Espectro de una teoría

Concepto de teoría de modelos

En la teoría de modelos , una rama de la lógica matemática , el espectro de una teoría viene dado por el número de clases de isomorfismos de modelos en varias cardinalidades . Más precisamente, para cualquier teoría completa T en un lenguaje escribimos I ( T , κ ) para el número de modelos de T (hasta isomorfismo) de cardinalidad κ . El problema del espectro consiste en describir los posibles comportamientos de I ( T , κ ) en función de κ . Se ha resuelto casi por completo para el caso de una teoría contable T.

primeros resultados

En esta sección T es una teoría completa contable y κ ​​es un cardinal.

El teorema de Löwenheim-Skolem muestra que si I ( T , κ ) es distinto de cero para un cardinal infinito, entonces es distinto de cero para todos ellos.

El teorema de categoricidad de Morley fue el primer paso principal para resolver el problema del espectro: establece que si I ( T , κ ) es 1 para algunos κ incontables , entonces es 1 para todos los κ incontables .

Robert Vaught demostró que I ( T ,ℵ ₀ ) no puede ser 2. Es fácil encontrar ejemplos en los que es cualquier entero no negativo distinto de 2. Morley demostró que si I ( T ,ℵ ₀ ) es infinito entonces debe ser ℵ ₀ o ℵ ₁ o 2 ^{ℵ ₀} . No se sabe si puede ser ℵ ₁ si la hipótesis del continuo es falsa: esto se llama conjetura de Vaught y es el principal problema abierto que queda (en 2005) en la teoría del espectro.

El problema de Morley era una conjetura (ahora un teorema) propuesta por primera vez por Michael D. Morley de que I ( T , κ ) no es decreciente en κ para κ incontables . Esto fue probado por Saharon Shelah . Para ello, demostró un teorema de dicotomía muy profundo.

Saharon Shelah dio una solución casi completa al problema del espectro. Para una teoría completa dada T , ya sea I ( T , κ ) = 2 ^κ para todos los cardinales incontables κ , o para todos los ordinales ξ (consulte Número de Aleph y Número de Beth para obtener una explicación de la notación), que suele ser mucho más pequeño que el obligado en el primer caso. En términos generales, esto significa que hay el máximo número posible de modelos en todas las cardinalidades incontables, o sólo hay "pocos" modelos en todas las cardinalidades incontables. Shelah también dio una descripción de los posibles espectros en el caso de que haya pocos modelos. ${\displaystyle \textstyle I(T,\aleph _{\xi })<\beth _{\omega _{1}}(|\xi |+\aleph _{0})}$

Lista de posibles espectros de una teoría contable

Al ampliar el trabajo de Shelah, Bradd Hart, Ehud Hrushovski y Michael C. Laskowski dieron la siguiente solución completa al problema del espectro para teorías contables en cardinalidades incontables. Si T es una teoría completa contable, entonces el número I( T , ℵ _α ) de clases de modelos de isomorfismo viene dado para ordinales α>0 por el mínimo de 2 ^{ℵ _α} y uno de los siguientes mapas:

1. 2 ^{ℵ _α} . Ejemplos: hay muchos ejemplos, en particular alguna teoría inclasificable o profunda, como la teoría del gráfico de Rado .
2. ${\displaystyle \beth _{d+1}(|\alpha +\omega |)}$para algún ordinal infinito contable d . (Para d finita ver caso 8.) Ejemplos: La teoría con relaciones de equivalencia E _β para todo β con β+1< d , tal que cada clase E _γ es una unión de infinitas clases E _β , y cada clase E ₀ es infinito.
3. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{2^{\aleph _{0}}})}$para algún ordinal positivo finito d . Ejemplo (para d =1): la teoría de un número contable de predicados unarios independientes.
4. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}}+\beth _{2})}$para algún ordinal positivo finito d .
5. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{2})}$para algún ordinal positivo finito d ;
6. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}})}$para algún ordinal positivo finito d . Ejemplo (para d =1): la teoría de muchos predicados unarios disjuntos contables.
7. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{1})}$para algún ordinal finito d ≥2;
8. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |)}$para algún ordinal positivo finito d ;
9. ${\displaystyle \beth _{d-2}(|\alpha +\omega |^{|\alpha +1|})}$para algún ordinal finito d ≥2; Ejemplos: similar al caso 2.
10. ${\displaystyle \beth _{2}}$. Ejemplo: la teoría de los números enteros vista como un grupo abeliano.
11. ${\displaystyle |(\alpha +1)^{n}/G|-|\alpha ^{n}/G|}$para α finito, y |α| para infinito α, donde G es algún subgrupo del grupo simétrico en n ≥ 2 elementos. Aquí, identificamos α ⁿ con el conjunto de secuencias de longitud n de elementos de un conjunto de tamaño α. G actúa sobre α ⁿ permutando los elementos de la secuencia, y |α ⁿ / G | denota el número de órbitas de esta acción. Ejemplos: la teoría del conjunto ω× n sobre la que actúa el producto corona de G con todas las permutaciones de ω.
12. ${\displaystyle 1}$. Ejemplos: teorías que son categóricas en cardinales incontables, como la teoría de campos algebraicamente cerrados en una característica determinada.
13. ${\displaystyle 0}$. Ejemplos: teorías con modelo finito y la teoría inconsistente.

Además, todas las posibilidades anteriores se presentan como el espectro de alguna teoría completa contable.

El número d en la lista anterior es la profundidad de la teoría. Si T es una teoría, definimos una nueva teoría 2 ^T como la teoría con una relación de equivalencia tal que hay infinitas clases de equivalencia, cada una de las cuales es un modelo de T. También definimos teorías por , . Entonces . Esto se puede utilizar para construir ejemplos de teorías con espectros en la lista anterior para valores no mínimos de d a partir de ejemplos para el valor mínimo de d . ${\displaystyle \beth _{n}(T)}$ ${\displaystyle \beth _{0}(T)=T}$ ${\displaystyle \beth _{n+1}(T)=2^{\beth _{n}(T)}}$ ${\displaystyle I(\beth _{n}(T),\lambda )=\min(\beth _{n}(I(T,\lambda )),2^{\lambda })}$

Ver también

• Espectro de una oración

Referencias

• CC Chang , HJ Keisler , Teoría de modelos . ISBN  0-7204-0692-7
• Saharon Shelah , "Teoría de la clasificación y el número de modelos no isomorfos", Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas , vol. 92, IX, 1.19, p.49 (Holanda Septentrional, 1990).
• Hart, Bradd; Hrushovski, Aod; Laskowski, Michael C. (2000). "Los espectros incontables de teorías contables". Los Anales de las Matemáticas . 152 (1): 207–257. arXiv : matemáticas/0007199 . Código Bib : 2000 matemáticas ...... 7199H. doi :10.2307/2661382. JSTOR  2661382.
• Bradd Hart, Michael C. Laskowski, "Un estudio de los espectros incontables de teorías contables", Teoría del modelo algebraico , editado por Hart, Lachlan, Valeriote (Springer, 1997). ISBN 0-7923-4666-1