La aproximación superfuerte es una generalización de la aproximación fuerte en grupos algebraicos G , para proporcionar resultados de brecha espectral . El espectro en cuestión es el de la matriz laplaciana asociada a una familia de cocientes de un grupo discreto Γ; y la brecha es la que existe entre el primer y el segundo valor propio (normalización para que el primer valor propio corresponda a funciones constantes como vectores propios). Aquí Γ es un subgrupo de los puntos racionales de G , pero no tiene por qué ser una red : puede ser el llamado grupo delgado . La "brecha" en cuestión es un límite inferior (constante absoluta) para la diferencia de esos valores propios.
Una consecuencia y equivalente de esta propiedad, que potencialmente se cumple para los subgrupos densos de Zariski Γ del grupo lineal especial sobre los números enteros, y en clases más generales de grupos algebraicos G , es que la secuencia de gráficas de Cayley para reducciones Γ p módulo de números primos p , con respecto a cualquier conjunto fijo S en Γ que sea un conjunto simétrico y un conjunto generador , es una familia expansora . [1]
En este contexto, una "aproximación fuerte" es la afirmación de que S , cuando se reduce, genera el grupo completo de puntos de G sobre los campos primos con p elementos, cuando p es lo suficientemente grande. Es equivalente a que los gráficos de Cayley estén conectados (cuando p es lo suficientemente grande), o que las funciones localmente constantes en estos gráficos sean constantes, de modo que el espacio propio para el primer valor propio sea unidimensional. Por lo tanto, la aproximación superfuerte supone una mejora cuantitativa concreta de estas afirmaciones.
La propiedad es un análogo en la teoría de grupos discretos de la propiedad de Kazhdan (T) , y fue introducida por Alexander Lubotzky . [2] Para una familia dada de subgrupos normales N de índice finito en Γ, una formulación equivalente es que las gráficas de Cayley de los grupos Γ/ N , todas con respecto a un conjunto simétrico fijo de generadores S , forman una familia de expansores. [3] Por lo tanto, la aproximación superfuerte es una formulación de la propiedad , donde los subgrupos N son los núcleos del módulo de reducción de primos p suficientemente grandes .
La conjetura de Lubotzky-Weiss establece (para grupos lineales especiales y primos de módulo de reducción) que un resultado de expansión de este tipo se cumple independientemente de la elección de S. Para aplicaciones, también es relevante tener resultados en los que el módulo no se limite a ser primo. [4]
Se han encontrado resultados de aproximación superfuerte utilizando técnicas sobre subgrupos aproximados y tasa de crecimiento en grupos simples finitos. [5]
