Par de periodos fundamentales

Forma de definir una red en el plano complejo.

En matemáticas , un par fundamental de períodos es un par ordenado de números complejos que define una red en el plano complejo . Este tipo de celosía es el objeto subyacente con el que se definen funciones elípticas y formas modulares .

Paralelogramo fundamental definido por un par de vectores en el plano complejo.

Definición

Un par de períodos fundamentales es un par de números complejos cuya razón no es real. Si se consideran vectores en , los dos son linealmente independientes . La red generada por y es ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \omega _{2}/\omega _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

${\displaystyle \Lambda =\left\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \right\}.}$

Esta red también se denota a veces para dejar claro que depende de y A veces también se denota por o simplemente por Los dos generadores y se denomina base de la red . El paralelogramo con vértices se llama paralelogramo fundamental . ${\displaystyle \Lambda (\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}.}$ ${\displaystyle \Omega {\vphantom {(}}}$ ${\displaystyle \Omega (\omega _{1},\omega _{2}),}$ ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2}).}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle (0,\omega _{1},\omega _{1}+\omega _{2},\omega _{2})}$

Si bien un par fundamental genera una red, una red no tiene ningún par fundamental único; de hecho, un número infinito de pares fundamentales corresponden a la misma red.

Propiedades algebraicas

Se pueden ver varias propiedades, que se enumeran a continuación.

Equivalencia

Una red atravesada por períodos ω ₁ y ω ₂ , que muestra un par equivalente de períodos α ₁ y α ₂ .

Dos pares de números complejos se llaman equivalentes si generan la misma red: es decir, si ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2})}$ ${\displaystyle \Lambda (\omega _{1},\omega _{2})=\Lambda (\alpha _{1},\alpha _{2}).}$

Sin puntos interiores

El paralelogramo fundamental no contiene más puntos de red en su interior o límite. Por el contrario, cualquier par de puntos de la red con esta propiedad constituye un par fundamental y, además, generan la misma red.

simetría modular

Dos pares y son equivalentes si y sólo si existe una matriz de 2 × 2 con entradas enteras y y determinante tal que ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2})}$ ${\textstyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle ad-bc=\pm 1}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{pmatrix}},}$

es decir, para que

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}=a\omega _{1}+b\omega _{2},\\[5mu]\alpha _{2}=c\omega _{1}+d\omega _{2}.\end{aligned}}}$

Esta matriz pertenece al grupo modular. Se puede considerar que esta equivalencia de celosías es la base de muchas de las propiedades de las funciones elípticas (especialmente la función elíptica de Weierstrass ) y de las formas modulares. ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} ).}$

Propiedades topológicas

El grupo abeliano transforma el plano complejo en el paralelogramo fundamental. Es decir, cada punto se puede escribir como para números enteros con un punto en el paralelogramo fundamental. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z=p+m\omega _{1}+n\omega _{2}}$ ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle p}$

Dado que este mapeo identifica los lados opuestos del paralelogramo como iguales, el paralelogramo fundamental tiene la topología de un toroide . De manera equivalente, se dice que la variedad cociente es un toroide. ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Región fundamental

El gris representa el dominio fundamental canónico.

Definir como la relación de medio período . Entonces, la base de la red siempre se puede elegir de modo que se encuentre en una región especial, llamada dominio fundamental . Alternativamente, siempre existe un elemento del grupo lineal especial proyectivo que asigna una base reticular a otra base de modo que se encuentre en el dominio fundamental. ${\displaystyle \tau =\omega _{2}/\omega _{1}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \tau }$

El dominio fundamental viene dado por el conjunto que se compone de un conjunto más una parte de la frontera de : ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle U=\left\{z\in H:\left|z\right|>1,\,\left|\operatorname {Re} (z)\right|<{\tfrac {1}{2}}\right\}.}$

¿Dónde está el semiplano superior ? ${\displaystyle H}$

Luego , el dominio fundamental se construye sumando el límite de la izquierda más la mitad del arco de la parte inferior: ${\displaystyle D}$

${\displaystyle D=U\cup \left\{z\in H:\left|z\right|\geq 1,\,\operatorname {Re} (z)=-{\tfrac {1}{2}}\right\}\cup \left\{z\in H:\left|z\right|=1,\,\operatorname {Re} (z)\leq 0\right\}.}$

Se refieren tres casos:

• Si y , entonces hay exactamente dos bases de red con el mismo en la región fundamental: y ${\displaystyle \tau \neq i}$ ${\textstyle \tau \neq e^{i\pi /3}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle (-\omega _{1},-\omega _{2}).}$
• Si , entonces cuatro bases de red tienen lo mismo : las dos anteriores , y , ${\displaystyle \tau =i}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle (-\omega _{1},-\omega _{2})}$ ${\displaystyle (i\omega _{1},i\omega _{2})}$ ${\displaystyle (-i\omega _{1},-i\omega _{2}).}$
• Si , entonces hay seis bases de red con el mismo : , y sus negativos. ${\textstyle \tau =e^{i\pi /3}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle (\tau \omega _{1},\tau \omega _{2})}$ ${\displaystyle (\tau ^{2}\omega _{1},\tau ^{2}\omega _{2})}$

En el cierre del dominio fundamental: y ${\displaystyle \tau =i}$ ${\textstyle \tau =e^{i\pi /3}.}$

Ver también

• Existen varias notaciones alternativas para la red y para el par fundamental, que a menudo se utilizan en su lugar. Véanse, por ejemplo, los artículos sobre el nomo , el módulo elíptico , el período de un trimestre y la relación de medio período .
• Curva elíptica
• Forma modular
• serie eisenstein

Referencias

• Tom M. Apostol , Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números (1990), Springer-Verlag, Nueva York. ISBN  0-387-97127-0 (Ver capítulos 1 y 2.)
• Jurgen Jost, Superficies compactas de Riemann (2002), Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 3-540-43299-X (Ver capítulo 2.)