Grupo de mentiras complejas

Grupo de mentiras cuya variedad es compleja y cuya operación grupal es holomorfa

En geometría , un grupo de Lie complejo es un grupo de Lie sobre números complejos; es decir, es una variedad analítica compleja que también es un grupo de tal manera que es holomorfa . Ejemplos básicos son los grupos lineales generales sobre los números complejos . Un grupo de Lie complejo compacto conectado es precisamente un toro complejo (no confundir con el grupo de Lie complejo ). A cualquier grupo finito se le puede dar la estructura de un grupo de Lie complejo. Un grupo de Lie complejo semisimple es un grupo algebraico lineal . ${\displaystyle G\times G\to G,(x,y)\mapsto xy^{-1}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

El álgebra de Lie de un grupo de Lie complejo es un álgebra de Lie compleja .

Ejemplos

• Un espacio vectorial de dimensión finita sobre números complejos (en particular, álgebra de Lie compleja) es un grupo de Lie complejo de una manera obvia.
• Un grupo de Lie complejo compacto conectado A de dimensión g tiene la forma un toro complejo , donde L es un subgrupo discreto de rango 2g. De hecho, se puede demostrar que su álgebra de Lie es abeliana y luego es un morfismo sobreyectivo de grupos de Lie complejos, lo que muestra que A tiene la forma descrita. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}/L}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle \operatorname {exp} :{\mathfrak {a}}\to A}$
• ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{*},z\mapsto e^{z}}$es un ejemplo de un homomorfismo sobreyectivo de grupos de Lie complejos que no proviene de un morfismo de grupos algebraicos. Dado que , este también es un ejemplo de una representación de un grupo de Lie complejo que no es algebraico. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\operatorname {GL} _{1}(\mathbb {C} )}$
• Sea X una variedad compleja compacta. Entonces, de manera análoga al caso real, hay un grupo de Lie complejo cuyo álgebra de Lie es el espacio de campos vectoriales holomorfos en X:. ^{[ se necesita aclaración ]} ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$ ${\displaystyle \Gamma (X,TX)}$
• Sea K un grupo de Lie compacto conexo . Entonces existe un grupo de Lie complejo conectado único G tal que (i) y (ii) K es un subgrupo compacto máximo de G. Se llama complejación de K. Por ejemplo, es la complejización del grupo unitario . Si K actúa sobre una variedad compacta de Kähler X , entonces la acción de K se extiende a la de G. ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)=\operatorname {Lie} (K)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$

Grupo algebraico lineal asociado a un grupo de Lie complejo semisimple

Sea G un grupo de Lie complejo semisimple. Entonces G admite una estructura natural de un grupo algebraico lineal de la siguiente manera: ^[2] sea el anillo de funciones holomorfas f en G tal que abarque un espacio vectorial de dimensión finita dentro del anillo de funciones holomorfas en G (aquí G actúa por izquierda traducción: ). Entonces es el grupo algebraico lineal que, visto como una variedad compleja, es el G original . Más concretamente, elija una representación fiel de G . Entonces Zariski está cerrado . ^{[ se necesita aclaración ]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G\cdot f}$ ${\displaystyle g\cdot f(h)=f(g^{-1}h)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$ ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle \rho (G)}$ ${\displaystyle GL(V)}$

Referencias

1. Guillemin, Víctor; Sternberg, Shlomo (1982). "Cuantización geométrica y multiplicidades de representaciones de grupos". Invenciones Mathematicae . 67 (3): 515–538. Código Bib : 1982 InMat..67..515G. doi :10.1007/bf01398934. S2CID  121632102.
2. Serre 1993, pag. Cap. VIII. Teorema 10.

• Lee, Dong Hoon (2002), La estructura de los grupos de mentiras complejos , Boca Raton, Florida: Chapman & Hall/CRC, ISBN 1-58488-261-1, señor  1887930
• Serre, Jean-Pierre (1993), Gèbres