Grupo aproximado

En matemáticas , un grupo aproximado es un subconjunto de un grupo que se comporta como un subgrupo "hasta un error constante", en un sentido cuantitativo preciso (por lo que el término subgrupo aproximado puede ser más correcto). Por ejemplo, se requiere que el conjunto de productos de elementos del subconjunto no sea mucho mayor que el propio subconjunto (mientras que para un subgrupo se requiere que sean iguales). La noción se introdujo en la década de 2010, pero se remonta a fuentes más antiguas en combinatoria aditiva .

Definicion formal

Sea un grupo y ; para dos subconjuntos lo denotamos por el conjunto de todos los productos . Un subconjunto no vacío es un subgrupo aproximado de si: ^[1] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle X,Y\subset G}$ ${\displaystyle X\cdot Y}$ ${\displaystyle xy,x\in X,y\in Y}$ ${\displaystyle A\subset G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$

1. Es simétrico, es decir si entonces ; ${\displaystyle g\in A}$ ${\displaystyle g^{-1}\in A}$
2. Existe un subconjunto de cardinalidad tal que . ${\displaystyle X\subset G}$ ${\displaystyle |X|\leq K}$ ${\displaystyle A\cdot A\subset X\cdot A}$

Inmediatamente se comprueba que un subgrupo aproximado de 1 es lo mismo que un subgrupo genuino. Por supuesto, esta definición sólo es interesante cuando es pequeña en comparación con (en particular, cualquier subconjunto es un subgrupo aproximado). En aplicaciones se suele utilizar con ser fijo y llegar al infinito. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle B\subset G}$ ${\displaystyle |B|}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |A|}$

Ejemplos de subgrupos aproximados que no son grupos vienen dados por intervalos simétricos y, más generalmente, progresiones aritméticas en números enteros. De hecho, para todos, el subconjunto es un subgrupo aproximado de 2: el conjunto está contenido en la unión de las dos traslaciones y de . Una progresión aritmética generalizada es un subconjunto de la forma y es un subgrupo aproximado. ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle X=[-N,N]\subset \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle X+X=[-2N,2N]}$ ${\displaystyle X+N}$ ${\displaystyle X-N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{n_{1}x_{1}+\cdots +n_{d}x_{d}:|n_{i}|\leq N_{i}\}}$ ${\displaystyle 2^{d}}$

Un ejemplo más general lo dan las bolas de la palabra métrica en grupos nilpotentes generados finitamente .

Clasificación de subgrupos aproximados.

Imre Z. Ruzsa y Freiman clasificaron completamente los subgrupos aproximados del grupo entero . ^[2] El resultado se expresa de la siguiente manera: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Para cualquiera existen tales que para cualquier subgrupo aproximado existe una progresión aritmética generalizada generada por como máximo números enteros y que contiene al menos elementos, tales que . ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle C_{K},c_{K}>0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A\subset \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C_{K}}$ ${\displaystyle c_{K}|A|}$ ${\displaystyle A+A+A+A\supset P}$

Las constantes se pueden estimar claramente. ^[3] En particular, está contenido en la mayoría de las traducciones de : esto significa que los subgrupos aproximados de son progresiones aritméticas "casi" generalizadas. ${\displaystyle C_{K},C_{K}',c_{K}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{K}'}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

El trabajo de Breuillard-Green-Tao (la culminación de un esfuerzo iniciado unos años antes por otras personas) es una amplia generalización de este resultado. De forma muy general su enunciado es el siguiente: ^[4]

Dejar ; existe tal que se cumple lo siguiente. Sea un grupo y un subgrupo aproximado en . Existen subgrupos con finitos y nilpotentes tales que , el subgrupo generado por contiene y con . ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle C_{K}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\triangleleft G_{0}\leq G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G_{0}/H}$ ${\displaystyle A^{4}\supset H}$ ${\displaystyle A^{4}}$ ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle A\subset X\cdot G_{0}}$ ${\displaystyle |X|\leq C_{K}}$

La declaración también brinda cierta información sobre las características (rango y escalón) del grupo nilpotente . ${\displaystyle G_{0}/H}$

En el caso de que sea un grupo de matrices finito, los resultados se pueden hacer más precisos, por ejemplo: ^[5] ${\displaystyle G}$

Dejar . Para any existe una constante tal que para cualquier campo finito , cualquier subgrupo simple y cualquier subgrupo aproximado entonces cualquiera está contenido en un subgrupo propio de , o , o . ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle C_{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {F} _{q})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A\subset G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle |A|\leq K^{C_{d}}}$ ${\displaystyle |A|\geq |G|/K^{C_{d}}}$

El teorema se aplica, por ejemplo, a ; La cuestión es que la constante no depende de la cardinalidad del campo. En cierto sentido, esto dice que no hay subgrupos aproximados interesantes (además de subgrupos genuinos) en grupos lineales simples finitos (son "triviales", es decir, muy pequeños, o "no apropiados", es decir, casi iguales a todo el grupo). . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {F} _{q})}$ ${\displaystyle q}$

Aplicaciones

El teorema de Breuillard-Green-Tao sobre clasificación de grupos aproximados se puede utilizar para dar una nueva prueba del teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinómico . El resultado obtenido es en realidad un poco más contundente ya que establece que existe una " brecha de crecimiento " entre grupos prácticamente nilpotentes (de crecimiento polinómico) y otros grupos; es decir, existe una función (superpolinómica) tal que cualquier grupo con función de crecimiento acotada por un múltiplo de es prácticamente nilpotente. ^[6] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Otras aplicaciones son la construcción de gráficos de expansión a partir de los gráficos de Cayley de grupos finitos simples y el tema relacionado de la aproximación superfuerte . ^{[7] [8]}

Notas

1. Verde 2012.
2. Ruzsa, IZ (1994). "Progresiones y sumas aritméticas generalizadas". Acta Mathematica Hungarica . 65 (4): 379–388. doi :10.1007/bf01876039. S2CID  121469006.
3. Breuillard, Tao y Green 2012, Teorema 2.1.
4. Breuillard, Tao y Green 2012, Teorema 1.6.
5. Breuillard 2012, Teorema 4.8.
6. Breuillard, Tao y Green 2012, Teorema 1.11.
7. Breuillard 2012.
8. Helfgott, Harald; Seress, Ákos; Zuk, Andrzej (2015). "Expansión en los grupos simétricos". Revista de Álgebra . 421 : 349–368. arXiv : 1311.6742 . doi : 10.1016/j.jalgebra.2014.08.033 . S2CID  119315830.

Referencias

• Breuillard, Emmanuel (2012). "Gráficos de expansión, propiedad (τ) y grupos aproximados". En Bestvina, Mladen; Sageev, Micha; Vogtmann, Karen (eds.). Teoría de grupos geométricos (PDF) . Serie de matemáticas IAS/Park City. vol. 21. Matemáticas americanas. Soc. págs. 325–378.
• Breuillard, Emmanuel; Tao, Terencia; Verde, Ben (2012). "La estructura de grupos aproximados". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 116 : 115–221. arXiv : 1110.5008 . doi : 10.1007/s10240-012-0043-9 . S2CID  119603959.
• Verde, Ben (mayo de 2012). "¿Qué es... un grupo aproximado?" (PDF) . Avisos de la AMS . 59 (5).