente forma estableciendo l =1/ε (nuevamente, x * debe ser reemplazado por x-vt ): ^{[R 21]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x^{\prime }&=klx\\y^{\prime }&=ly\\z^{\prime }&=lz\\t'&={\frac {l}{k}}t-kl{\frac {w}{c^{2}}}x\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=\gamma lx^{\ast }=\gamma l(x-vt)\\y^{\prime }&=ly\\z^{\prime }&=lz\\t^{\prime }&={\frac {lt}{\gamma }}-{\frac {\gamma lvx^{\ast }}{c^{2}}}=\gamma l\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}}$

Bajo el supuesto de que l=1 cuando v =0, demostró que l=1 debe ser el caso en todas las velocidades, por lo tanto, la contracción de longitud solo puede surgir en la línea de movimiento. Entonces, al establecer el factor l en la unidad, las transformaciones de Lorentz ahora asumieron la misma forma que las de Larmor y ahora están completadas. A diferencia de Larmor, que se limitó a mostrar la covarianza de las ecuaciones de Maxwell a segundo orden, Lorentz intentó ampliar su covarianza a todos los órdenes en v/c . También derivó las fórmulas correctas para la dependencia de la velocidad de la masa electromagnética y concluyó que las fórmulas de transformación deben aplicarse a todas las fuerzas de la naturaleza, no solo a las eléctricas. ^{[R 22]} Sin embargo, no logró la covarianza total de las ecuaciones de transformación para la densidad de carga y la velocidad. ^[15] Cuando el artículo de 1904 se reimprimió en 1913, Lorentz añadió la siguiente observación: ^[16]

Se notará que en este trabajo las ecuaciones de transformación de la Teoría de la Relatividad de Einstein no se han alcanzado del todo. [..] De esta circunstancia depende la torpeza de muchas de las consideraciones posteriores de este trabajo.

La transformación de Lorentz de 1904 fue citada y utilizada por Alfred Bucherer en julio de 1904: ^{[R 23]}

${\displaystyle x^{\prime }={\sqrt {s}}x,\quad y^{\prime }=y,\quad z^{\prime }=z,\quad t'={\frac {t}{\sqrt {s}}}-{\sqrt {s}}{\frac {u}{v^{2}}}x,\quad s=1-{\frac {u^{2}}{v^{2}}}}$

o por Wilhelm Wien en julio de 1904: ^{[R 24]}

${\displaystyle x=kx',\quad y=y',\quad z=z',\quad t'=kt-{\frac {v}{kc^{2}}}x}$

o por Emil Cohn en noviembre de 1904 (fijando la velocidad de la luz en la unidad): ^{[R 25]}

${\displaystyle x={\frac {x_{0}}{k}},\quad y=y_{0},\quad z=z_{0},\quad t=kt_{0},\quad t_{1}=t_{0}-w\cdot r_{0},\quad k^{2}={\frac {1}{1-w^{2}}}}$

o por Richard Gans en febrero de 1905: ^{[R 26]}

${\displaystyle x^{\prime }=kx,\quad y^{\prime }=y,\quad z^{\prime }=z,\quad t'={\frac {t}{k}}-{\frac {kwx}{c^{2}}},\quad k^{2}={\frac {c^{2}}{c^{2}-w^{2}}}}$

Poincaré (1900, 1905)

Hora local

Ni Lorentz ni Larmor dieron una interpretación física clara del origen de la hora local. Sin embargo, Henri Poincaré en 1900 comentó sobre el origen de la "maravillosa invención" de la hora local de Lorentz. ^[17] Señaló que surgió cuando los relojes en un sistema de referencia en movimiento se sincronizan mediante el intercambio de señales que se supone viajan con la misma velocidad en ambas direcciones, lo que conduce a lo que hoy se llama relatividad de simultaneidad , aunque el cálculo de Poincaré no involucra contracción de longitud o dilatación del tiempo. ^{[R 27]} Para sincronizar los relojes aquí en la Tierra (el cuadro x*, t *), una señal luminosa de un reloj (en el origen) se envía a otro (en x *), y se envía de regreso. Se supone que la Tierra se mueve con velocidad v en la dirección x (= x * dirección) en algún sistema en reposo ( x, t ) ( es decir, el sistema de éter luminífero de Lorentz y Larmor). El tiempo de vuelo hacia el exterior es ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \delta t_{a}={\frac {x^{\ast }}{\left(c-v\right)}}}$

y el tiempo de vuelo de regreso es

${\displaystyle \delta t_{b}={\frac {x^{\ast }}{\left(c+v\right)}}}$.

El tiempo transcurrido en el reloj cuando se devuelve la señal es δt _a +δt _b y el tiempo t*=(δt _a +δt _b )/2 se atribuye al momento en que la señal luminosa alcanzó el reloj distante. En el marco de reposo el tiempo t=δt _a se atribuye a ese mismo instante. Algo de álgebra proporciona la relación entre las diferentes coordenadas de tiempo atribuidas al momento de reflexión. De este modo

${\displaystyle t^{\ast }=t-{\frac {\gamma ^{2}vx^{*}}{c^{2}}}}$

idéntico a Lorentz (1892). Al eliminar el factor γ ² bajo el supuesto de que , Poincaré dio el resultado t*=t-vx*/c ² , que es la forma utilizada por Lorentz en 1895. ${\displaystyle {\tfrac {v^{2}}{c^{2}}}\ll 1}$

Posteriormente, Emil Cohn (1904) ^{[R 28]} y Max Abraham (1905) dieron interpretaciones físicas similares de la hora local . ^{[R 29]}

Transformación de Lorentz

El 5 de junio de 1905 (publicado el 9 de junio) Poincaré formuló ecuaciones de transformación que son algebraicamente equivalentes a las de Larmor y Lorentz y les dio la forma moderna: ^{[R 30]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\prime }&=kl(x+\varepsilon t)\\y^{\prime }&=ly\\z^{\prime }&=lz\\t'&=kl(t+\varepsilon x)\\k&={\frac {1}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}\end{aligned}}}$.

Al parecer Poincaré desconocía las aportaciones de Larmor, porque sólo mencionó a Lorentz y por ello utilizó por primera vez el nombre "transformación de Lorentz". ^{[18] [19]} Poincaré estableció la velocidad de la luz en la unidad, señaló las características del grupo de la transformación estableciendo l = 1 y modificó/corrigió la derivación de Lorentz de las ecuaciones de electrodinámica en algunos detalles para satisfacer completamente el principio. de la relatividad, es decir , hacerlos completamente covariantes de Lorentz. ^[20]

En julio de 1905 (publicado en enero de 1906) ^{[R 31]} Poincaré mostró en detalle cómo las transformaciones y ecuaciones electrodinámicas son consecuencia del principio de mínima acción ; demostró con más detalle las características grupales de la transformación, al que llamó grupo de Lorentz , y demostró que la combinación x ² +y ² +z ² -t ² es invariante. Se dio cuenta de que la transformación de Lorentz es simplemente una rotación en un espacio de cuatro dimensiones alrededor del origen introduciendo una cuarta coordenada imaginaria, y utilizó una forma temprana de cuatro vectores . También formuló la fórmula de la suma de velocidades, que ya había deducido en cartas inéditas a Lorentz de mayo de 1905: ^{[R 32]} ${\displaystyle ct{\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle \xi '={\frac {\xi +\varepsilon }{1+\xi \varepsilon }},\ \eta '={\frac {\eta }{k(1+\xi \varepsilon )}}}$.

Einstein (1905) – Relatividad especial

El 30 de junio de 1905 (publicado en septiembre de 1905), Einstein publicó lo que ahora se llama relatividad especial y dio una nueva derivación de la transformación, que se basaba únicamente en el principio de la relatividad y el principio de la constancia de la velocidad de la luz. Mientras que Lorentz consideraba que la "hora local" era un dispositivo de estipulación matemática para explicar el experimento de Michelson-Morley, Einstein demostró que las coordenadas dadas por la transformación de Lorentz eran de hecho las coordenadas inerciales de sistemas de referencia relativamente móviles. Para cantidades de primer orden en v/c, Poincaré también hizo esto en 1900, mientras que Einstein derivó la transformación completa mediante este método. A diferencia de Lorentz y Poincaré, que todavía distinguían entre el tiempo real en el éter y el tiempo aparente para los observadores en movimiento, Einstein demostró que las transformaciones se aplicaban a la cinemática de los marcos en movimiento. ^{[21] [22] [23]}

La notación para esta transformación es equivalente a la de Poincaré de 1905, excepto que Einstein no estableció la velocidad de la luz en la unidad: ^{[R 33]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &=\beta \left(t-{\frac {v}{V^{2}}}x\right)\\\xi &=\beta (x-vt)\\\eta &=y\\\zeta &=z\\\beta &={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}\end{aligned}}}$

Einstein también definió la fórmula de suma de velocidades: ^{[R 34]}

${\displaystyle {\begin{matrix}x={\frac {w_{\xi }+v}{1+{\frac {vw_{\xi }}{V^{2}}}}}t,\ y={\frac {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}{1+{\frac {vw_{\xi }}{V^{2}}}}}w_{\eta }t\\U^{2}=\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2},\ w^{2}=w_{\xi }^{2}+w_{\eta }^{2},\ \alpha =\operatorname {arctg} {\frac {w_{y}}{w_{x}}}\\U={\frac {\sqrt {\left(v^{2}+w^{2}+2vw\cos \alpha \right)-\left({\frac {vw\sin \alpha }{V}}\right)^{2}}}{1+{\frac {vw\cos \alpha }{V^{2}}}}}\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}{\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {u_{x}v}{V^{2}}}}}=u_{\xi }\\{\frac {u_{y}}{\beta \left(1-{\frac {u_{x}v}{V^{2}}}\right)}}=u_{\eta }\\{\frac {u_{z}}{\beta \left(1-{\frac {u_{x}v}{V^{2}}}\right)}}=u_{\zeta }\end{matrix}}\right.}$

y la fórmula de la aberración luminosa: ^{[R 35]}

${\displaystyle \cos \varphi '={\frac {\cos \varphi -{\frac {v}{V}}}{1-{\frac {v}{V}}\cos \varphi }}}$

Minkowski (1907-1908) – Espacio-tiempo

Los trabajos sobre el principio de relatividad de Lorentz, Einstein, Planck , junto con el enfoque cuatridimensional de Poincaré, fueron elaborados aún más y combinados con el modelo hiperboloide de Hermann Minkowski en 1907 y 1908. ^{[R 36] [R 37]} Minkowski reformuló particularmente electrodinámica en forma cuatridimensional ( espacio-tiempo de Minkowski ). ^[24] Por ejemplo, escribió x, y, z, en la forma x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ . Al definir ψ como el ángulo de rotación alrededor del eje z , la transformación de Lorentz asume la forma (con c =1): ^{[R 38]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x'_{1}&=x_{1}\\x'_{2}&=x_{2}\\x'_{3}&=x_{3}\cos i\psi +x_{4}\sin i\psi \\x'_{4}&=-x_{3}\sin i\psi +x_{4}\cos i\psi \\\cos i\psi &={\frac {1}{\sqrt {1-q^{2}}}}\end{aligned}}}$

Aunque Minkowski usó el número imaginario iψ, por una vez ^{[R 38]} usó directamente las tangentes hiperbólicas en la ecuación de velocidad

${\displaystyle -i\tan i\psi ={\frac {e^{\psi }-e^{-\psi }}{e^{\psi }+e^{-\psi }}}=q}$con . ${\displaystyle \psi ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+q}{1-q}}}$

La expresión de Minkowski también puede escribirse como ψ=atanh(q) y más tarde se llamó rapidez . También escribió la transformación de Lorentz en forma matricial: ^{[R 39]}

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}+x_{3}^{\prime 2}+x_{4}^{\prime 2}\\\left(x_{1}^{\prime }=x',\ x_{2}^{\prime }=y',\ x_{3}^{\prime }=z',\ x_{4}^{\prime }=it'\right)\\-x^{2}-y^{2}-z^{2}+t^{2}=-x^{\prime 2}-y^{\prime 2}-z^{\prime 2}+t^{\prime 2}\\\hline x_{h}=\alpha _{h1}x_{1}^{\prime }+\alpha _{h2}x_{2}^{\prime }+\alpha _{h3}x_{3}^{\prime }+\alpha _{h4}x_{4}^{\prime }\\\mathrm {A} =\mathrm {\left|{\begin{matrix}\alpha _{11},&\alpha _{12},&\alpha _{13},&\alpha _{14}\\\alpha _{21},&\alpha _{22},&\alpha _{23},&\alpha _{24}\\\alpha _{31},&\alpha _{32},&\alpha _{33},&\alpha _{34}\\\alpha _{41},&\alpha _{42},&\alpha _{43},&\alpha _{44}\end{matrix}}\right|,\ {\begin{aligned}{\bar {\mathrm {A} }}\mathrm {A} &=1\\\left(\det \mathrm {A} \right)^{2}&=1\\\det \mathrm {A} &=1\\\alpha _{44}&>0\end{aligned}}} \end{matrix}}}$

Como representación gráfica de la transformación de Lorentz introdujo el diagrama de Minkowski , que se convirtió en una herramienta estándar en libros de texto y artículos de investigación sobre la relatividad: ^{[R 40]}

Diagrama espacio-temporal original de Minkowski en 1908.

Sommerfeld (1909) – Trigonometría esférica

Utilizando una rapidez imaginaria como la de Minkowski, Arnold Sommerfeld (1909) formuló el impulso de Lorentz y la suma relativista de velocidades en términos de funciones trigonométricas y la ley esférica de los cosenos : ^{[R 41]}

${\displaystyle {\begin{matrix}\left.{\begin{array}{lrl}x'=&x\ \cos \varphi +l\ \sin \varphi ,&y'=y\\l'=&-x\ \sin \varphi +l\ \cos \varphi ,&z'=z\end{array}}\right\}\\\left(\operatorname {tg} \varphi =i\beta ,\ \cos \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},\ \sin \varphi ={\frac {i\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)\\\hline \beta ={\frac {1}{i}}\operatorname {tg} \left(\varphi _{1}+\varphi _{2}\right)={\frac {1}{i}}{\frac {\operatorname {tg} \varphi _{1}+\operatorname {tg} \varphi _{2}}{1-\operatorname {tg} \varphi _{1}\operatorname {tg} \varphi _{2}}}={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{1+\beta _{1}\beta _{2}}}\\\cos \varphi =\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}-\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\cos \alpha \\v^{2}={\frac {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+2v_{1}v_{2}\cos \alpha -{\frac {1}{c^{2}}}v_{1}^{2}v_{2}^{2}\sin ^{2}\alpha }{\left(1+{\frac {1}{c^{2}}}v_{1}v_{2}\cos \alpha \right)^{2}}}\end{matrix}}}$

Frank (1909) – Funciones hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas fueron utilizadas por Philipp Frank (1909), quien derivó la transformación de Lorentz utilizando ψ como rapidez : ^{[R 42]}

${\displaystyle {\begin{matrix}x'=x\varphi (a)\,{\rm {ch}}\,\psi +t\varphi (a)\,{\rm {sh}}\,\psi \\t'=-x\varphi (a)\,{\rm {sh}}\,\psi +t\varphi (a)\,{\rm {ch}}\,\psi \\\hline {\rm {th}}\,\psi =-a,\ {\rm {sh}}\,\psi ={\frac {a}{\sqrt {1-a^{2}}}},\ {\rm {ch}}\,\psi ={\frac {1}{\sqrt {1-a^{2}}}},\ \varphi (a)=1\\\hline x'={\frac {x-at}{\sqrt {1-a^{2}}}},\ y'=y,\ z'=z,\ t'={\frac {-ax+t}{\sqrt {1-a^{2}}}}\end{matrix}}}$

Bateman y Cunningham (1909-1910): transformación de ondas esféricas

De acuerdo con la investigación de Sophus Lie (1871) sobre la relación entre transformaciones de esfera con una coordenada de radio imaginario y transformaciones conformes 4D, Bateman y Cunningham (1909-1910) señalaron que al establecer u=ict como el imaginario cuartas coordenadas se pueden producir transformaciones conformes espacio-temporales. No sólo la forma cuadrática , sino también las ecuaciones de Maxwell son covariantes con respecto a estas transformaciones, independientemente de la elección de λ. Bateman llamó a estas variantes de transformaciones conformes o de esfera de Lie transformaciones de onda esférica . ^{[R 43] [R 44]} Sin embargo, esta covarianza está restringida a ciertas áreas como la electrodinámica, mientras que la totalidad de las leyes naturales en marcos inerciales es covariante bajo el grupo de Lorentz . ^{[R 45]} En particular, al establecer λ=1, el grupo de Lorentz SO(1,3) puede verse como un subgrupo de 10 parámetros del grupo conforme de espacio-tiempo Con(1,3) de 15 parámetros . ${\displaystyle \lambda \left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+du^{2}\right)}$

Bateman (1910-12) ^[25] también aludió a la identidad entre la inversión de Laguerre y las transformaciones de Lorentz. En general, Élie Cartan (1912, 1915–55), ^{[R 46]} Henri Poincaré (1912–21) ^{[R 47]} y otros señalaron el isomorfismo entre el grupo de Laguerre y el grupo de Lorentz .

Herglotz (1909/10) – Transformación de Möbius

Siguiendo a Felix Klein (1889-1897) y Fricke y Klein (1897) con respecto al movimiento hiperbólico absoluto de Cayley y su transformación, Gustav Herglotz (1909-10) clasificó las transformaciones de Lorentz de un parámetro en loxodrómicas, hiperbólicas, parabólicas y elípticas. El caso general (a la izquierda) y el caso hiperbólico equivalente a transformaciones de Lorentz o mapeos de compresión son los siguientes: ^{[R 48]}

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0\\z_{1}=x,\ z_{2}=y,\ z_{3}=z,\ z_{4}=t\\Z={\frac {z_{1}+iz_{2}}{z_{4}-z_{3}}}={\frac {x+iy}{t-z}},\ Z'={\frac {x'+iy'}{t'-z'}}\\Z={\frac {\alpha Z'+\beta }{\gamma Z'+\delta }}\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}Z=Z'e^{\vartheta }\\{\begin{aligned}x&=x',&t-z&=(t'-z')e^{\vartheta }\\y&=y',&t+z&=(t'+z')e^{-\vartheta }\end{aligned}}\end{matrix}}}$

Varićak (1910) – Funciones hiperbólicas

Siguiendo a Sommerfeld (1909), Vladimir Varićak utilizó funciones hiperbólicas en varios artículos a partir de 1910, quien representó las ecuaciones de la relatividad especial sobre la base de la geometría hiperbólica en términos de coordenadas de Weierstrass. Por ejemplo, al establecer l=ct y v/c=tanh(u) con u como rapidez, escribió la transformación de Lorentz: ^{[R 49]}

${\displaystyle {\begin{aligned}l'&=-x\operatorname {sh} u+l\operatorname {ch} u,\\x'&=x\operatorname {ch} u-l\operatorname {sh} u,\\y'&=y,\quad z'=z,\\\operatorname {ch} u&={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}\end{aligned}}}$

y mostró la relación de rapidez con la función Gudermanniana y el ángulo de paralelismo : ^{[R 49]}

${\displaystyle {\frac {v}{c}}=\operatorname {th} u=\operatorname {tg} \psi =\sin \operatorname {gd} (u)=\cos \Pi (u)}$

También relacionó la suma de velocidades con la ley hiperbólica de los cosenos : ^{[R 50]}

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {ch} {u}=\operatorname {ch} {u_{1}}\operatorname {c} h{u_{2}}+\operatorname {sh} {u_{1}}\operatorname {sh} {u_{2}}\cos \alpha \\\operatorname {ch} {u_{i}}={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{i}}{c}}\right)^{2}}}},\ \operatorname {sh} {u_{i}}={\frac {v_{i}}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{i}}{c}}\right)^{2}}}}\\v={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}-\left({\frac {v_{1}v_{2}}{c}}\right)^{2}}}\ \left(a={\frac {\pi }{2}}\right)\end{matrix}}}$

Posteriormente, otros autores como ET Whittaker (1910) o Alfred Robb (1911, que acuñó el nombre de rapidez) utilizaron expresiones similares, que todavía se utilizan en los libros de texto modernos.

Plummer (1910) – Impulsos trigonométricos de Lorentz

w:Henry Crozier Keating Plummer (1910) definió el impulso de Lorentz en términos de funciones trigonométricas ^{[R 51]}

${\displaystyle {\begin{matrix}\tau =t\sec \beta -x\tan \beta /U\\\xi =x\sec \beta -Ut\tan \beta \\\eta =y,\ \zeta =z,\\\hline \sin \beta =v/U\end{matrix}}}$

Ignacio (1910)

Mientras que las derivaciones y formulaciones anteriores de la transformación de Lorentz se basaron desde el principio en la óptica, la electrodinámica o la invariancia de la velocidad de la luz, Vladimir Ignatowski (1910) demostró que es posible utilizar el principio de la relatividad (y los principios teóricos de grupos relacionados ). solo, para derivar la siguiente transformación entre dos sistemas inerciales: ^{[R 52] [R 53]}

${\displaystyle {\begin{aligned}dx'&=p\ dx-pq\ dt\\dt'&=-pqn\ dx+p\ dt\\p&={\frac {1}{\sqrt {1-q^{2}n}}}\end{aligned}}}$

La variable n puede verse como una constante espacio-temporal cuyo valor debe determinarse mediante experimentos o tomarse de una ley física conocida como la electrodinámica. Para ello, Ignatowski utilizó el elipsoide de Heaviside mencionado anteriormente, que representa una contracción de campos electrostáticos por x /γ en la dirección del movimiento. Se puede ver que esto sólo es consistente con la transformación de Ignatowski cuando n=1/c ² , lo que resulta en p =γ y la transformación de Lorentz. Con n = 0, no surgen cambios de longitud y se sigue la transformación galileana. El método de Ignatowski fue desarrollado y mejorado por Philipp Frank y Hermann Rothe (1911, 1912), ^{[R 54]} y varios autores desarrollaron métodos similares en los años siguientes. ^[26]

Noether (1910), Klein (1910) – Cuaterniones

Felix Klein (1908) describió las multiplicaciones de cuaterniones 4D de Cayley (1854) como "Drehstreckungen" (sustituciones ortogonales en términos de rotaciones que dejan invariante una forma cuadrática hasta un factor), y señaló que el principio moderno de la relatividad proporcionado por Minkowski es esencialmente sólo la consiguiente aplicación de tales Drehstreckungen, aunque no proporcionó detalles. ^{[R 55]}

En un apéndice de la "Teoría de la cima" de Klein y Sommerfeld (1910), Fritz Noether mostró cómo formular rotaciones hiperbólicas usando bicuaterniones con , que también relacionó con la velocidad de la luz estableciendo ω ² = - c ² . Concluyó que este es el ingrediente principal para una representación racional del grupo de transformaciones de Lorentz: ^{[R 56]} ${\displaystyle \omega ={\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}V={\frac {Q_{1}vQ_{2}}{T_{1}T_{2}}}\\\hline X^{2}+Y^{2}+Z^{2}+\omega ^{2}S^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\omega ^{2}s^{2}\\\hline {\begin{aligned}V&=Xi+Yj+Zk+\omega S\\v&=xi+yj+zk+\omega s\\Q_{1}&=(+Ai+Bj+Ck+D)+\omega (A'i+B'j+C'k+D')\\Q_{2}&=(-Ai-Bj-Ck+D)+\omega (A'i+B'j+C'k-D')\\T_{1}T_{2}&=T_{1}^{2}=T_{2}^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}+\omega ^{2}\left(A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}}$

Además de citar obras estándar relacionadas con los cuaterniones de Arthur Cayley (1854), Noether se refirió a las entradas de la enciclopedia de Klein de Eduard Study (1899) y la versión francesa de Élie Cartan (1908). ^{[27] La ​​versión de Cartan contiene una descripción de} los números duales de Study , los bicuaterniones de Clifford (incluida la elección de la geometría hiperbólica) y el álgebra de Clifford, con referencias a Stephanos (1883), Buchheim (1884–85), Vahlen (1901–02) y otros. ${\displaystyle \omega ={\sqrt {-1}}}$

Citando a Noether, el propio Klein publicó en agosto de 1910 las siguientes sustituciones de cuaterniones que forman el grupo de transformaciones de Lorentz: ^{[R 57]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}&\left(i_{1}x'+i_{2}y'+i_{3}z'+ict'\right)\\&\quad -\left(i_{1}x_{0}+i_{2}y_{0}+i_{3}z_{0}+ict_{0}\right)\end{aligned}}={\frac {\left[{\begin{aligned}&\left(i_{1}(A+iA')+i_{2}(B+iB')+i_{3}(C+iC')+i_{4}(D+iD')\right)\\&\quad \cdot \left(i_{1}x+i_{2}y+i_{3}z+ict\right)\\&\quad \quad \cdot \left(i_{1}(A-iA')+i_{2}(B-iB')+i_{3}(C-iC')-(D-iD')\right)\end{aligned}}\right]}{\left(A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\right)-\left(A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}\right)}}\\\hline {\text{where}}\\AA'+BB'+CC'+DD'=0\\A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}>A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\end{matrix}}}$

o en marzo de 1911 ^{[R 58]}

${\displaystyle {\begin{matrix}g'={\frac {pg\pi }{M}}\\\hline {\begin{aligned}g&={\sqrt {-1}}ct+ix+jy+kz\\g'&={\sqrt {-1}}ct'+ix'+jy'+kz'\\p&=(D+{\sqrt {-1}}D')+i(A+{\sqrt {-1}}A')+j(B+{\sqrt {-1}}B')+k(C+{\sqrt {-1}}C')\\\pi &=(D-{\sqrt {-1}}D')-i(A-{\sqrt {-1}}A')-j(B-{\sqrt {-1}}B')-k(C-{\sqrt {-1}}C')\\M&=\left(A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}\right)-\left(A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\right)\\&AA'+BB'+CC'+DD'=0\\&A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}>A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

Conway (1911), Silberstein (1911) - Cuaterniones

Arthur W. Conway formuló explícitamente en febrero de 1911 transformaciones cuaterniónicas de Lorentz de varias cantidades electromagnéticas en términos de velocidad λ: ^{[R 59]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}{\mathtt {D}}&=\mathbf {a} ^{-1}{\mathtt {D}}'\mathbf {a} ^{-1}\\{\mathtt {\sigma }}&=\mathbf {a} {\mathtt {\sigma }}'\mathbf {a} ^{-1}\end{aligned}}\\e=\mathbf {a} ^{-1}e'\mathbf {a} ^{-1}\\\hline a=\left(1-hc^{-1}\lambda \right)^{\frac {1}{2}}\left(1+c^{-2}\lambda ^{2}\right)^{-{\frac {1}{4}}}\end{matrix}}}$

También Ludwik Silberstein en noviembre de 1911 ^{[R 60]} así como en 1914, ^[28] formuló la transformación de Lorentz en términos de velocidad v :

${\displaystyle {\begin{matrix}q'=QqQ\\\hline {\begin{aligned}q&=\mathbf {r} +l=xi+yj+zk+\iota ct\\q&'=\mathbf {r} '+l'=x'i+y'j+z'k+\iota ct'\\Q&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\sqrt {1+\gamma }}+\mathrm {u} {\sqrt {1-\gamma }}\right)\\&=\cos \alpha +\mathrm {u} \sin \alpha =e^{\alpha \mathrm {u} }\\&\left\{\gamma =\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{-1/2},\ 2\alpha =\operatorname {arctg} \ \left(\iota {\frac {v}{c}}\right)\right\}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

Silberstein cita a Cayley (1854, 1855) y la entrada de la enciclopedia de Study (en la versión francesa ampliada de Cartan en 1908), así como el apéndice del libro de Klein y Sommerfeld.

Ignatowski (1910/11), Herglotz (1911) y otros – Transformación vectorial

Vladimir Ignatowski (1910, publicado en 1911) mostró cómo reformular la transformación de Lorentz para permitir velocidades y coordenadas arbitrarias: ^{[R 61]}

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}{\mathfrak {v}}={\frac {{\mathfrak {v}}'+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}'+pq{\mathfrak {c}}_{0}}{p\left(1+nq{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}'\right)}}&\left|{\begin{aligned}{\mathfrak {A}}'&={\mathfrak {A}}+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {A}}-pqb{\mathfrak {c}}_{0}\\b'&=pb-pqn{\mathfrak {A}}{\mathfrak {c}}_{0}\\\\{\mathfrak {A}}&={\mathfrak {A}}'+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {A}}'+pqb'{\mathfrak {c}}_{0}\\b&=pb'+pqn{\mathfrak {A}}'{\mathfrak {c}}_{0}\end{aligned}}\right.\end{matrix}}\\\left[{\mathfrak {v}}=\mathbf {u} ,\ {\mathfrak {A}}=\mathbf {x} ,\ b=t,\ {\mathfrak {c}}_{0}={\frac {\mathbf {v} }{v}},\ p=\gamma ,\ n={\frac {1}{c^{2}}}\right]\end{matrix}}}$

Gustav Herglotz (1911) ^{[R 62]} también mostró cómo formular la transformación para permitir velocidades y coordenadas arbitrarias v = (v _x , v _y , v _z ) y r = (x, y, z) :

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x^{0}&=x+\alpha u(ux+vy+wz)-\beta ut\\y^{0}&=y+\alpha v(ux+vy+wz)-\beta vt\\z^{0}&=z+\alpha w(ux+vy+wz)-\beta wt\\t^{0}&=-\beta (ux+vy+wz)+\beta t\\&\alpha ={\frac {1}{{\sqrt {1-s^{2}}}\left(1+{\sqrt {1-s^{2}}}\right)}},\ \beta ={\frac {1}{\sqrt {1-s^{2}}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x'&=x+\alpha v_{x}\left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)-\gamma v_{x}t\\y'&=y+\alpha v_{y}\left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)-\gamma v_{y}t\\z'&=z+\alpha v_{z}\left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)-\gamma v_{z}t\\t'&=-\gamma \left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)+\gamma t\\&\alpha ={\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}},\ \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

Esto fue simplificado usando notación vectorial por Ludwik Silberstein (1911 a la izquierda, 1914 a la derecha): ^{[R 63]}

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {ru} )\mathbf {u} +i\beta \gamma lu\\l'&=\gamma \left[l-i\beta (\mathbf {ru} )\right]\end{aligned}}&{\begin{aligned}\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {vr} )-\gamma t\right]\mathbf {v} \\t'&=\gamma \left[t-{\frac {1}{c^{2}}}(\mathbf {vr} )\right]\end{aligned}}\end{array}}}$

Wolfgang Pauli (1921), ^[29] también proporcionó fórmulas equivalentes y Erwin Madelung (1922) proporcionó la forma matricial ^[30].

${\displaystyle {\begin{array}{c|c|c|c|c}&x&y&z&t\\\hline x'&1-{\frac {v_{x}^{2}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&-{\frac {v_{x}v_{y}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&-{\frac {v_{x}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&{\frac {-v_{x}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\y'&-{\frac {v_{x}v_{y}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&1-{\frac {v_{y}^{2}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&-{\frac {v_{y}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&{\frac {-v_{y}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\z'&-{\frac {v_{x}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&-{\frac {v_{y}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&1-{\frac {v_{z}^{2}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&{\frac {-v_{z}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\t'&{\frac {-v_{x}}{c^{2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}&{\frac {-v_{y}}{c^{2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}&{\frac {-v_{z}}{c^{2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\end{array}}}$

Estas fórmulas fueron denominadas "transformación de Lorentz general sin rotación" por Christian Møller (1952), ^[31] quien además dio una transformación de Lorentz aún más general en la que los ejes cartesianos tienen diferentes orientaciones, utilizando un operador de rotación . En este caso, v′ = (v′ _x , v′ _y , v′ _z ) no es igual a - v = (-v _x , -v _y , -v _z ) , pero la relación se mantiene, con el resultado ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} '=-{\mathfrak {D}}\mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{aligned}\mathbf {x} '&={\mathfrak {D}}^{-1}\mathbf {x} -\mathbf {v} '\left\{\left(\gamma -1\right)(\mathbf {x\cdot v} )/v^{2}-\gamma t\right\}\\t'&=\gamma \left(t-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {x} )/c^{2}\right)\end{aligned}}\end{array}}}$

Borel (1913-14): parámetro de Cayley-Hermite

Émile Borel (1913) comenzó demostrando los movimientos euclidianos utilizando el parámetro de Euler-Rodrigues en tres dimensiones y el parámetro de Cayley (1846) en cuatro dimensiones. Luego demostró la conexión con formas cuadráticas indefinidas que expresan movimientos hiperbólicos y transformaciones de Lorentz. En tres dimensiones: ^{[R 64]}

${\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0\\\hline {\scriptstyle {\begin{aligned}\delta a&=\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}-\rho ^{2},&\delta b&=2(\lambda \mu +\nu \rho ),&\delta c&=-2(\lambda \nu +\mu \rho ),\\\delta a'&=2(\lambda \mu -\nu \rho ),&\delta b'&=-\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}-\rho ^{2},&\delta c'&=2(\lambda \rho -\mu \nu ),\\\delta a''&=2(\lambda \nu -\mu \rho ),&\delta b''&=2(\lambda \rho +\mu \nu ),&\delta c''&=-\left(\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}+\rho ^{2}\right),\end{aligned}}}\\\left(\delta =\lambda ^{2}+\mu ^{2}-\rho ^{2}-\nu ^{2}\right)\\\lambda =\nu =0\rightarrow {\text{Hyperbolic rotation}}\end{matrix}}}$

En cuatro dimensiones: ^{[R 65]}

${\displaystyle {\begin{matrix}F=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}-\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}\\\hline {\scriptstyle {\begin{aligned}&\left(\mu ^{2}+\nu ^{2}-\alpha ^{2}\right)\cos \varphi +\left(\lambda ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}\right)\operatorname {ch} {\theta }&&-(\alpha \beta +\lambda \mu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })-\nu \sin \varphi -\gamma \operatorname {sh} {\theta }\\&-(\alpha \beta +\lambda \mu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })-\nu \sin \varphi +\gamma \operatorname {sh} {\theta }&&\left(\mu ^{2}+\nu ^{2}-\beta ^{2}\right)\cos \varphi +\left(\mu ^{2}-\alpha ^{2}-\gamma ^{2}\right)\operatorname {ch} {\theta }\\&-(\alpha \gamma +\lambda \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\mu \sin \varphi -\beta \operatorname {sh} {\theta }&&-(\beta \mu +\mu \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\lambda \sin \varphi +\alpha \operatorname {sh} {\theta }\\&(\gamma \mu -\beta \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\alpha \sin \varphi -\lambda \operatorname {sh} {\theta }&&-(\alpha \nu -\lambda \gamma )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\beta \sin \varphi -\mu \operatorname {sh} {\theta }\\\\&\quad -(\alpha \gamma +\lambda \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\mu \sin \varphi +\beta \operatorname {sh} {\theta }&&\quad (\beta \nu -\mu \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\alpha \sin \varphi -\lambda \operatorname {sh} {\theta }\\&\quad -(\beta \mu +\mu \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })-\lambda \sin \varphi -\alpha \operatorname {sh} {\theta }&&\quad (\lambda \gamma -\alpha \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\beta \sin \varphi -\mu \operatorname {sh} {\theta }\\&\quad \left(\lambda ^{2}+\mu ^{2}-\gamma ^{2}\right)\cos \varphi +\left(\nu ^{2}-\alpha ^{2}-\beta ^{2}\right)\operatorname {ch} {\theta }&&\quad (\alpha \mu -\beta \lambda )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\gamma \sin \varphi -\nu \operatorname {sh} {\theta }\\&\quad (\beta \gamma -\alpha \mu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\gamma \sin \varphi -\nu \operatorname {sh} {\theta }&&\quad -\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)\cos \varphi +\left(\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}\right)\operatorname {ch} {\theta }\end{aligned}}}\\\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\lambda ^{2}-\mu ^{2}-\nu ^{2}=-1\right)\end{matrix}}}$

Gruner (1921) – Impulsos trigonométricos de Lorentz

Para simplificar la representación gráfica del espacio de Minkowski, Paul Gruner (1921) (con la ayuda de Josef Sauter) desarrolló lo que ahora se llama diagramas de Loedel , utilizando las siguientes relaciones: ^{[R 66]}

${\displaystyle {\begin{matrix}v=\alpha \cdot c;\quad \beta ={\frac {1}{\sqrt {1-\alpha ^{2}}}}\\\sin \varphi =\alpha ;\quad \beta ={\frac {1}{\cos \varphi }};\quad \alpha \beta =\tan \varphi \\\hline x'={\frac {x}{\cos \varphi }}-t\cdot \tan \varphi ,\quad t'={\frac {t}{\cos \varphi }}-x\cdot \tan \varphi \end{matrix}}}$

En otro artículo, Gruner utilizó las relaciones alternativas: ^{[R 67]}

${\displaystyle {\begin{matrix}\alpha ={\frac {v}{c}};\ \beta ={\frac {1}{\sqrt {1-\alpha ^{2}}}};\\\cos \theta =\alpha ={\frac {v}{c}};\ \sin \theta ={\frac {1}{\beta }};\ \cot \theta =\alpha \cdot \beta \\\hline x'={\frac {x}{\sin \theta }}-t\cdot \cot \theta ,\quad t'={\frac {t}{\sin \theta }}-x\cdot \cot \theta \end{matrix}}}$

Ver también

• Derivaciones de las transformaciones de Lorentz
• Historia de la relatividad especial

Referencias

Fuentes matemáticas históricas

Materiales de aprendizaje relacionados con la historia de temas de la relatividad especial/fuente matemática en Wikiversity

Fuentes históricas de la relatividad

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enlaces externos

• Mathpages: 1.4 La relatividad de la luz