En la materia matemática de teoría geométrica de grupos , la tasa de crecimiento de un grupo con respecto a un conjunto generador simétrico describe qué tan rápido crece un grupo. Cada elemento del grupo se puede escribir como un producto de generadores, y la tasa de crecimiento cuenta la cantidad de elementos que se pueden escribir como un producto de longitud n .
Definición
Supongamos que G es un grupo finitamente generado; y T es un conjunto finito simétrico de generadores
(simétrico significa que si entonces ). Cualquier elemento se puede expresar como una palabra en el alfabeto T.![{\displaystyle x\en T}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x^{-1}\en T}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\en G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x=a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{k}{\text{ donde }}a_{i}\in T.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Considere el subconjunto de todos los elementos de G que pueden expresarse mediante una palabra de longitud ≤ n
![{\displaystyle B_{n}(G,T)=\{x\in G\mid x=a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{k}{\text{ donde }}a_{i} \en T{\text{ y }}k\leq n\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Este conjunto es simplemente la bola cerrada de radio n en la palabra métrica d en G con respecto al conjunto generador T :
![{\displaystyle B_{n}(G,T)=\{x\in G\mid d(x,e)\leq n\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Más geométricamente, es el conjunto de vértices del gráfico de Cayley con respecto a T que están a una distancia n de la identidad.![{\displaystyle B_{n}(G,T)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Dadas dos funciones positivas no decrecientes a y b se puede decir que son equivalentes ( ) si existe una constante C tal que para todos los números enteros positivos n ,![{\displaystyle a\sim b}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a(n/C)\leq b(n)\leq a(Cn),\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
por ejemplo si .![{\displaystyle p^{n}\sim q^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p,q>1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces la tasa de crecimiento del grupo G se puede definir como la clase de equivalencia correspondiente de la función
![{\displaystyle \#(n)=|B_{n}(G,T)|,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde denota el número de elementos del conjunto . Aunque la función depende del conjunto de generadores T, su tasa de crecimiento no lo hace (ver más abajo) y por lo tanto la tasa de crecimiento da una invariante de un grupo.![{\displaystyle |B_{n}(G,T)|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B_{n}(G,T)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \#(n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La palabra métrica d y por tanto los conjuntos dependen del conjunto generador T. Sin embargo, dos de estas métricas cualesquiera son equivalentes de bilipschitz en el siguiente sentido: para conjuntos generadores simétricos finitos E , F , existe una constante positiva C tal que
![{\displaystyle {1 \over C}\ d_{F}(x,y)\leq d_{E}(x,y)\leq C\ d_{F}(x,y).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Como corolario inmediato de esta desigualdad tenemos que la tasa de crecimiento no depende de la elección del grupo electrógeno.
Crecimiento polinómico y exponencial.
Si
![{\displaystyle \#(n)\leq C(n^{k}+1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para algunos decimos que G tiene una tasa de crecimiento polinómica . El mínimo de tales k se llama orden de crecimiento polinomial . Según el teorema de Gromov , un grupo de crecimiento polinómico es un grupo prácticamente nilpotente , es decir, tiene un subgrupo nilpotente de índice finito . En particular, el orden de crecimiento del polinomio tiene que ser un número natural y de hecho .![{\displaystyle C,k<\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle k_ {0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \#(n)\sim n^{k_{0}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si para algunos decimos que G tiene una tasa de crecimiento exponencial . Cada G generado finitamente tiene como máximo un crecimiento exponencial, es decir, para algunos tenemos .![{\displaystyle \#(n)\geq a^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle b>1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \#(n)\leq b^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si crece más lentamente que cualquier función exponencial , G tiene una tasa de crecimiento subexponencial . Cualquier grupo de este tipo es susceptible .![{\displaystyle \#(n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplos
- Un grupo libre de rango finito tiene una tasa de crecimiento exponencial.
![{\displaystyle k>1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Un grupo finito tiene un crecimiento constante, es decir, un crecimiento polinómico de orden 0, y esto incluye grupos fundamentales de variedades cuya cobertura universal es compacta .
- Si M es una variedad de Riemann cerrada con curva negativa , entonces su grupo fundamental tiene una tasa de crecimiento exponencial. John Milnor demostró esto utilizando el hecho de que la palabra métrica on es casi isométrica a la cobertura universal de M.
![{\displaystyle \pi _{1}(M)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi _{1}(M)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- El grupo abeliano libre tiene una tasa de crecimiento polinomial de orden d .
![{\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- El grupo discreto de Heisenberg tiene una tasa de crecimiento polinómico de orden 4. Este hecho es un caso especial del teorema general de Hyman Bass e Yves Guivarch que se analiza en el artículo sobre el teorema de Gromov .
![{\ Displaystyle H_ {3}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- El grupo farolero tiene un crecimiento exponencial.
- La existencia de grupos con crecimiento intermedio , es decir subexponenciales pero no polinomiales, estuvo abierta durante muchos años. La pregunta fue formulada por Milnor en 1968 y finalmente Rostislav Grigorchuk respondió afirmativamente en 1984. Aún quedan preguntas abiertas en esta área y falta una imagen completa de qué órdenes de crecimiento son posibles y cuáles no.
- Los grupos de triángulos incluyen infinitos grupos finitos (los esféricos, correspondientes a la esfera), tres grupos de crecimiento cuadrático (los euclidianos, correspondientes al plano euclidiano) e infinitos grupos de crecimiento exponencial (los hiperbólicos, correspondientes al plano hiperbólico). avión).
Ver también
Referencias
- Milnor J. (1968). "Una nota sobre curvatura y grupo fundamental". Revista de Geometría Diferencial . 2 : 1–7. doi : 10.4310/jdg/1214501132 .
- Grigorchuk RI (1984). "Grados de crecimiento de grupos finitamente generados y teoría de medias invariantes". Izv. Akád. Nauk SSSR Ser. Estera. (en ruso). 48 (5): 939–985.
Otras lecturas
- Rostislav Grigorchuk e Igor Pak (2006). "Grupos de crecimiento intermedio: una introducción para principiantes". arXiv : math.GR/0607384 .