Grupo profinito

Grupo topológico que en cierto sentido se construye a partir de un sistema de grupos finitos.

En matemáticas , un grupo profinito es un grupo topológico que en cierto sentido se ensambla a partir de un sistema de grupos finitos .

La idea de utilizar un grupo profinito es proporcionar una visión "uniforme" o "sinóptica" de un sistema completo de grupos finitos. Las propiedades del grupo profinito son, en términos generales, propiedades uniformes del sistema. Por ejemplo, el grupo profinito se genera finitamente (como un grupo topológico) si y solo si existe tal que cada grupo en el sistema pueda ser generado por elementos. ^[1] Muchos teoremas sobre grupos finitos se pueden generalizar fácilmente a grupos profinitos; algunos ejemplos son el teorema de Lagrange y los teoremas de Sylow . ^[2] ${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle d}$

Para construir un grupo profinito se necesita un sistema de grupos finitos y homomorfismos de grupos entre ellos. Sin pérdida de generalidad, estos homomorfismos pueden asumirse como sobreyectivos , en cuyo caso los grupos finitos aparecerán como grupos cocientes del grupo profinito resultante; en cierto sentido, estos cocientes aproximan el grupo profinito.

Ejemplos importantes de grupos profinitos son los grupos aditivos de números enteros -ádicos y los grupos de Galois de extensiones de campos de grado infinito . ${\displaystyle p}$

Todo grupo profinito es compacto y totalmente desconectado . Una generalización no compacta del concepto es la de los grupos localmente profinitos . Aún más generales son los grupos totalmente desconectados .

Definición

Los grupos profinitos se pueden definir de dos maneras equivalentes.

Primera definición (constructiva)

Un grupo profinito es un grupo topológico que es isomorfo al límite inverso de un sistema inverso de grupos finitos discretos . ^[3] En este contexto, un sistema inverso consiste en un conjunto dirigido, una familia indexada de grupos finitos , cada uno con la topología discreta , y una familia de homomorfismos tales que es la función identidad en y la colección satisface la propiedad de composición siempre que El límite inverso es el conjunto: equipado con la topología de producto relativo . ${\displaystyle (I,\leq ),}$ ${\displaystyle \{G_{i}:i\in I\},}$ ${\displaystyle \{f_{i}^{j}:G_{j}\to G_{i}\mid i,j\in I,i\leq j\}}$ ${\displaystyle f_{i}^{i}}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}^{j}\circ f_{j}^{k}=f_{i}^{k}}$ ${\displaystyle i\leq j\leq k.}$ $${\displaystyle \varprojlim G_{i}=\left\{(g_{i})_{i\in I}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}G_{i}:f_{i}^{j}(g_{j})=g_{i}{\text{ for all }}i\leq j\right\}}$$

También se puede definir el límite inverso en términos de una propiedad universal . En términos categóricos , este es un caso especial de una construcción de límite cofiltrado .

Segunda definición (axiomática)

Un grupo profinito es un grupo topológico compacto y totalmente desconectado : ^[4] es decir, un grupo topológico que es también un espacio de Stone .

Finalización de beneficios

Dado un grupo arbitrario , existe un grupo profinito relacionado ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}},}$completitud profinita de.^[4]Se define como el límite inverso de los grupos, donderecorre lossubgrupos normaleseníndicefinito(estos subgrupos normales estánparcialmente ordenadospor inclusión, lo que se traduce en un sistema inverso de homomorfismos naturales entre los cocientes). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

Existe un homomorfismo natural , y la imagen de bajo este homomorfismo es densa en . El homomorfismo es inyectivo si y solo si el grupo es residualmente finito (es decir, , donde la intersección pasa por todos los subgrupos normales de índice finito). ${\displaystyle \eta :G\to {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \bigcap N=1}$ ${\displaystyle N}$

El homomorfismo se caracteriza por la siguiente propiedad universal : dado cualquier grupo profinito y cualquier homomorfismo de grupo continuo donde se da la topología más pequeña compatible con operaciones de grupo en las que sus subgrupos normales de índice finito son abiertos, existe un único homomorfismo de grupo continuo con . ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g:{\widehat {G}}\rightarrow H}$ ${\displaystyle f=g\eta }$

Equivalencia

Cualquier grupo construido según la primera definición satisface los axiomas de la segunda definición.

Por el contrario, cualquier grupo que satisfaga los axiomas de la segunda definición puede construirse como un límite inverso según la primera definición utilizando el límite inverso donde se extiende a través de los subgrupos normales abiertos de ordenados por inclusión (inversa). Si se genera topológicamente de manera finita, entonces es además igual a su propia completitud profinita. ^[5] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varprojlim G/N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Sistemas sobreyectivos

En la práctica, el sistema inverso de grupos finitos es casi siempresobreyectiva , es decir, todas sus funciones son sobreyectivas. Sin pérdida de generalidad, basta considerar solo sistemas sobreyectivos, ya que dado cualquier sistema inverso, es posible construir primero su grupo profinitoy luegoreconstruirlocomo su propia completitud profinita. ${\displaystyle G,}$

Ejemplos

• Los grupos finitos son profinitos, si se da la topología discreta .
• El grupo de los enteros -ádicos bajo la adición es profinito (de hecho procíclico). Es el límite inverso de los grupos finitos donde se extienden todos los números naturales y las funciones naturales para La topología en este grupo profinito es la misma que la topología que surge de la valoración -ádica en ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n\geq m.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$
• El grupo de los enteros profinitos es la completitud profinita de En detalle, es el límite inverso de los grupos finitos donde con los mapas módulo para Este grupo es el producto de todos los grupos y es el grupo de Galois absoluto de cualquier cuerpo finito . ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m\,|\,n.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$
• La teoría de Galois de extensiones de campo de grado infinito da lugar de forma natural a grupos de Galois que son profinitos. En concreto, si es una extensión de Galois , considérese el grupo formado por todos los automorfismos de campo de que mantienen todos los elementos de fijos. Este grupo es el límite inverso de los grupos finitos donde abarca todos los campos intermedios tales que es una extensión de Galois finita . Para el proceso límite, se utilizan los homomorfismos de restricción, donde La topología obtenida en se conoce como topología de Krull en honor a Wolfgang Krull . Waterhouse (1974) demostró que todo grupo profinito es isomorfo a uno que surge de la teoría de Galois de algún campo, pero no se puede (todavía) controlar qué campo lo será en este caso. De hecho, para muchos campos no se sabe en general con precisión qué grupos finitos ocurren como grupos de Galois sobre Este es el problema de Galois inverso para un campo  (para algunos campos el problema de Galois inverso está resuelto, como el campo de funciones racionales en una variable sobre los números complejos). No todo grupo profinito ocurre como un grupo de Galois absoluto de un campo. ^[6] ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/K),}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F/K}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{1}/K)\to \operatorname {Gal} (F_{2}/K)}$ ${\displaystyle F_{2}\subseteq F_{1}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle K}$
• Los grupos fundamentales de étale considerados en geometría algebraica son también grupos profinitos, en términos generales porque el álgebra solo puede "ver" recubrimientos finitos de una variedad algebraica . Sin embargo, los grupos fundamentales de la topología algebraica no son, en general, profinitos: para cualquier grupo prescrito, existe un complejo CW bidimensional cuyo grupo fundamental lo es.
• El grupo de automorfismos de un árbol enraizado localmente finito es profinito.

Propiedades y hechos

• Todo producto de (un número arbitrario de) grupos profinitos es profinito; la topología que surge de la profinitud concuerda con la topología del producto . El límite inverso de un sistema inverso de grupos profinitos con funciones de transición continuas es profinito y el funtor límite inverso es exacto en la categoría de grupos profinitos. Además, ser profinito es una propiedad de extensión.
• Todo subgrupo cerrado de un grupo profinito es en sí mismo profinito; la topología que surge de la profinitidad concuerda con la topología del subespacio . Si es un subgrupo normal cerrado de un grupo profinito entonces el grupo factorial es profinito; la topología que surge de la profinitidad concuerda con la topología del cociente . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G/N}$
• Como todo grupo profinito es compacto de Hausdorff, existe una medida de Haar que nos permite medir el "tamaño" de los subconjuntos de calcular ciertas probabilidades e integrar funciones en ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G.}$
• Un subgrupo de un grupo profinito es abierto si y sólo si es cerrado y tiene índice finito .
• Según un teorema de Nikolay Nikolov y Dan Segal , en cualquier grupo profinito generado topológicamente finitamente (es decir, un grupo profinito que tiene un subgrupo denso generado finitamente ) los subgrupos de índice finito son abiertos. Esto generaliza un resultado análogo anterior de Jean-Pierre Serre para progrupos ${\displaystyle p}$ generados topológicamente finitamente . La prueba utiliza la clasificación de grupos simples finitos .
• Como corolario fácil del resultado de Nikolov-Segal anterior, cualquier homomorfismo discreto sobreyectivo de grupos entre grupos profinitos y es continuo siempre que se genere topológicamente de manera finita. De hecho, cualquier subgrupo abierto de es de índice finito, por lo que su preimagen en también es de índice finito y, por lo tanto, debe ser abierto. ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$
• Supóngase que y son grupos profinitos generados topológicamente de manera finita que son isomorfos como grupos discretos por un isomorfismo . Entonces es biyectiva y continua por el resultado anterior. Además, también es continua, por lo que es un homeomorfismo. Por lo tanto, la topología en un grupo profinito generado topológicamente de manera finita está determinada únicamente por su estructura algebraica . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \iota .}$ ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle \iota ^{-1}}$ ${\displaystyle \iota }$

Grupos ind-finitos

Existe una noción de grupo ind-finito , que es el dual conceptual de los grupos profinitos; es decir, un grupo es ind-finito si es el límite directo de un sistema inductivo de grupos finitos. (En particular, es un grupo ind). La terminología habitual es diferente: un grupo se llama localmente finito si cada subgrupo finitamente generado es finito. Esto es equivalente, de hecho, a ser 'ind-finito'. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Aplicando la dualidad de Pontryagin , se puede ver que los grupos abelianos profinitos están en dualidad con los grupos abelianos discretos localmente finitos. Estos últimos son simplemente los grupos abelianos de torsión .

Grupos profinitos proyectivos

Un grupo profinito esproyectiva si tiene lapropiedad de elevaciónpara cada extensión. Esto es equivalente a decir quees proyectiva si para cada morfismo sobreyectivo de un profinitohay unasección^[7][8] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\to G}$ ${\displaystyle G\to H.}$

La proyectividad para un grupo profinito es equivalente a cualquiera de las dos propiedades: ^[7] ${\displaystyle G}$

• La dimensión cohomológica ${\displaystyle \operatorname {cd} (G)\leq 1;}$
• para cada primo los subgrupos de Sylow son progrupos libres . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$

Todo grupo profinito proyectivo puede realizarse como un grupo de Galois absoluto de un cuerpo pseudoalgebraicamente cerrado . Este resultado se debe a Alexander Lubotzky y Lou van den Dries . ^[9]

Grupo procíclico

Un grupo profinito es ${\displaystyle G}$procíclico si es generado topológicamente por un solo elemento, es decir, siel cierre del subgrupo^[10] ${\displaystyle \sigma ;}$ ${\displaystyle G={\overline {\langle \sigma \rangle }},}$ ${\displaystyle \langle \sigma \rangle =\left\{\sigma ^{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}.}$

Un grupo topológico es procíclico si y solo si donde abarca un conjunto de números primos y es isomorfo a uno u otro ^[11] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\cong {\textstyle \prod \limits _{p\in S}}G_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} .}$

Véase también

• Finalización de Hausdorff
• Grupo cíclico local
• Grupo pro -p  – tipo de grupo profinitoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Entero profinito
• Propiedad residual (matemáticas)  : concepto en la teoría de gruposPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Grupo residual finito  : tipo de grupo matemáticoPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Referencias

1. Segal, Dan (29 de marzo de 2007). "Algunos aspectos de la teoría de grupos profinitos". arXiv : math/0703885 .
2. Wilson, John Stuart (1998). Grupos profinitos . Oxford: Clarendon Press. ISBN 9780198500827.OCLC 40658188  .
3. Lenstra, Hendrik. "Grupos profinitos" (PDF) . Universidad de Leiden .
4. Osserman, Brian. "Límites inversos y grupos profinitos" (PDF) . Universidad de California, Davis . Archivado desde el original (PDF) el 26 de diciembre de 2018.
5. Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2007). "Sobre grupos profinitos finitamente generados. I: Completitud fuerte y límites uniformes. II: Productos en grupos cuasisimplres". Ann. Math. (2) . 165 (1): 171–238, 239–273. arXiv : math/0604399 . doi :10.4007/annals.2007.165.171. S2CID  15670650. Zbl  1126.20018.
6. Fried y Jarden (2008) pág. 497
7. Serre (1997) pág. 58
8. Fried y Jarden (2008) pág. 207
9. Fried y Jarden (2008) págs. 208,545
10. Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 322. Berlín, Heidelberg: Springer Berlín Heidelberg. doi :10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-642-08473-7.
11. "MO. Descomposición de grupos procíclicos". MathOverflow .

• Frito, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). Aritmética de campo . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. vol. 11 (3ª edición revisada). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77269-9.Zbl 1145.12001  .
• Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2007), "Sobre grupos profinitos finitamente generados, I: completitud fuerte y límites uniformes", Annals of Mathematics , 2.ª serie, 165 (1): 171–238, arXiv : math.GR/0604399 , doi : 10.4007/annals.2007.165.171.
• Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2007), "Sobre grupos profinitos finitamente generados, II: productos en grupos cuasisimples", Anales de Matemáticas , 2.ª serie, 165 (1): 239–273, arXiv : math.GR/0604400 , doi : 10.4007/annals.2007.165.239.
• Lenstra, Hendrik (2003), Profinite Groups (PDF) , charla pronunciada en Oberwolfach.
• Lubotzky, Alexander (2001), "Reseña de libro", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 38 (4): 475–479, doi : 10.1090/S0273-0979-01-00914-4. Revisión de varios libros sobre grupos profinitos.
• Serre, Jean-Pierre (1994), Cohomologie galoisienne , Lecture Notes in Mathematics (en francés), vol. 5 (5 ed.), Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58002-7, MR  1324577, Zbl  0812.12002. Serre, Jean-Pierre (1997), cohomología de Galois , traducido por Patrick Ion, Springer-Verlag , ISBN 3-540-61990-9, Zbl0902.12004 ​
• Waterhouse, William C. (1974), "Los grupos profinitos son grupos de Galois", Actas de la American Mathematical Society , 42 (2), American Mathematical Society: 639–640, doi : 10.1090/S0002-9939-1974-0325587-3 , JSTOR  2039560, Zbl  0281.20031.