Campo ordenado

Objeto algebraico con estructura ordenada

En matemáticas , un cuerpo ordenado es un cuerpo con un ordenamiento total de sus elementos que es compatible con las operaciones del cuerpo. Ejemplos básicos de cuerpos ordenados son los números racionales y los números reales , ambos con sus ordenamientos estándar.

Cada subcampo de un cuerpo ordenado es también un cuerpo ordenado en el orden heredado. Cada cuerpo ordenado contiene un subcampo ordenado que es isomorfo a los números racionales . Cada cuerpo ordenado Dedekind-completo es isomorfo a los reales. Los cuadrados son necesariamente no negativos en un cuerpo ordenado. Esto implica que los números complejos no pueden ordenarse ya que el cuadrado de la unidad imaginaria i es −1 (que es negativo en cualquier cuerpo ordenado). Los cuerpos finitos no pueden ordenarse.

Históricamente, la axiomatización de un campo ordenado se fue abstrayendo gradualmente de los números reales, por matemáticos como David Hilbert , Otto Hölder y Hans Hahn . Esto eventualmente se convirtió en la teoría Artin-Schreier de campos ordenados y campos formalmente reales .

Definiciones

Existen dos definiciones comunes equivalentes de un cuerpo ordenado. La definición de orden total apareció por primera vez históricamente y es una axiomatización de primer orden del ordenamiento como predicado binario . Artin y Schreier dieron la definición en términos de cono positivo en 1926, que axiomatiza la subcolección de elementos no negativos. Aunque este último es de orden superior, considerar los conos positivos como conos prepositivos máximos proporciona un contexto más amplio en el que los ordenamientos de cuerpo son ordenamientos parciales extremos . ${\displaystyle \leq }$

Pedido total

Un campo junto con un pedido total es un ${\displaystyle (F,+,\cdot \,)}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle F}$campo ordenado si el orden satisface las siguientes propiedades para todos ${\displaystyle a,b,c\in F:}$

• si entonces y ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a+c\leq b+c,}$
• Si y entonces ${\displaystyle 0\leq a}$ ${\displaystyle 0\leq b}$ ${\displaystyle 0\leq a\cdot b.}$

Como es habitual, escribimos para y . Las notaciones y representan y , respectivamente. Los elementos con se denominan positivos. ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a\neq b}$ ${\displaystyle b\geq a}$ ${\displaystyle b>a}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle a\in F}$ ${\displaystyle a>0}$

Cono positivo

AEl cono prepositivo opreordenamientode un cuerpoes unsubconjuntoque tiene las siguientes propiedades:^[1] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P\subseteq F}$

• Porque y en ambos y están en ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle x+y}$ ${\displaystyle x\cdot y}$ ${\displaystyle P.}$
• Si entonces En particular, y ${\displaystyle x\in F,}$ ${\displaystyle x^{2}\in P.}$ ${\displaystyle 0=0^{2}\in P}$ ${\displaystyle 1=1^{2}\in P.}$
• El elemento no está en ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle P.}$

AUn campo preordenado es un campo equipado con un preordenamiento. Sus elementos distintos de ceroforman unsubgrupodel grupo multiplicativo de ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle P^{*}}$ ${\displaystyle F.}$

Si además, el conjunto es la unión de y llamamos cono positivo de Los elementos distintos de cero de se llaman elementos positivos de ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle -P,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F.}$

Un campo ordenado es un campo junto con un cono positivo ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P.}$

Los preordenamientos en son precisamente las intersecciones de familias de conos positivos en Los conos positivos son los preordenamientos máximos. ^[1] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$

Equivalencia de las dos definiciones

Sea un campo. Existe una biyección entre los ordenamientos de campo de y los conos positivos de ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$

Dado un ordenamiento de campo ≤ como en la primera definición, el conjunto de elementos tal que forma un cono positivo de A la inversa, dado un cono positivo de como en la segunda definición, se puede asociar un ordenamiento total en fijando en significa Este ordenamiento total satisface las propiedades de la primera definición. ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \leq _{P}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x\leq _{P}y}$ ${\displaystyle y-x\in P.}$ ${\displaystyle \leq _{P}}$

Ejemplos de campos ordenados

Ejemplos de campos ordenados son:

• el campo de los números racionales con su ordenamiento estándar (que es también su único ordenamiento); ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• el campo de los números reales con su ordenamiento estándar (que es también su único ordenamiento); ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• cualquier subcampo de un campo ordenado, como los números algebraicos reales o los números computables , se convierte en un campo ordenado al restringir el ordenamiento al subcampo;
• el campo de funciones racionales , donde y son polinomios con coeficientes racionales y , se puede convertir en un campo ordenado fijando un número trascendental real y definiendo si y solo si . Esto es equivalente a incorporar en via y restringir el ordenamiento de a un ordenamiento de la imagen de . De esta manera, obtenemos muchos ordenamientos diferentes de . ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle p(x)/q(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle q(x)\neq 0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle p(x)/q(x)>0}$ ${\displaystyle p(\alpha )/q(\alpha )>0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto \alpha }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$
• el campo de funciones racionales , donde y son polinomios con coeficientes reales y , se puede convertir en un campo ordenado definiendo que significa que , donde y son los coeficientes principales de y , respectivamente. Equivalentemente: para funciones racionales tenemos si y solo si para todos los suficientemente grandes . En este campo ordenado el polinomio es mayor que cualquier polinomio constante y el campo ordenado no es arquimediano . ${\displaystyle \mathbb {R} (x)}$ ${\displaystyle p(x)/q(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle q(x)\neq 0}$ ${\displaystyle p(x)/q(x)>0}$ ${\displaystyle p_{n}/q_{m}>0}$ ${\displaystyle p_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle q_{m}\neq 0}$ ${\displaystyle p(x)=p_{n}x^{n}+\dots +p_{0}}$ ${\displaystyle q(x)=q_{m}x^{m}+\dots +q_{0}}$ ${\displaystyle f(x),g(x)\in \mathbb {R} (x)}$ ${\displaystyle f(x)<g(x)}$ ${\displaystyle f(t)<g(t)}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(x)=x}$
• El campo de series formales de Laurent con coeficientes reales, donde x se toma como infinitesimal y positivo. ${\displaystyle \mathbb {R} ((x))}$
• La transserie
• campos realmente cerrados
• Los números superreales
• Los números hiperreales

Los números surrealistas forman una clase propia y no un conjunto , pero por lo demás obedecen a los axiomas de un cuerpo ordenado. Todo cuerpo ordenado puede incluirse en los números surrealistas.

Propiedades de los campos ordenados

La propiedad ${\displaystyle a>0\land x<y\Rightarrow ax<ay}$

La propiedad ${\displaystyle x<y\Rightarrow a+x<a+y}$

Para cada a , b , c , d en F :

• O bien − a ≤ 0 ≤ a o a ≤ 0 ≤ − a .
• Se pueden "agregar desigualdades": si a ≤ b y c ≤ d , entonces a + c ≤ b + d .
• Se pueden "multiplicar desigualdades con elementos positivos": si a ≤ b y 0 ≤ c , entonces ac ≤ bc .
• "Multiplicar por negativos invierte una desigualdad": si a ≤ b y c ≤ 0, entonces ac ≥ bc .
• Si a < b y a , b > 0, entonces 1/ b < 1/ a .
• Los cuadrados no son negativos: 0 ≤ a ² para todo a en F . En particular, dado que 1=1 ² , se deduce que 0 ≤ 1. Como 0 ≠ 1, concluimos que 0 < 1.
• Un campo ordenado tiene característica 0. (Como 1 > 0, entonces 1 + 1 > 0, y 1 + 1 + 1 > 0, etc., y ninguna suma finita de unos puede ser igual a cero). En particular, los campos finitos no pueden ordenarse.
• Toda suma de cuadrados no trivial es distinta de cero. Equivalentemente: ^{[2] [3]} ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}=0\;\Longrightarrow \;\forall k\;\colon a_{k}=0.}$

Cada subcampo de un campo ordenado es también un campo ordenado (que hereda el orden inducido). El subcampo más pequeño es isomorfo a los racionales (como cualquier otro campo de característica 0), y el orden en este subcampo racional es el mismo que el orden de los racionales mismos.

Si cada elemento de un cuerpo ordenado se encuentra entre dos elementos de su subcuerpo racional, entonces se dice que el cuerpo es arquimediano . De lo contrario, dicho cuerpo es un cuerpo ordenado no arquimediano y contiene infinitesimales . Por ejemplo, los números reales forman un cuerpo arquimediano, pero los números hiperreales forman un cuerpo no arquimediano, porque extiende los números reales con elementos mayores que cualquier número natural estándar . ^[4]

Un cuerpo ordenado F es isomorfo al cuerpo de números reales R si y solo si cada subconjunto no vacío de F con un límite superior en F tiene un límite superior mínimo en  F. Esta propiedad implica que el cuerpo es arquimediano.

Espacios vectoriales sobre un cuerpo ordenado

Los espacios vectoriales (en particular, los n -espacios ) sobre un cuerpo ordenado presentan algunas propiedades especiales y tienen algunas estructuras específicas, a saber: orientación , convexidad y producto interno definido positivamente . Véase Espacio de coordenadas reales#Propiedades geométricas y usos para una discusión de aquellas propiedades de R ⁿ , que pueden generalizarse a espacios vectoriales sobre otros cuerpos ordenados.

Ordenabilidad de los campos

Todo campo ordenado es un campo formalmente real , es decir, 0 no puede escribirse como una suma de cuadrados distintos de cero. ^{[2] [3]}

Por el contrario, todo cuerpo formalmente real puede estar dotado de un orden total compatible, que lo convertirá en un cuerpo ordenado (no es necesario que este orden esté determinado de forma única). La prueba utiliza el lema de Zorn . ^[5]

Los campos finitos y, más generalmente, los campos de característica positiva no pueden convertirse en campos ordenados, como se muestra arriba. Los números complejos tampoco pueden convertirse en un campo ordenado, ya que −1 es un cuadrado de la unidad imaginaria i . Además, los números p -ádicos no pueden ordenarse, ya que según el lema de Hensel Q ₂ contiene una raíz cuadrada de −7, por lo tanto 1 ²  + 1 ²  + 1 ²  + 2 ²  +  √ −7 ²  = 0, y Q _p ( p  > 2) contiene una raíz cuadrada de 1 −  p , por lo tanto ( p  − 1)⋅1 ²  +  √ 1 −  p ²  = 0. ^[6]

Topología inducida por el orden

Si F está dotado de la topología de orden que surge del orden total ≤, entonces los axiomas garantizan que las operaciones + y × son continuas , de modo que F es un campo topológico .

Topología de Harrison

La topología de Harrison es una topología sobre el conjunto de ordenamientos X _F de un cuerpo formalmente real F . Cada orden puede considerarse como un homomorfismo de grupo multiplicativo de F ^∗ sobre ±1. Dando ±1 la topología discreta y ±1 ^F la topología del producto se induce la topología del subespacio sobre X _F . Los conjuntos de Harrison forman una subbase para la topología de Harrison. El producto es un espacio booleano ( compacto , de Hausdorff y totalmente desconectado ), y X _F es un subconjunto cerrado, por lo tanto nuevamente booleano. ^{[7] [8]} ${\displaystyle H(a)=\{P\in X_{F}:a\in P\}}$

Aficionados y campos superordenados

Un abanico en F es un preordenamiento T con la propiedad de que si S es un subgrupo de índice 2 en F ^∗ que contiene a T  − {0} y no contiene −1 entonces S es un ordenamiento (es decir, S está cerrado bajo adición). ^[9] Un cuerpo superordenado es un cuerpo totalmente real en el que el conjunto de sumas de cuadrados forma un abanico. ^[10]

Véase también

• Grupo ordenado linealmente  : Grupo con orden total invariante traslacionalmente; es decir, si a ≤ b, entonces ca ≤ cb
• Grupo ordenado  – Grupo con un orden parcial compatiblePages displaying short descriptions of redirect targets
• Anillo pedido  – anillo con un pedido total compatiblePages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Espacio vectorial ordenado  – Espacio vectorial con un orden parcial
• Anillo parcialmente pedido  – Anillo con un pedido parcial compatible
• Espacio parcialmente ordenado  – Espacio topológico parcialmente ordenado
• Campo de preorden  : concepto algebraico en la teoría de la medida, también conocido como álgebra de conjuntosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio de Riesz  : espacio vectorial parcialmente ordenado, ordenado como una red

Notas

1. Lam (2005) pág. 289
2. Lam (2005) pág. 41
3. Lam (2005) pág. 232
4. Bair, Jaques; Henry, Valérie. «Diferenciación implícita con microscopios» (PDF) . Universidad de Lieja . Consultado el 4 de mayo de 2013 .
5. Lam (2005) pág. 236
6. Los cuadrados de las raíces cuadradas √ −7 y √ 1 −  p están en Q , pero son < 0, por lo que estas raíces no pueden estar en Q, lo que significa que sus expansiones p -ádicas no son periódicas.
7. Lam (2005) pág. 271
8. Lam (1983) págs. 1-2
9. Lam (1983) pág. 39
10. Lam (1983) pág. 45

Referencias

• Lam, TY (1983), Ordenamientos, valoraciones y formas cuadráticas , Serie de conferencias regionales de CBMS en matemáticas, vol. 52, American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0702-1, Zbl0516.12001 ​
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 67. American Mathematical Society. ISBN. 0-8218-1095-2.Zbl 1068.11023  .
• Lang, Serge (1993), Álgebra (tercera edición), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001