Rastro de campo

En matemáticas , la traza de campo es una función particular definida con respecto a una extensión de campo finita L / K , que es una función K -lineal de L sobre K.

Definición

Sea K un campo y L una extensión finita (y por lo tanto una extensión algebraica ) de K. L puede verse como un espacio vectorial sobre K. La multiplicación por α , un elemento de L ,

${\displaystyle m_{\alpha }:L\to L{\text{ given by }}m_{\alpha }(x)=\alpha x}$,

es una transformación lineal K de este espacio vectorial en sí mismo. La traza , Tr _{L / K} ( α ), se define como la traza (en el sentido del álgebra lineal ) de esta transformación lineal. ^[1]

Para α en L , sean σ ₁ ( α ), ..., σ _n ( α ) las raíces (contadas con multiplicidad) del polinomio mínimo de α sobre K (en algún cuerpo de extensión de K ). Entonces

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=[L:K(\alpha )]\sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}(\alpha ).}$

Si L / K es separable , entonces cada raíz aparece solo una vez ^[2] (sin embargo, esto no significa que el coeficiente anterior sea uno; por ejemplo, si α es el elemento identidad 1 de K , entonces la traza es [ L : K  ] veces 1).

Más particularmente, si L / K es una extensión de Galois y α está en L , entonces la traza de α es la suma de todos los conjugados de Galois de α , ^[1] es decir,

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=\sum _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha ),}$

donde Gal( L / K ) denota el grupo de Galois de L / K .

Ejemplo

Sea una extensión cuadrática de . Entonces una base de es Si entonces la matriz de es: ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \{1,{\sqrt {d}}\}.}$ ${\displaystyle \alpha =a+b{\sqrt {d}}}$ ${\displaystyle m_{\alpha }}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}a&bd\\b&a\end{matrix}}\right]}$,

y así, . ^[1] El polinomio mínimo de α es X ² − 2 a X + ( a ² − db ² ) . ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/\mathbb {Q} }(\alpha )=[L:\mathbb {Q} (\alpha )]\left(\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )\right)=1\times \left(\sigma _{1}(\alpha )+{\overline {\sigma _{1}}}(\alpha )\right)=a+b{\sqrt {d}}+a-b{\sqrt {d}}=2a}$ 

Propiedades de la traza

Varias propiedades de la función traza se cumplen para cualquier extensión finita. ^[3]

La traza Tr _{L / K}  : L → K es una función K - lineal (una función K - lineal), es decir

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha a+\beta b)=\alpha \operatorname {Tr} _{L/K}(a)+\beta \operatorname {Tr} _{L/K}(b){\text{ for all }}\alpha ,\beta \in K}$.

Si α ∈ K entonces ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=[L:K]\alpha .}$

Además, la traza se comporta bien en torres de campos : si M es una extensión finita de L , entonces la traza de M a K es simplemente la composición de la traza de M a L con la traza de L a K , es decir

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{M/K}=\operatorname {Tr} _{L/K}\circ \operatorname {Tr} _{M/L}}$.

Campos finitos

Sea L = GF( q ⁿ ) una extensión finita de un cuerpo finito K = GF( q ). Como L / K es una extensión de Galois , si α está en L , entonces la traza de α es la suma de todos los conjugados de Galois de α , es decir ^[4]

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=\alpha +\alpha ^{q}+\cdots +\alpha ^{q^{n-1}}.}$

En esta configuración tenemos las propiedades adicionales: ^[5]

• ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(a^{q})=\operatorname {Tr} _{L/K}(a){\text{ for }}a\in L}$.
• Para cualquier , hay exactamente elementos con . ${\displaystyle \alpha \in K}$ ${\displaystyle q^{n-1}}$ ${\displaystyle b\in L}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(b)=\alpha }$

Teorema . ^[6] Para b ∈ L , sea F _b la función Entonces F _b ≠ F _c si b ≠ c . Además, las transformaciones K -lineales de L a K son exactamente las funciones de la forma F _b cuando b varía sobre el cuerpo L . ${\displaystyle a\mapsto \operatorname {Tr} _{L/K}(ba).}$

Cuando K es el subcuerpo primo de L , la traza se denomina traza absoluta y, en caso contrario, es una traza relativa . ^[4]

Solicitud

Una ecuación cuadrática , ax ² + bx + c = 0 con a  ≠ 0 y coeficientes en el cuerpo finito tiene 0, 1 o 2 raíces en GF( q ) (y dos raíces, contadas con multiplicidad, en la extensión cuadrática GF( q ² )). Si la característica de GF( q ) es impar , el discriminante Δ = b ² − 4 ac indica el número de raíces en GF( q ) y la fórmula cuadrática clásica da las raíces. Sin embargo, cuando GF( q ) tiene característica par (es decir, q = 2 ^h para algún entero positivo h ), estas fórmulas ya no son aplicables. ${\displaystyle \operatorname {GF} (q)=\mathbb {F} _{q}}$

Considérese la ecuación cuadrática ax ² + bx + c = 0 con coeficientes en el cuerpo finito GF(2 ^h ). ^[7] Si b = 0 entonces esta ecuación tiene la única solución en GF( q ). Si b ≠ 0 entonces la sustitución y = ax / b convierte la ecuación cuadrática a la forma: ${\displaystyle x={\sqrt {\frac {c}{a}}}}$

${\displaystyle y^{2}+y+\delta =0,{\text{ where }}\delta ={\frac {ac}{b^{2}}}.}$

Esta ecuación tiene dos soluciones en GF( q ) si y solo si la traza absoluta En este caso, si y  =  s es una de las soluciones, entonces y  =  s  + 1 es la otra. Sea k cualquier elemento de GF( q ) con Entonces una solución a la ecuación viene dada por: ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{GF(q)/GF(2)}(\delta )=0.}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{GF(q)/GF(2)}(k)=1.}$

${\displaystyle y=s=k\delta ^{2}+(k+k^{2})\delta ^{4}+\ldots +(k+k^{2}+\ldots +k^{2^{h-2}})\delta ^{2^{h-1}}.}$

Cuando h = 2 m'  + 1, la solución viene dada por la expresión más simple:

${\displaystyle y=s=\delta +\delta ^{2^{2}}+\delta ^{2^{4}}+\ldots +\delta ^{2^{2m}}.}$

Formulario de seguimiento

Cuando L / K es separable, la traza proporciona una teoría de dualidad a través de la forma de traza : la función de L × L en K que envía ( x , y ) a Tr _{L / K} ( xy ) es una forma bilineal simétrica no degenerada llamada forma de traza. Si L / K es una extensión de Galois, la forma de traza es invariante con respecto al grupo de Galois.

La forma traza se utiliza en la teoría de números algebraicos en la teoría de los diferentes ideales .

La forma de traza para una extensión de campo de grado finito L / K tiene una firma no negativa para cualquier ordenamiento de campo de K . ^[8] La inversa , que cada clase de equivalencia de Witt con firma no negativa contiene una forma de traza, es verdadera para los campos de números algebraicos K . ^[8]

Si L / K es una extensión inseparable , entonces la forma de la traza es idéntica a 0. ^[9]

Véase también

• Norma de campo
• Traza reducida

Notas

1. Rotman 2002, pág. 940
2. Rotman 2002, pág. 941
3. Romano 2006, pág. 151
4. Lidl y Niederreiter 1997, p.54
5. Mullen y Panario 2013, pag. 21
6. Lidl y Niederreiter 1997, p.56
7. Hirschfeld 1979, págs. 3-4
8. Lorenz (2008) pág. 38
9. Isaacs 1994, p. 369 como nota al pie en Rotman 2002, p. 943

Referencias

• Hirschfeld, JWP (1979), Geometrías proyectivas sobre campos finitos , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN 0-19-853526-0
• Isaacs, IM (1994), Álgebra, un curso de posgrado , Brooks/Cole Publishing
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997) [1983], Campos finitos , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 20 (segunda edición), Cambridge University Press , ISBN 0-521-39231-4, Zbl  0866.11069
• Lorenz, Falko (2008). Álgebra. Volumen II: Campos con estructura, álgebras y temas avanzados . Springer. ISBN 978-0-387-72487-4.Zbl 1130.12001  .
• Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013), Manual de campos finitos , CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6
• Roman, Steven (2006), Teoría de campos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 158 (segunda edición), Springer, Capítulo 8, ISBN 978-0-387-27677-9, Zbl1172.12001 ​
• Rotman, Joseph J. (2002), Álgebra moderna avanzada , Prentice Hall, ISBN 978-0-13-087868-7

Lectura adicional

• Conner, PE; Perlis, R. (1984). Un estudio de las formas traza de los campos numéricos algebraicos . Series in Pure Mathematics. Vol. 2. World Scientific. ISBN 9971-966-05-0.Zbl 0551.10017  .
• Sección VI.5 de Lang, Serge (2002), Álgebra , Graduate Texts in Mathematics , vol. 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001