Teoría estable

Preocupado por la noción de estabilidad en la teoría de modelos.

En el campo matemático de la teoría de modelos , una teoría se denomina estable si satisface ciertas restricciones combinatorias sobre su complejidad. Las teorías estables tienen sus raíces en la prueba del teorema de categoricidad de Morley y fueron ampliamente estudiadas como parte de la teoría de clasificación de Saharon Shelah , que mostró una dicotomía según la cual o los modelos de una teoría admiten una buena clasificación o los modelos son demasiado numerosos para tener alguna esperanza. de una clasificación razonable. Un primer paso de este programa fue demostrar que si una teoría no es estable, sus modelos son demasiado numerosos para clasificarlos.

Las teorías estables fueron el tema predominante de la teoría de modelos pura desde los años 1970 hasta los años 1990, por lo que su estudio dio forma a la teoría de modelos moderna ^[1] y existe un rico marco y un conjunto de herramientas para analizarlas. Una dirección importante en la teoría de modelos es la "teoría de la neoestabilidad", que intenta generalizar los conceptos de la teoría de la estabilidad a contextos más amplios, como las teorías simples y NIP .

Motivación e historia.

Un objetivo común en la teoría de modelos es estudiar una teoría de primer orden analizando la complejidad de las álgebras booleanas de conjuntos (de parámetros) definibles en sus modelos. De manera equivalente, se puede analizar la complejidad de los duales de Stone de estas álgebras booleanas, que son espacios tipo . La estabilidad restringe la complejidad de estos espacios tipo al restringir sus cardinalidades . Dado que los tipos representan los posibles comportamientos de los elementos en los modelos de una teoría, restringir el número de tipos restringe la complejidad de estos modelos. ^[2]

La teoría de la estabilidad tiene sus raíces en la prueba de Michael Morley de 1965 de la conjetura de Łoś sobre teorías categóricas. En esta prueba, la noción clave fue la de una teoría totalmente trascendental, definida por restringir la complejidad topológica de los espacios tipo. Sin embargo, Morley demostró que (para las teorías contables) esta restricción topológica es equivalente a una restricción de cardinalidad, una forma fuerte de estabilidad ahora llamada -estabilidad, e hizo un uso significativo de esta equivalencia. En el curso de la generalización del teorema de categoricidad de Morley a innumerables teorías, Frederick Rowbottom generalizó la estabilidad introduciendo teorías estables para algunos cardinales y, finalmente, Shelah introdujo teorías estables. ^[3] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

La teoría de la estabilidad se desarrolló mucho más en el curso del programa de teoría de clasificación de Shelah. El objetivo principal de este programa era mostrar una dicotomía de que los modelos de una teoría de primer orden pueden clasificarse bien hasta el isomorfismo utilizando un árbol de invariantes cardinales (generalizando, por ejemplo, la clasificación de espacios vectoriales sobre un campo fijo por su dimensión ), o son tan complicados que no es posible una clasificación razonable. ^[4] Entre los resultados concretos de esta teoría de clasificación se encuentran teoremas sobre las posibles funciones espectrales de una teoría , contando el número de modelos de cardinalidad en función de . ^[a] El enfoque de Shelah fue identificar una serie de "líneas divisorias" para las teorías. Una línea divisoria es una propiedad de una teoría tal que tanto ella como su negación tienen fuertes consecuencias estructurales; uno debería implicar que los modelos de la teoría son caóticos, mientras que el otro debería producir una teoría de estructura positiva. La estabilidad fue la primera línea divisoria en el programa de la teoría de la clasificación, y dado que se demostró que su fracaso descartaba cualquier clasificación razonable, todo trabajo posterior podría asumir que la teoría era estable. Por lo tanto, gran parte de la teoría de la clasificación se ocupaba del análisis de teorías estables y varios subconjuntos de teorías estables dados por líneas divisorias adicionales, como las teorías superestables . ^[3] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Una de las características clave de las teorías estables desarrolladas por Shelah es que admiten una noción general de independencia llamada independencia no bifurcada , que generaliza la independencia lineal de los espacios vectoriales y la independencia algebraica de la teoría de campos. Aunque la independencia sin bifurcación tiene sentido en teorías arbitrarias y sigue siendo una herramienta clave más allá de las teorías estables, tiene propiedades geométricas y combinatorias particularmente buenas en teorías estables. Al igual que con la independencia lineal, esto permite la definición de conjuntos independientes y de dimensiones locales como las cardinalidades de instancias máximas de estos conjuntos independientes, que están bien definidas bajo hipótesis adicionales. Estas dimensiones locales dan lugar a los invariantes cardinales que clasifican los modelos hasta el isomorfismo. ^[4]

Definición y caracterizaciones alternativas.

Sea T una teoría completa de primer orden.

Para un cardinal infinito dado , T es estable si para cada conjunto A de cardinalidad en un modelo de T , el conjunto S(A) de tipos completos sobre A también tiene cardinalidad . Esta es la cardinalidad más pequeña que puede ser de S(A) , mientras que puede ser tan grande como . Para el caso , es común decir que T es estable en lugar de estable. ^[5] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 2^{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa =\aleph _{0}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

T es estable si es estable para algún cardinal infinito . ^[6] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Las restricciones sobre los cardinales para los cuales una teoría puede ser simultáneamente estable se describen en el espectro de estabilidad , ^[7] que destaca el subconjunto aún más dócil de teorías superestables. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Una definición alternativa común de teorías estables es que no tienen la propiedad de orden . Una teoría tiene la propiedad de orden si hay una fórmula y dos secuencias infinitas de tuplas , en algún modelo M tal que defina un semigrafo infinito , es decir, es cierto en M. ^[8] Esto equivale a que exista una fórmula y una secuencia infinita de tuplas en algún modelo M tal que defina un orden lineal infinito en A , es decir, es cierto en M. ^{[9] [b] [c]} ${\displaystyle \phi ({\bar {x}},{\bar {y}})}$ ${\displaystyle A=({\bar {a}}_{i}:i\in \mathbb {N} )}$ ${\displaystyle B=({\bar {b}}_{j}:j\in \mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle \phi ({\bar {a}}_{i},{\bar {b}}_{j})}$ ${\displaystyle \iff i\leq j}$ ${\displaystyle \psi ({\bar {x}},{\bar {y}})}$ ${\displaystyle A=({\bar {a}}_{i}:i\in \mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ({\bar {a}}_{i},{\bar {a}}_{j})}$ ${\displaystyle \iff i\leq j}$

Existen numerosas caracterizaciones adicionales de la estabilidad. Al igual que con las teorías totalmente trascendentales de Morley, las restricciones de cardinalidad de la estabilidad equivalen a limitar la complejidad topológica de los espacios tipo en términos del rango de Cantor-Bendixson . ^[12] Otra caracterización es a través de las propiedades que tiene la independencia sin bifurcación en las teorías estables, como ser simétrica. Esto caracteriza la estabilidad en el sentido de que cualquier teoría con una relación de independencia abstracta que satisfaga algunas de estas propiedades debe ser estable y la relación de independencia debe ser una independencia no bifurcada. ^[13]

Cualquiera de estas definiciones, excepto a través de una relación de independencia abstracta, puede usarse para definir lo que significa que una fórmula única sea estable en una teoría dada T. Entonces se puede definir que T es estable si cada fórmula es estable en T . ^[14] La localización de resultados en fórmulas estables permite que estos resultados se apliquen a fórmulas estables en teorías inestables, y esta localización en fórmulas únicas suele ser útil incluso en el caso de teorías estables. ^[15]

Ejemplos y no ejemplos

Para una teoría inestable, considere la teoría DLO de órdenes lineales densos sin puntos finales. Entonces la relación de orden atómico tiene la propiedad de orden. Alternativamente, los tipos 1 no realizados sobre un conjunto A corresponden a cortes ( cortes generalizados de Dedekind , sin los requisitos de que los dos conjuntos no estén vacíos y que el conjunto inferior no tenga mayor elemento) en el ordenamiento de A , ^[16] y allí Existen órdenes densos de cualquier cardinalidad con -muchos cortes. ^[17] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 2^{\kappa }}$

Otra teoría inestable es la teoría del gráfico de Rado , donde la relación de borde atómico tiene la propiedad de orden. ^[18]

Para una teoría estable, considere la teoría de campos algebraicamente cerrados de característica p , permitiendo . Entonces, si K es un modelo de , contar tipos en un conjunto es equivalente a contar tipos en el campo k generado por A en K . Hay una biyección (continua) desde el espacio de n tipos sobre k al espacio de ideales primos en el anillo polinómico . Dado que tales ideales se generan de forma finita, solo hay muchos, por lo que es estable para todos los infinitos . ^[19] ${\displaystyle ACF_{p}}$ ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle ACF_{p}}$ ${\displaystyle A\subset K}$ ${\displaystyle k[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle |k|+\aleph _{0}}$ ${\displaystyle ACF_{p}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

A continuación se enumeran algunos ejemplos adicionales de teorías estables.

• La teoría de cualquier módulo sobre un anillo (en particular, cualquier teoría de espacios vectoriales o grupos abelianos ). ^[20]

• La teoría de los grupos libres no abelianos . ^[21]

• La teoría de campos diferencialmente cerrados de característica p . Cuando , la teoría es -estable. ^[22] ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle \omega }$

• La teoría de cualquier clase de grafo denso en ninguna parte. ^[23] Estos incluyen clases de gráficos con expansión acotada , que a su vez incluyen gráficos planos y cualquier clase de gráfico de grado acotado.

Teoría de la estabilidad geométrica

La teoría de la estabilidad geométrica se ocupa del análisis detallado de las geometrías locales en modelos y de cómo sus propiedades influyen en la estructura global. Esta línea de resultados fue posteriormente clave en diversas aplicaciones de la teoría de la estabilidad, por ejemplo a la geometría diofántica . Generalmente se considera que comenzó a finales de la década de 1970 con el análisis de Boris Zilber de teorías totalmente categóricas, demostrando finalmente que no son finitamente axiomatizables . Todo modelo de una teoría totalmente categórica está controlado por (es decir, es primo y mínimo sobre) un conjunto fuertemente mínimo, que lleva una estructura matroide ^[d] determinada por un cierre algebraico (teórico de modelos) que proporciona nociones de independencia y dimensión. En este contexto, la teoría de la estabilidad geométrica plantea entonces la cuestión local de cuáles son las posibilidades para la estructura del conjunto fuertemente mínimo, y la cuestión local a global de cómo el conjunto fuertemente mínimo controla todo el modelo. ^[24]

La segunda pregunta es respondida por el teorema de la escalera de Zilber, que muestra que cada modelo de una teoría totalmente categórica se construye mediante una secuencia finita de algo así como " haces de fibras definibles " sobre el conjunto fuertemente mínimo. ^[25] Para la primera pregunta, la conjetura de tricotomía de Zilber era que la geometría de un conjunto fuertemente mínimo debe ser como la de un conjunto sin estructura, o el conjunto debe llevar esencialmente la estructura de un espacio vectorial, o la estructura de un campo algebraicamente cerrado, con los dos primeros casos llamados localmente modulares. ^[26] Esta conjetura ilustra dos temas centrales. Primero, esa modularidad (local) sirve para dividir el comportamiento combinatorio o lineal de la complejidad geométrica no lineal como en la geometría algebraica . ^[27] En segundo lugar, esa complicada geometría combinatoria proviene necesariamente de objetos algebraicos; ^[28] esto es similar al problema clásico de encontrar un anillo de coordenadas para un plano proyectivo abstracto definido por incidencias, y otros ejemplos son los teoremas de configuración de grupos que muestran que ciertas dependencias combinatorias entre elementos deben surgir de la multiplicación en un grupo definible. ^[29] Al desarrollar análogos de partes de la geometría algebraica en conjuntos fuertemente mínimos, como la teoría de la intersección , Zilber demostró una forma débil de la conjetura de la tricotomía para teorías categóricas incontables. ^[30] Aunque Ehud Hrushovski desarrolló la construcción de Hrushovski para refutar la conjetura completa, más tarde fue probada con hipótesis adicionales en el contexto de las "geometrías de Zariski". ^[31]

Las nociones del programa de clasificación de Shelah, como tipos regulares, bifurcación y ortogonalidad, permitieron que estas ideas se llevaran a una mayor generalidad, especialmente en teorías superestables. Aquí, los conjuntos definidos por tipos regulares desempeñan el papel de conjuntos fuertemente mínimos, con su geometría local determinada por una dependencia bifurcada en lugar de una dependencia algebraica. En lugar de los modelos de control de conjuntos únicos y fuertemente mínimos de una teoría totalmente categórica, puede haber muchas geometrías locales definidas por tipos regulares, y la ortogonalidad describe cuándo estos tipos no tienen interacción. ^[32]

Aplicaciones

Si bien las teorías estables son fundamentales en la teoría de modelos, esta sección enumera las aplicaciones de las teorías estables a otras áreas de las matemáticas. Esta lista no pretende ser completa, sino más bien una sensación de amplitud.

• Dado que la teoría de campos diferencialmente cerrados de característica 0 es estable, existen muchas aplicaciones de la teoría de la estabilidad en álgebra diferencial . Por ejemplo, Lenore Blum y Shelah demostraron respectivamente la existencia y unicidad del cierre diferencial de dicho campo (un análogo del cierre algebraico), utilizando resultados generales sobre modelos primos en teorías estables. ^[33] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

• En Geometría diofántica , Ehud Hrushovski utilizó la teoría de la estabilidad geométrica para demostrar la conjetura de Mordell-Lang para campos funcionales en todas las características, que generaliza el teorema de Faltings sobre contar puntos racionales en curvas y la conjetura de Manin-Mumford sobre contar puntos de torsión en curvas. ^[34] El punto clave en la prueba fue utilizar la Tricotomía de Zilber en campos diferenciales para mostrar que ciertos grupos definidos aritméticamente son localmente modulares. ^[35]

• En el aprendizaje automático en línea , la dimensión Littlestone de una clase conceptual es una medida de complejidad que caracteriza la capacidad de aprendizaje, análoga a la dimensión VC en el aprendizaje PAC . Delimitar la dimensión de Littlestone de una clase de concepto es equivalente a una caracterización combinatoria de la estabilidad que involucra árboles binarios. ^[36] Esta equivalencia se ha utilizado, por ejemplo, para demostrar que la capacidad de aprendizaje en línea de una clase conceptual es equivalente a la capacidad de aprendizaje de PAC diferencialmente privada . ^[37]

• En análisis funcional , Jean-Louis Krivine y Bernard Maurey definieron una noción de estabilidad para los espacios de Banach , equivalente a afirmar que ninguna fórmula libre de cuantificadores tiene la propiedad de orden (en lógica continua, en lugar de lógica de primer orden). Luego demostraron que todo espacio estable de Banach admite una incrustación casi isométrica de ℓ p para algunos . ^[38] Esto es parte de una interacción más amplia entre el análisis funcional y la estabilidad en la lógica continua; por ejemplo, los primeros resultados de Alexander Grothendieck en análisis funcional pueden interpretarse como equivalentes a los resultados fundamentales de la teoría de la estabilidad. ^[39] ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$

• Una estructura contable (posiblemente finita) es ultrahomogénea si cada automorfismo parcial finito se extiende a un automorfismo de la estructura completa. Gregory Cherlin y Alistair Lachlan proporcionaron una teoría de clasificación general para estructuras estables ultrahomogéneas, incluidas todas las finitas. En particular, sus resultados muestran que para cualquier lenguaje relacional finito fijo, las estructuras finitas homogéneas caen en un número finito de familias infinitas con miembros parametrizados por invariantes numéricos y un número finito de ejemplos esporádicos. Además, cada ejemplo esporádico pasa a formar parte de una familia infinita en algún lenguaje más rico, y siempre aparecen nuevos ejemplos esporádicos en lenguajes adecuadamente más ricos. ^[40]

• En combinatoria aritmética , Hrushovski demostró resultados sobre la estructura de subgrupos aproximados , implicando por ejemplo una versión reforzada del teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinómico . Aunque esto no utilizó directamente teorías estables, la idea clave fue que los resultados fundamentales de la teoría de grupos estables podrían generalizarse y aplicarse en este entorno. ^[41] Esto llevó directamente al teorema de Breuillard-Green-Tao que clasifica subgrupos aproximados. ^[42]

Generalizaciones

Durante unos veinte años después de su introducción, la estabilidad fue el tema principal de la teoría de modelos pura. ^[43] Una dirección central de la teoría moderna de modelos puros, a veces llamada "neoestabilidad" o "teoría de clasificación", ^[e] consiste en generalizar los conceptos y técnicas desarrollados para las teorías estables a clases más amplias de teorías, y esto ha alimentado muchas de las teorías. las aplicaciones más recientes de la teoría de modelos. ^[44]

Dos ejemplos notables de clases tan amplias son las teorías simples y NIP. Éstas son generalizaciones ortogonales de teorías estables, ya que una teoría es a la vez simple y NIP si y sólo si es estable. ^[43] En términos generales, las teorías NIP mantienen el buen comportamiento combinatorio de las teorías estables, mientras que las teorías simples mantienen el buen comportamiento geométrico de la independencia sin bifurcación. ^[45] En particular, las teorías simples pueden caracterizarse porque la independencia sin bifurcación es simétrica, ^[46] mientras que NIP puede caracterizarse por limitar el número de tipos realizados en conjuntos finitos ^[47] o infinitos ^[48] .

Otra dirección de generalización es recapitular la teoría de la clasificación más allá del marco de teorías completas de primer orden, como en las clases elementales abstractas . ^[49]

Ver también

• Espectro de estabilidad
• Espectro de una teoría
• Teorema de categoricidad de Morley
• Teorías del PNI

Notas

1. Uno de esos resultados es la prueba de Shelah de la conjetura de Morley para teorías contables, afirmando que el número de modelos de cardinalidad no decrece para incontables . ^[4] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$
2. En el trabajo sobre la conjetura de Łoś que precedió a la prueba de Morley, Andrzej Ehrenfeucht introdujo una propiedad ligeramente más fuerte que la propiedad de orden, que Shelah más tarde llamó propiedad (E). Este fue otro precursor de las teorías (ines)estables. ^[10]
3. Un beneficio de la definición de estabilidad a través de la propiedad del orden es que es más claramente absoluta en teoría de conjuntos . ^[11]
4. El término " pregeometría " se utiliza a menudo en lugar de "matroide" en este contexto.
5. El término "teoría de la clasificación" tiene dos usos. El uso restringido descrito anteriormente se refiere al programa de Shelah de identificar teorías clasificables y tiene lugar casi en su totalidad dentro de teorías estables. El uso más amplio descrito aquí se refiere al programa más amplio de clasificar teorías mediante líneas divisorias posiblemente más generales que la estabilidad. ^[11]

Referencias

1. Baldwin, John (2021). "La metodología de la línea divisoria: teoría de modelos que motiva la teoría de conjuntos" (PDF) . Teoría . 87 (2): 1. doi :10.1111/theo.12297. S2CID  211239082.
2. van den Dries, Lou (2005). "Introducción a la estabilidad de la teoría de modelos" (PDF) . Introducción . Consultado el 9 de enero de 2023 .
3. Pillay, Anand (1983). "Prefacio". Una introducción a la teoría de la estabilidad .
4. Baldwin, John (2021). "La metodología de la línea divisoria: teoría de modelos que motiva la teoría de conjuntos" (PDF) . Teoría . 87 (2). Sección 1.1. doi : 10.1111/theo.12297. S2CID  211239082.
5. Marcador, David (2006). Teoría de modelos: una introducción . Definición 4.2.17.
6. Marcador, David (2006). Teoría de modelos: una introducción . Definición 5.3.1.
7. Tienda de campaña, Katrin; Ziegler, Martín (2012). Un curso de teoría de modelos . Teorema 8.6.5.
8. Tienda de campaña, Katrin; Ziegler, Martín (2012). Un curso de teoría de modelos . Definición 8.2.1.
9. Tienda de campaña, Katrin; Ziegler, Martín (2012). Un curso de teoría de modelos . Ejercicio 8.2.1.
10. Sela, Saharon (1974). "Categoricidad de innumerables teorías" (PDF) . Actas del simposio de Tarski .
11. Hodges, Wilfrid. "Teoría de modelos de primer orden". Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Sección 5.1 . Consultado el 9 de enero de 2023 .
12. Casanovas, Enrique. "Teorías estables y simples (Apuntes de la conferencia)" (PDF) . Proposición 6.6 . Consultado el 11 de enero de 2023 .
13. Tienda de campaña, Katrin; Ziegler, Martín (2012). Un curso de teoría de modelos . Teorema 8.5.10.
14. Tienda de campaña, Katrin; Ziegler, Martín (2012). Un curso de teoría de modelos . Capítulo 8.2.
15. Baldwin, John (2017). Fundamentos de la teoría de la estabilidad. Capítulo 3.1.
16. Marcador, David (2006). Teoría de modelos: una introducción . Ejemplo 4.1.12.
17. Marcador, David (2006). Teoría de modelos: una introducción . Lema 5.2.12.
18. Tienda de campaña, Katrin; Ziegler, Martín (2012). Un curso de teoría de modelos . Ejercicio 8.2.3.
19. Marcador, David (2006). Teoría de modelos: una introducción . Ejemplo 4.1.14.
20. Tienda de campaña, Katrin; Ziegler, Martín (2012). Un curso de teoría de modelos . Ejemplo 8.6.6.
21. Sela, Zlil (2013). «Geometría diofántica sobre los grupos VIII: Estabilidad» (PDF) . Anales de Matemáticas . 177 (3): 787–868. doi : 10.4007/annals.2013.177.3.1. S2CID  119143329.
22. Sela, Saharon (1973). «Campos cerrados diferencialmente» (PDF) . Revista Israelí de Matemáticas . 16 (3): 314–328. doi : 10.1007/BF02756711 . S2CID  119906669.
23. Adler, Hans; Adler, Isolda (2014). "Interpretar clases de gráficos densos en ninguna parte como una noción clásica de teoría de modelos". Revista europea de combinatoria . 36 : 322–330. doi : 10.1016/j.ejc.2013.06.048 .
24. Pillay, Anand (2001). "Aspectos de la teoría de modelos geométricos". Coloquio de Lógica '99 .
25. Pillay, Anand (1996). Teoría de la estabilidad geométrica . pag. 343.
26. Scanlon, Thomas. "Conjetura de la tricotomía de Zilber" . Consultado el 27 de enero de 2023 .
27. Hrushovski, Ehud (1998). "Teoría de modelos geométricos". Actas del Congreso Internacional de Matemáticos. vol. 1 .
28. Scanlon, Thomas. «Estabilidad geométrica combinatoria» . Consultado el 27 de enero de 2023 .
29. Ben-Yaacov, Itaï; Tomašić, Ivan; Wagner, Frank (2002). «La Configuración de Grupos en Teorías Simples y sus Aplicaciones» (PDF) . 8 . 2 .
30. Scanlon, Thomas. "Teorema de la tricotomía de Zilber" . Consultado el 27 de enero de 2023 .
31. Scanlon, Thomas. «Estabilidad geométrica combinatoria» . Consultado el 27 de enero de 2023 .
32. Pillay, Anand (2001). "Aspectos de la teoría de modelos geométricos". Coloquio de Lógica '99 .
33. Sacos, Gerald (1972). «El cierre diferencial de un campo diferencial» (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 78 (5): 629–634. doi :10.1090/S0002-9904-1972-12969-0. S2CID  17860378.
34. Hrushovski, Ehud (1996). "La conjetura de Mordell-Lang para campos funcionales" (PDF) . Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 9 (3): 667–690. doi :10.1090/S0894-0347-96-00202-0.
35. Scanlon, Thomas. «Mordell-Lang y variantes» . Consultado el 27 de enero de 2023 .
36. Persecución, cazador; Freitag, James (2019). "Teoría de modelos y aprendizaje automático". Boletín de Lógica Simbólica . 25 (3): 319–332. arXiv : 1801.06566 . doi :10.1017/bsl.2018.71. S2CID  119689419.
37. Alon, Noga; Bollo, Mark; Livni, Rey; Malliaris, Maryanthe; Moran, Shay (2022). "La capacidad de aprendizaje privada y en línea son equivalentes" (PDF) . Revista de la ACM . 69 (4): 1–34. doi :10.1145/3526074. S2CID  247186721.
38. Iovino, José (2014). Aplicaciones de la teoría de modelos al análisis funcional (PDF) . Capítulos 13,15.
39. Ben Yaacov, Itaï (2014). "Modelo de estabilidad teórica y definibilidad de tipos, según A. Grothendieck". Boletín de Lógica Simbólica . 20 (4). arXiv : 1306.5852 .
40. Cherlin, Gregory (2000). «Estructuras homogéneas esporádicas» (PDF) . Los seminarios matemáticos de Gelfand, 1996-1999 .
41. Hrushovski, Ehud (2012). «Teoría de grupos estables y subgrupos aproximados» (PDF) . Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 25 (1).
42. Breuillard, Emmanuel; Verde, Ben; Tao, Terence (2012). «La estructura de grupos aproximados» (PDF) . Publicaciones matemáticas del IHÉS . 116 . Expresiones de gratitud. arXiv : 1110.5008 . doi :10.1007/s10240-012-0043-9. S2CID  254166823.
43. Simon, Pierre (2015). "Introducción". Una guía de teorías NIP (PDF) .
44. Ciervo, Bradd; Hrushovski, Aod; Onshuus, Alf; Pillay, Anand; Scanlon, Thomas; Wagner, Frank. "Teoría de la neoestabilidad" (PDF) .
45. Adler, Hans (2008). "Una introducción a las teorías sin la propiedad de la independencia" (PDF) . Archivo de Lógica Matemática . 5 : 21.
46. Kim, Byunghan (2001). "Simplicidad y estabilidad ahí dentro". La revista de lógica simbólica . 66 (2): 822–836. doi :10.2307/2695047. JSTOR  2695047. S2CID  7033889.
47. Chérnikov, Artem; Simón, Pierre (2015). "Conjuntos definibles externamente y pares dependientes II" (PDF) . Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 367 (7). Hecho 3. doi :10.1090/S0002-9947-2015-06210-2. S2CID  53968137.
48. Simón, Pierre (2015). Una guía de teorías NIP (PDF) . Proposición 2.69.
49. Sela, Saharon (2009). Teoría de clasificación para clases elementales abstractas Volumen 1 (PDF) .

enlaces externos

• Un mapa de la clasificación de teorías basadas en modelos, destacando la estabilidad.
• Dos reseñas de libros que analizan la teoría de la estabilidad y la clasificación para teóricos que no utilizan modelos: Fundamentos de la teoría de la estabilidad y la teoría de la clasificación
• Una visión general de la teoría de la estabilidad (geométrica) para teóricos que no utilizan modelos