toro complejo

El toro complejo asociado a una red atravesada por dos períodos, ω ₁ y ω ₂ . Se identifican los bordes correspondientes.

En matemáticas , un toro complejo es un tipo particular de variedad compleja M cuya variedad suave subyacente es un toro en el sentido habitual (es decir, el producto cartesiano de algún número N círculos ). Aquí N debe ser el número par 2 n , donde n es la dimensión compleja de M.

Todas estas estructuras complejas se pueden obtener de la siguiente manera: tomar una red Λ en un espacio vectorial V isomorfo a C ⁿ considerado como espacio vectorial real; entonces el grupo cociente

$${\displaystyle V/\Lambda }$$

compactanperíodo de curvas elípticasnBernhard Riemannvariedad algebraicaun espacio proyectivo complejovariedades abelianas

Las incrustaciones proyectivas reales son complicadas (ver ecuaciones que definen variedades abelianas ) cuando n > 1, y son realmente coextensivas con la teoría de funciones theta de varias variables complejas (con módulo fijo). No hay nada tan simple como la descripción de la curva cúbica para n = 1. El álgebra informática puede manejar casos para n pequeño razonablemente bien. Según el teorema de Chow , ningún toro complejo distinto de las variedades abelianas puede "encajar" en el espacio proyectivo .

Definición

Una forma de definir tori complejos ^{[1] es como un} grupo de Lie complejo, compacto y conectado . Estos son grupos de Lie donde los mapas de estructura son mapas holomorfos de variedades complejas. Resulta que todos estos grupos de Lie compactos y conectados son conmutativos y son isomórficos a un cociente de su álgebra de Lie cuyo mapa de cobertura es el mapa exponencial de un álgebra de Lie a su grupo de Lie asociado. El núcleo de este mapa es una red y . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{0}G}$ ${\displaystyle \Lambda \subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\Lambda \cong U}$

Por el contrario, dado un espacio vectorial complejo y una red de rango máximo, la variedad compleja cociente tiene una estructura de grupo de Lie compleja y también es compacta y conexa. Esto implica que las dos definiciones de toros complejos son equivalentes. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Lambda \subseteq V}$ ${\displaystyle V/\Lambda }$

Matriz de período de un toro complejo

Una forma de describir un toro complejo g -dimensional ^{[2] : 9} es mediante el uso de una matriz cuyas columnas corresponden a una base de la red expandida usando una base de . Es decir, escribimos ${\displaystyle g\times 2g}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{2g}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{g}}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle \Pi ={\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&\cdots &\lambda _{1,2g}\\\vdots &&\vdots \\\lambda _{g,1}&\cdots &\lambda _{g,2g}\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle \lambda _{i}=\sum _{j}\lambda _{ji}e_{j}}$$

${\displaystyle X=V/\Lambda }$

$${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{g}/\Pi \mathbb {Z} ^{2g}}$$

${\displaystyle \Pi \in Mat_{\mathbb {C} }(g,2g)}$ ${\displaystyle P\in Mat_{\mathbb {C} }(2g,2g)}$ ${\displaystyle {\overline {\Pi }}}$ ${\displaystyle \Pi }$

$${\displaystyle P={\begin{pmatrix}\Pi \\{\overline {\Pi }}\end{pmatrix}}}$$

no singular ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Ejemplo

Para un toro complejo bidimensional, tiene una matriz de período de la forma

$${\displaystyle \Pi ={\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&\lambda _{1,2}&\lambda _{1,3}&\lambda _{1,4}\\\lambda _{2,1}&\lambda _{2,2}&\lambda _{2,3}&\lambda _{2,4}\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle \Pi ={\begin{pmatrix}1&0&i&2i\\1&-i&1&1\end{pmatrix}}}$$

Matriz de período normalizado

Para cualquier toro complejo de dimensión tiene una matriz de período de la forma ${\displaystyle X=V/\Lambda }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Pi }$

$${\displaystyle (Z,1_{g})}$$

${\displaystyle 1_{g}}$ ${\displaystyle Z\in Mat_{\mathbb {C} }(g)}$ ${\displaystyle \det {\text{Im}}(Z)\neq 0}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \det {\text{Im}}(Z)\neq 0}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}Z&1_{g}\\{\overline {Z}}&1_{g}\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\det P&=\det(1_{g})\det(Z-1_{g}1_{g}{\overline {Z}})\\&=\det(Z-{\overline {Z}})\\&\Rightarrow \det({\text{Im}}(Z))\neq 0\end{aligned}}}$$

Ejemplo

Por ejemplo, podemos escribir una matriz de período normalizada para un toro complejo bidimensional como

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}z_{1,1}&z_{1,2}&1&0\\z_{2,1}&z_{2,2}&0&1\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1+i&1-i&1&0\\1+2i&1+{\sqrt {2}}i&0&1\end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle {\text{Im}}(Z)}$ ${\displaystyle 2+{\sqrt {2}}}$

Matrices de períodos de variedades abelianas.

Para obtener una matriz de período que proporcione una variedad compleja proyectiva y, por lo tanto, una variedad algebraica, la matriz de período debe satisfacer aún más las relaciones bilineales de Riemann . ^[3]

Homomorfismos de tori complejos.

Si tenemos toros complejos y de dimensiones entonces un homomorfismo ^{[2] : 11} de toros complejos es una función ${\displaystyle X=V/\Lambda }$ ${\displaystyle X'=V'/\Lambda '}$ ${\displaystyle g,g'}$

$${\displaystyle f:X\to X'}$$

$${\displaystyle F:V\to V'}$$

${\displaystyle F}$

$${\displaystyle F_{\Lambda }:\Lambda \to \Lambda '}$$

$${\displaystyle \rho _{a}:{\text{Hom}}(X,X')\to {\text{Hom}}_{\mathbb {C} }(V,V')}$$

${\displaystyle \rho _{r}:{\text{Hom}}(X,X')\to {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} }(\Lambda ,\Lambda ')}$ ${\displaystyle {\text{End}}(X)\otimes \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle m\leq 4gg'}$

Mapas holomorfos de tori complejos.

La clase de aplicaciones homomórficas entre toros complejos tiene una estructura muy simple. Por supuesto, todo homomorfismo induce un mapa holomórfico, pero cada mapa holomórfico es la composición de un tipo especial de mapa holomórfico con un homomorfismo. Para un elemento definimos el mapa de traducción. ${\displaystyle x_{0}\in X}$

$${\displaystyle t_{x_{0}}:X\to X}$$

${\displaystyle x\mapsto x+x_{0}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle X,X'}$ ${\displaystyle f:X\to X'}$

$${\displaystyle h=t_{h(0)}\circ f}$$

Isogenias

Una clase distinta de homomorfismos de toros complejos se llama isogenias. Estos son endomorfismos de toros complejos con un núcleo distinto de cero. Por ejemplo, si dejamos que sea un número entero, entonces hay un mapa asociado ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\neq 0}}$

$${\displaystyle n_{X}:X\to X}$$

${\displaystyle x\mapsto nx}$

$${\displaystyle X_{n}\cong (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{2g}}$$

${\displaystyle \Lambda /n\Lambda }$

Toros complejos isomórficos

Existe un isomorfismo de estructuras complejas en el espacio vectorial real y el conjunto. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2g}}$

$${\displaystyle GL_{\mathbb {R} }(2g)/GL_{\mathbb {C} }(g)}$$

${\displaystyle GL_{\mathbb {Z} }(2g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{g}}$

$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{g}\cong GL_{\mathbb {Z} }(2g)\backslash GL_{\mathbb {R} }(2g)/GL_{\mathbb {C} }(g)}$$

$${\displaystyle 4g^{2}-2g^{2}=2g^{2}}$$

los módulos de las variedades abelianas

Paquetes de líneas y formas automórficas.

Para variedades complejas , en particular toros complejos, existe una construcción ^{[2] : 571} que relaciona los paquetes de líneas holomorfas cuyos retrocesos son triviales utilizando la cohomología de grupo de . Afortunadamente para los tori complejos, cada paquete de líneas complejo se vuelve trivial desde . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\to X}$ ${\displaystyle \pi ^{*}L\to {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi ^{*}L}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}\cong \mathbb {C} ^{n}}$

Factores de automorfia

A partir del primer grupo de cohomología.

$${\displaystyle H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))}$$

${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

$${\displaystyle H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*})=\{f:{\tilde {X}}\to \mathbb {C} ^{*}\}}$$

${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle f:\pi _{1}(X)\times {\tilde {X}}\to \mathbb {C} ^{*}}$

$${\displaystyle f(a\cdot b,x)=f(a,b\cdot x)f(b,x)}$$

factores de automorfiafactores ${\displaystyle a,b\in \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle x\in {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle Z^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))}$ ${\displaystyle f}$

En tori complejos

Para toros complejos, estas funciones están dadas por funciones ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {Z} ^{2n}\to \mathbb {C} ^{*}}$$

funciones automórficasfunciones theta

$${\displaystyle f=\exp(2\pi i\cdot g)}$$

$${\displaystyle g:V\times \Lambda \to \mathbb {C} }$$

Paquetes de líneas de factores de automorfia.

Dado un factor de automorfia, podemos definir un paquete de líneas de la siguiente manera: el paquete de líneas trivial tiene una acción dada por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}\times \mathbb {C} \to {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

$${\displaystyle a\cdot (x,t)=(a\cdot x,f(a,x)\cdot t)}$$

${\displaystyle f}$

$${\displaystyle L={\tilde {X}}\times \mathbb {C} /\pi _{1}(X)}$$

${\displaystyle p:L\to X}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\to X}$

$${\displaystyle Z^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$$

$${\displaystyle H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\to \ker(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{1}({\tilde {X}},{\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))}$$

Para tori complejos

En el caso de toros complejos, tenemos por tanto que existe un isomorfismo ${\displaystyle H^{1}({\tilde {X}},{\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*})\cong 0}$

$${\displaystyle H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\cong H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$$

${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle H^{1}(\Lambda ,H^{0}({\mathcal {O}}_{V}^{*}))}$$

${\displaystyle X}$

Primera clase chern de paquetes de líneas en tori complejos

De la secuencia exponencial exacta

$${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}^{*}\to 0}$$

$${\displaystyle c_{1}:H^{1}({\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$$

de clase Chern ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle Alt^{2}(\Lambda ,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle c_{1}(L)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle E_{L}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f=\exp(2\pi ig)}$

$${\displaystyle E_{L}(\lambda ,\mu )=g(\mu ,v+\lambda )+g(\lambda ,v)-g(\lambda ,v+\mu )-g(\mu ,v)}$$

${\displaystyle \mu ,\lambda \in \Lambda }$ ${\displaystyle v\in V}$

Ejemplo

Para una matriz de período normalizada

$${\displaystyle \Pi ={\begin{pmatrix}z_{1,1}&z_{1,2}&1&0\\z_{2,1}&z_{2,2}&0&1\end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle E_{L}}$ ${\displaystyle \Lambda }$

$${\displaystyle E_{L}={\begin{pmatrix}0&e_{2,1}&e_{3,1}&e_{4,1}\\-e_{2,1}&0&e_{3,2}&e_{4,2}\\-e_{3,1}&-e_{2,3}&0&e_{4,3}\\-e_{4,1}&-e_{4,2}&-e_{4,3}&0\end{pmatrix}}}$$

Secciones de haces de líneas y funciones theta.

Para un conjunto de líneas dado por un factor de automorfia , entonces y , hay un haz de secciones asociado donde ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f:\Lambda \times V\to \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle [f]\in H^{1}(\Lambda ,H^{0}(V,{\mathcal {O}}_{V}^{*}))}$ ${\displaystyle \phi _{1}[f]=[L]\in {\text{Pic}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(U)=\left\{\theta :\pi ^{-1}(U)\to \mathbb {C} :{\begin{matrix}\theta {\text{ holomorphic with }}\theta (v+\lambda )=f(\lambda ,v)\theta (v)\\{\text{for all }}(\lambda ,v)\in \Lambda \times \pi ^{-1}(U)\end{matrix}}\right\}}$$

${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle \theta :V\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \theta (v+\lambda )=f(\lambda ,v)\theta (v)}$$

Formas hermitianas y el teorema de Appell-Humbert

Para la forma de 2 valores alternos asociada al paquete de líneas , se puede extender para que tenga valores. Entonces, resulta cualquier forma alterna con valores que satisfaga las siguientes condiciones ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle E_{L}}$ ${\displaystyle L\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle E:V\times V\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle E(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z} }$
2. ${\displaystyle E(iv,iw)=E(v,w)}$para cualquier ${\displaystyle v,w\in V}$

es la extensión de alguna primera clase Chern de un paquete de líneas . Además, existe una forma hermitiana asociada que satisface ${\displaystyle c_{1}(L)}$ ${\displaystyle L\to X}$ ${\displaystyle H:V\times V\to \mathbb {C} }$

1. ${\displaystyle {\text{Im}}H(v,w)=E(v,w)}$
2. ${\displaystyle H(v,w)=E(iv,w)+iE(v,w)}$

para cualquier . ${\displaystyle v,w\in V}$

Grupo Neron-Severi

Para un toro complejo podemos definir el grupo Neron-Serveri como el grupo de formas hermitianas con ${\displaystyle X=V/\Lambda }$ ${\displaystyle NS(X)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle {\text{Im}}H(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z} }$$

$${\displaystyle c_{1}:H^{1}({\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$$

${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z} }$

Ejemplo de forma hermitiana sobre una curva elíptica

Para ^[4] una curva elíptica dada por la red donde podemos encontrar la forma integral observando una matriz alterna genérica y encontrando las condiciones de compatibilidad correctas para que se comporte como se espera. Si utilizamos la base estándar de como espacio vectorial real (so ), entonces podemos escribir una matriz alterna ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\tau \end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle E\in {\text{Alt}}^{2}(\Lambda ,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle x_{1},y_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z=z_{1}+iz_{2}=z_{1}x_{1}+z_{2}y_{1}}$

$${\displaystyle E={\begin{pmatrix}0&e\\-e&0\end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle 1,\tau }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}&&E\cdot {\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle 1,\tau }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}=0&&{\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}=-e\tau _{2}\\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}=e\tau _{2}&&{\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}=0\end{aligned}}}$$

${\displaystyle E(\Lambda ,\Lambda )\subset \mathbb {Z} }$

$${\displaystyle e=a{\frac {1}{{\text{Im}}(\tau )}}}$$

${\displaystyle E(v,w)=E(iv,iw)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle E_{a}}$

$${\displaystyle H_{a}:\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$$

$${\displaystyle H_{a}(z,w)=a\cdot {\frac {z{\overline {w}}}{{\text{Im}}(\tau )}}}$$

${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$

Pares de semicaracteres para formas hermitianas

Para una forma hermitiana, un semicarácter es un mapa tal que ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \chi :\Lambda \to U(1)}$

$${\displaystyle \chi (\lambda +\mu )=\chi (\lambda )\chi (\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H(\lambda ,\mu ))}$$

personajegrupo de caracterespares de semicaracteres ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle NS(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times X\to X}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle {\text{Pic}}^{0}(X)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))}$ ${\displaystyle \Lambda \to \mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong U(1)}$ ${\displaystyle \chi (\cdot )=\exp \left(2\pi iv^{*}(\cdot )\right)}$ ${\displaystyle v^{*}\in \Lambda ^{*}}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\cong \mathbb {R} ^{2g}/\mathbb {Z} ^{2g}}$ ${\displaystyle (\chi ,H)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Lambda )}$

$${\displaystyle (H_{1},\chi _{1})*(H_{2},\chi _{2})=(H_{1}+H_{2},\chi _{1}\chi _{2})}$$

${\displaystyle \chi _{1}\chi _{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{1}\chi _{2}(\lambda +\mu )&=\chi _{1}(\lambda +\mu )\chi _{2}(\lambda +\mu )\\&=\chi _{1}(\lambda )\chi _{1}(\mu )\chi _{2}(\lambda )\chi _{2}(\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H_{1}(\lambda ,\mu ))\exp(i\pi {\text{Im}}H_{2}(\lambda ,\mu ))\\&=\chi _{1}\chi _{2}(\lambda )\chi _{1}\chi _{2}(\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H_{1}(\lambda ,\mu )+i\pi {\text{Im}}H_{2}(\lambda ,\mu ))\end{aligned}}}$$

${\displaystyle NS(X)}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))}$

$${\displaystyle 1\to {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\to {\mathcal {P}}(\Lambda )\to NS(X)\to 1}$$

${\displaystyle L(H,\chi )}$

Pares de semicaracteres y paquetes de líneas

Para un par de semicaracteres podemos construir un 1-cociclo como mapa ${\displaystyle (H,\chi )}$ ${\displaystyle a_{(H,\chi )}}$ ${\displaystyle \Lambda }$

$${\displaystyle a_{(H,\chi )}:\Lambda \times V\to \mathbb {C} ^{*}}$$

$${\displaystyle a(\lambda ,v)=\chi (\lambda )\exp(\pi H(v,\lambda )+{\frac {\pi }{2}}H(\lambda ,\lambda ))}$$

$${\displaystyle a(\lambda +\mu ,v)=a(\lambda ,v+\mu )a(\mu ,v)}$$

$${\displaystyle L(H,\chi )\cong V\times \mathbb {C} /\Lambda }$$

${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle V\times \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \lambda \circ (v,t)=(v+t,a_{(H,\chi )}(\lambda ,v)t)}$$

factor canónico de automorfia ${\displaystyle L(H,\chi )}$ ${\displaystyle a_{(H,\chi )}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L\to X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Lambda )\to {\text{Pic}}(X)}$$

$${\displaystyle {\begin{matrix}1&\to &{\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))&\to &{\mathcal {P}}(\Lambda )&\to &NS(X)&\to 0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &{\text{Pic}}^{0}(X)&\to &{\text{Pic}}(X)&\to &{\text{NS}}(X)&\to 0\end{matrix}}}$$

teorema de Appell-Humbert

Toro complejo dual

Como se mencionó anteriormente, un carácter en la red se puede expresar como una función

$${\displaystyle \chi (\cdot )=\exp \left(2\pi iv^{*}(\cdot )\right)}$$

${\displaystyle v^{*}\in \Lambda ^{*}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{*}}$

$${\displaystyle {\overline {\Omega }}={\text{Hom}}_{\overline {\mathbb {C} }}(V,\mathbb {C} )}$$

antilineales ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle {\hat {\Lambda }}=\{l\in {\overline {\Omega }}:\langle l,\Lambda \rangle \subseteq \mathbb {Z} \}}$$

toro complejo dual. ${\displaystyle \Lambda }$

$${\displaystyle {\hat {X}}\cong {\overline {\Omega }}/{\hat {\Lambda }}}$$

${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\hat {X}}\cong {\text{Pic}}^{0}(X)}$$

${\displaystyle l}$

$${\displaystyle l\mapsto \exp(2\pi i\langle l,\cdot \rangle )}$$

$${\displaystyle {\overline {\Omega }}\to {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))}$$

^{[1] : 123–125} ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K(L)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$

$${\displaystyle T_{x}^{*}(L)\cong L}$$

$${\displaystyle {\hat {X}}:=X/K(L)}$$

${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\text{Pic}}^{0}(X)}$

Paquete Poincaré

A partir de la construcción del toro complejo dual, se sugiere que debería existir un haz de líneas sobre el producto del toro y su dual que pueda usarse para presentar todas las clases de isomorfismo de haces de líneas de grado 0 en . Podemos codificar este comportamiento con las dos propiedades siguientes ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {P}}|_{X\times \{[L]\}}\cong L}$para cualquier punto que dé el conjunto de líneas ${\displaystyle [L]\in {\hat {X}}}$ ${\displaystyle L}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {P}}|_{\{0\}\times {\hat {X}}}}$es un paquete de líneas trivial

donde la primera es la propiedad comentada anteriormente y la segunda actúa como una propiedad de normalización. Podemos construir usando la siguiente forma hermitiana ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

$${\displaystyle {\begin{matrix}H:(V\times {\overline {\Omega }})\times (V\times {\overline {\Omega }})\to \mathbb {C} \\H((v_{1},l_{1}),(v_{2},l_{2}))={\overline {l_{2}(v_{1})}}+l_{1}(v_{2})\end{matrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{matrix}\chi :\Lambda \times {\hat {\Lambda }}\to U(1)\\\chi (\lambda ,l_{0})=\exp(i\pi {\text{Im}}l_{0}(\lambda ))\end{matrix}}}$$

${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (H,\chi )}$

Ver también

• Paquete Poincaré
• Grupo de mentiras complejas
• Función automorfa
• Jacobiano intermedio
• Función gamma elíptica

Referencias

1. Mumford, David (2008). Variedades abelianas. CP Ramanujam, I︠U︡. I. Manín. Publicado para el Instituto Tata de Investigación Fundamental. ISBN 978-8185931869. OCLC  297809496.
2. Birkenhake, Christina (2004). Variedades abelianas complejas. Herbert Lange (Segunda edición aumentada). Berlín, Heidelberg: Springer Berlín Heidelberg. ISBN 978-3-662-06307-1. OCLC  851380558.
3. "Relaciones bilineales de Riemann" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 31 de mayo de 2021.
4. "Cómo funciona el teorema de Appell-Humbert en el caso más simple de una curva elíptica".

• Birkenhake, Cristina; Lange, Herbert (1999), Toros complejos , Progress in Mathematics, vol. 177, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4103-0, señor  1713785

Tori bidimensional complejo

• Ruppert, Wolfgang M. (1990). "¿Cuándo una superficie abeliana es isomorfa o isógeno a un producto de curvas elípticas?". Mathematische Zeitschrift . 203 : 293–299. doi :10.1007/BF02570737. S2CID  120799085.- Proporciona herramientas para encontrar tori complejos que no sean variedades abelianas.
• Marchisio, Marina Rosanna (1998). "Superficies abelianas y productos de curvas elípticas". Bollettino dell'unione Matematica Italiana . 1-B (2): 407–427.

Gerbes en tori complejos

• Ben-Bassat, Oren (2012). "Gerbes y el grupo holomorfo de Brauer de toros complejos". Revista de geometría no conmutativa . 6 (3): 407–455. arXiv : 0811.2746 . doi :10.4171/JNCG/96. S2CID  15049025.- Amplía la idea de utilizar formas alternas en la red para construir gerbes en un toro complejo. ${\displaystyle {\text{Alt}}^{3}(\Lambda ,\mathbb {Z} )}$
• Bloquear, Jonathan; Daenzer, Calder (2008). "Dualidad Mukai para gerbes con conexión". Diario de Crelle . arXiv : 0803.1529v2 .- incluye ejemplos de gerbes en toros complejos
• Ben-Bassat, Oren (2013). "Gerbes equivalentes en toros complejos". Revista de Geometría y Física . 64 : 209–221. arXiv : 1102.2312 . Código Bib : 2013JGP....64..209B. doi :10.1016/j.geomphys.2012.10.012. S2CID  119599648.
• Felder, Giovanni; Henriques, André; Rossi, Carlos A.; Zhu, Chenchang (2008). "Un gerbe para la función gamma elíptica". Revista de Matemáticas de Duke . 141 . arXiv : matemáticas/0601337 . doi :10.1215/S0012-7094-08-14111-0. S2CID  817920.- podría extenderse a tori complejos

tori p-adic

• Integrales abelianas p-ádicas: de la teoría a la práctica