En matemáticas, un cuerpo ordenado no arquimediano es un cuerpo ordenado que no satisface la propiedad arquimediana . Dichos cuerpos contendrán elementos infinitesimales e infinitamente grandes, adecuadamente definidos.
Supongamos que F es un cuerpo ordenado . Decimos que F satisface la propiedad de Arquímedes si, por cada dos elementos positivos x e y de F , existe un número natural n tal que nx > y . Aquí, n denota el elemento de cuerpo resultante de formar la suma de n copias del elemento de cuerpo 1 , de modo que nx es la suma de n copias de x .
Un campo ordenado que no satisface la propiedad arquimediana es un campo ordenado no arquimediano.
Los campos de números racionales y números reales , con sus ordenamientos habituales, satisfacen la propiedad de Arquímedes.
Ejemplos de campos ordenados no arquimedianos son el campo de Levi-Civita , los números hiperreales , los números surrealistas , el campo de Dehn y el campo de funciones racionales con coeficientes reales (donde definimos f > g para significar que f ( t ) > g ( t ) para un valor t suficientemente grande ).
En un cuerpo ordenado no arquimediano, podemos encontrar dos elementos positivos x e y tales que, para cada número natural n , nx ≤ y . Esto significa que el elemento positivo y / x es mayor que cada número natural n (por lo que es un "elemento infinito"), y el elemento positivo x / y es menor que 1/ n para cada número natural n (por lo que es un "elemento infinitesimal").
Por el contrario, si un campo ordenado contiene un elemento infinito o infinitesimal en este sentido, entonces es un campo ordenado no arquimediano.
Los campos hiperreales , campos ordenados no arquimedianos que contienen los números reales como un subcampo, se utilizan para proporcionar una base matemática para el análisis no estándar .
Max Dehn utilizó el campo de Dehn , un ejemplo de un campo ordenado no arquimediano, para construir geometrías no euclidianas en las que el postulado de las paralelas no es verdadero pero, sin embargo, los triángulos tienen ángulos que suman π . [1]
El cuerpo de funciones racionales sobre puede usarse para construir un cuerpo ordenado que sea completo de Cauchy (en el sentido de convergencia de secuencias de Cauchy) pero que no sea el de los números reales. [2] Esta completitud puede describirse como el cuerpo de series formales de Laurent sobre . Es un cuerpo ordenado no arquimediano. A veces, el término "completo" se usa para significar que se cumple la propiedad de límite superior mínimo , es decir, para la completitud de Dedekind . No hay cuerpos ordenados no arquimedianos que sean completos de Dedekind. La sutil distinción entre estos dos usos de la palabra completo es ocasionalmente una fuente de confusión.
