Estadísticas de Fermi-Dirac

Descripción estadística del comportamiento de los fermiones

La estadística de Fermi-Dirac es un tipo de estadística cuántica que se aplica a la física de un sistema que consta de muchas partículas idénticas que no interactúan y que obedecen al principio de exclusión de Pauli . Un resultado es la distribución de Fermi-Dirac de partículas sobre estados de energía . Recibe su nombre en honor a Enrico Fermi y Paul Dirac , cada uno de los cuales derivó la distribución de forma independiente en 1926. ^{[1] [2]} La estadística de Fermi-Dirac es parte del campo de la mecánica estadística y utiliza los principios de la mecánica cuántica .

La estadística de Fermi-Dirac se aplica a partículas idénticas e indistinguibles con espín medio entero (1/2, 3/2, etc.), llamadas fermiones , en equilibrio termodinámico . Para el caso de interacción despreciable entre partículas, el sistema puede describirse en términos de estados de energía de una sola partícula . Un resultado es la distribución de Fermi-Dirac de partículas sobre estos estados donde no pueden ocupar el mismo estado dos partículas, lo que tiene un efecto considerable en las propiedades del sistema. La estadística de Fermi-Dirac se aplica más comúnmente a los electrones , un tipo de fermión con espín 1/2 .

Una contraparte de la estadística de Fermi-Dirac es la estadística de Bose-Einstein , que se aplica a partículas idénticas e indistinguibles con espín entero (0, 1, 2, etc.) llamadas bosones . En física clásica, la estadística de Maxwell-Boltzmann se utiliza para describir partículas que son idénticas y se tratan como distinguibles. Tanto para la estadística de Bose-Einstein como para la de Maxwell-Boltzmann, más de una partícula puede ocupar el mismo estado, a diferencia de la estadística de Fermi-Dirac.

Distribuciones térmicas de equilibrio para partículas con espín entero (bosones, rojo), espín medio entero (fermiones, azul) y partículas clásicas (sin espín) (verde). Se muestra la ocupación promedio en función de la energía relativa al potencial químico del sistema , donde es la temperatura del sistema y es la constante de Boltzmann. ${\displaystyle \langle n\rangle }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k_{B}}$

Historia

Antes de la introducción de la estadística de Fermi-Dirac en 1926, era difícil comprender algunos aspectos del comportamiento de los electrones debido a fenómenos aparentemente contradictorios. Por ejemplo, la capacidad calorífica electrónica de un metal a temperatura ambiente parecía provenir de 100 veces menos electrones que los que había en la corriente eléctrica . ^[3] También era difícil entender por qué las corrientes de emisión generadas al aplicar campos eléctricos elevados a metales a temperatura ambiente eran casi independientes de la temperatura.

La dificultad que encontró el modelo de Drude , la teoría electrónica de los metales en aquella época, se debió a que se consideraba que los electrones eran (según la teoría estadística clásica) todos equivalentes. En otras palabras, se creía que cada electrón contribuía al calor específico en una cantidad del orden de la constante de Boltzmann  k _B . Este problema permaneció sin solución hasta el desarrollo de la estadística de Fermi-Dirac.

La estadística de Fermi-Dirac fue publicada por primera vez en 1926 por Enrico Fermi ^[1] y Paul Dirac ^[2] . Según Max Born , Pascual Jordan desarrolló en 1925 la misma estadística, a la que llamó estadística de Pauli , pero no fue publicada de manera oportuna. ^{[4] [5] [6]} Según Dirac, fue estudiada por primera vez por Fermi, y Dirac la llamó "estadística de Fermi" y a las partículas correspondientes "fermiones". ^[7]

La estadística de Fermi-Dirac fue aplicada en 1926 por Ralph Fowler para describir el colapso de una estrella a una enana blanca . ^[8] En 1927 Arnold Sommerfeld la aplicó a los electrones en metales y desarrolló el modelo del electrón libre , ^[9] y en 1928 Fowler y Lothar Nordheim la aplicaron a la emisión de electrones de campo de los metales. ^[10] La estadística de Fermi-Dirac sigue siendo una parte importante de la física.

Distribución de Fermi-Dirac

Para un sistema de fermiones idénticos en equilibrio termodinámico, el número promedio de fermiones en un estado de partícula única i está dado por la distribución de Fermi–Dirac (F–D) , ^{[11] [nb 1]}

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}},}$

donde k _B es la constante de Boltzmann , T es la temperatura absoluta , ε _i es la energía del estado de partícula individual i y μ es el potencial químico total . La distribución está normalizada por la condición

${\displaystyle \sum _{i}{\bar {n}}_{i}=N}$

que se puede utilizar para expresar que puede asumir un valor positivo o negativo. ^[12] ${\displaystyle \mu =\mu (T,N)}$ ${\displaystyle \mu }$

A temperatura absoluta cero, μ es igual a la energía de Fermi más la energía potencial por fermión, siempre que se encuentre en un entorno de densidad espectral positiva. En el caso de un espacio espectral, como el de los electrones en un semiconductor, el punto de simetría μ se denomina normalmente nivel de Fermi o, en el caso de los electrones, potencial electroquímico , y se ubicará en el medio del espacio. ^{[13] [14]}

La distribución de Fermi-Dirac solo es válida si el número de fermiones en el sistema es lo suficientemente grande como para que agregar un fermión más al sistema tenga un efecto insignificante en μ . ^[15] Dado que la distribución de Fermi-Dirac se derivó utilizando el principio de exclusión de Pauli , que permite que como máximo un fermión ocupe cada estado posible, un resultado es que . ^{[nb 2]} ${\displaystyle 0<{\bar {n}}_{i}<1}$

• Distribución de Fermi-Dirac
• 
  Dependencia energética. Más gradual a mayor T . cuando . No se muestra que disminuye a mayor T . ^[16] ${\displaystyle {\bar {n}}=0.5}$ ${\displaystyle \varepsilon =\mu }$ ${\displaystyle \mu }$
• 
  Dependencia de la temperatura para . ${\displaystyle \varepsilon >\mu }$

La varianza del número de partículas en el estado i se puede calcular a partir de la expresión anterior para [ ^{17] [18]} ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$

${\displaystyle V(n_{i})=k_{\rm {B}}T{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\bar {n}}_{i}={\bar {n}}_{i}(1-{\bar {n}}_{i}).}$

Distribución de partículas sobre energía.

Función de Fermi para varias temperaturas en el rango ${\displaystyle F(\epsilon )}$ ${\displaystyle \mu =0.55\;{\text{eV}}}$ ${\displaystyle 2\;{\text{K}}\leq T\leq 375\;{\text{K}}}$

A partir de la distribución de partículas sobre estados de Fermi-Dirac, se puede encontrar la distribución de partículas sobre energía. ^{[nb 3]} El número promedio de fermiones con energía se puede encontrar multiplicando la distribución de Fermi-Dirac por la degeneración (es decir, el número de estados con energía ), ^[19] ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}(\varepsilon _{i})&=g_{i}{\bar {n}}_{i}\\&={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}.\end{aligned}}}$

Cuando , es posible que , dado que hay más de un estado que puede ser ocupado por fermiones con la misma energía . ${\displaystyle g_{i}\geq 2}$ ${\displaystyle {\bar {n}}(\varepsilon _{i})>1}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

Cuando un cuasi-continuo de energías tiene asociada una densidad de estados (es decir, el número de estados por unidad de rango de energía por unidad de volumen ^[20] ), el número promedio de fermiones por unidad de rango de energía por unidad de volumen es ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle g(\varepsilon )}$

${\displaystyle {\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )=g(\varepsilon )F(\varepsilon ),}$

donde se llama función de Fermi y es la misma función que se utiliza para la distribución de Fermi-Dirac , ^[21] ${\displaystyle F(\varepsilon )}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$

${\displaystyle F(\varepsilon )={\frac {1}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}},}$

de modo que

${\displaystyle {\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )={\frac {g(\varepsilon )}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}.}$

Regímenes cuánticos y clásicos

La distribución de Fermi-Dirac se aproxima a la distribución de Maxwell-Boltzmann en el límite de alta temperatura y baja densidad de partículas, sin necesidad de ninguna suposición ad hoc:

• En el límite de baja densidad de partículas, , por lo tanto o equivalentemente . En ese caso, , que es el resultado de las estadísticas de Maxwell-Boltzmann. ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}\ll 1}$ ${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1\gg 1}$ ${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}\gg 1}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}\approx {\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}}}={\frac {N}{Z}}e^{-\varepsilon _{i}/k_{\rm {B}}T}}$
• En el límite de alta temperatura, las partículas se distribuyen en un amplio rango de valores de energía, por lo tanto, la ocupación en cada estado (especialmente los de alta energía con ) es nuevamente muy pequeña, . Esto nuevamente se reduce a las estadísticas de Maxwell-Boltzmann. ${\displaystyle \varepsilon _{i}-\mu \gg k_{\rm {B}}T}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}\ll 1}$

El régimen clásico, donde las estadísticas de Maxwell-Boltzmann pueden usarse como una aproximación a las estadísticas de Fermi-Dirac, se encuentra considerando la situación que está lejos del límite impuesto por el principio de incertidumbre de Heisenberg para la posición y el momento de una partícula . Por ejemplo, en física de semiconductores, cuando la densidad de estados de la banda de conducción es mucho mayor que la concentración de dopaje, la brecha de energía entre la banda de conducción y el nivel de Fermi podría calcularse utilizando las estadísticas de Maxwell-Boltzmann. De lo contrario, si la concentración de dopaje no es despreciable en comparación con la densidad de estados de la banda de conducción, se debe utilizar la distribución de Fermi-Dirac para un cálculo preciso. Entonces se puede demostrar que la situación clásica prevalece cuando la concentración de partículas corresponde a una separación interpartícula promedio que es mucho mayor que la longitud de onda promedio de De Broglie de las partículas: ^[22] ${\displaystyle {\bar {R}}}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$

${\displaystyle {\bar {R}}\gg {\bar {\lambda }}\approx {\frac {h}{\sqrt {3mk_{\rm {B}}T}}},}$

donde h es la constante de Planck y m es la masa de una partícula .

En el caso de los electrones de conducción en un metal típico a T = 300  K (es decir, aproximadamente a temperatura ambiente), el sistema está lejos del régimen clásico porque . Esto se debe a la pequeña masa del electrón y la alta concentración (es decir, pequeña ) de electrones de conducción en el metal. Por lo tanto, se necesitan las estadísticas de Fermi-Dirac para los electrones de conducción en un metal típico. ^[22] ${\displaystyle {\bar {R}}\approx {\bar {\lambda }}/25}$ ${\displaystyle {\bar {R}}}$

Otro ejemplo de un sistema que no está en el régimen clásico es el sistema que consiste en los electrones de una estrella que ha colapsado en una enana blanca. Aunque la temperatura de la enana blanca es alta (típicamente T =10 000  K en su superficie ^[23] ), su alta concentración de electrones y la pequeña masa de cada electrón impiden utilizar una aproximación clásica y, nuevamente, se requiere la estadística de Fermi-Dirac. ^[8]

Derivaciones

Gran conjunto canónico

La distribución de Fermi-Dirac, que se aplica únicamente a un sistema cuántico de fermiones no interactuantes, se deriva fácilmente del gran conjunto canónico . ^[24] En este conjunto, el sistema es capaz de intercambiar energía e intercambiar partículas con un reservorio (temperatura T y potencial químico μ fijados por el reservorio).

Debido a la cualidad de no interacción, cada nivel de partícula individual disponible (con nivel de energía ϵ ) forma un sistema termodinámico separado en contacto con el yacimiento. En otras palabras, cada nivel de partícula individual es un conjunto gran canónico diminuto e independiente. Según el principio de exclusión de Pauli, solo hay dos microestados posibles para el nivel de partícula individual: ninguna partícula (energía E = 0) o una partícula (energía E = ε ). Por lo tanto, la función de partición resultante para ese nivel de partícula individual tiene solo dos términos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}&=\exp {\big (}0(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}+\exp {\big (}1(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}\\&=1+\exp {\big (}(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )},\end{aligned}}}$

y el número promedio de partículas para ese subestado a nivel de partícula única está dado por

${\displaystyle \langle N\rangle =k_{\rm {B}}T{\frac {1}{\mathcal {Z}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {Z}}}{\partial \mu }}\right)_{V,T}={\frac {1}{\exp {\big (}(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T{\big )}+1}}.}$

Este resultado se aplica a cada nivel de partícula individual y, por lo tanto, proporciona la distribución de Fermi-Dirac para todo el estado del sistema. ^[24]

La variación en el número de partículas (debido a fluctuaciones térmicas ) también se puede derivar (el número de partículas tiene una distribución de Bernoulli simple ):

${\displaystyle {\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }=k_{\rm {B}}T\left({\frac {d\langle N\rangle }{d\mu }}\right)_{V,T}=\langle N\rangle {\big (}1-\langle N\rangle {\big )}.}$

Esta cantidad es importante en fenómenos de transporte como las relaciones de Mott para la conductividad eléctrica y el coeficiente termoeléctrico para un gas de electrones , ^[25] donde la capacidad de un nivel de energía para contribuir a los fenómenos de transporte es proporcional a . ${\displaystyle {\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }}$

Conjunto canónico

También es posible derivar las estadísticas de Fermi-Dirac en el conjunto canónico . Considérese un sistema de muchas partículas compuesto por N fermiones idénticos que tienen una interacción mutua despreciable y están en equilibrio térmico. ^[15] Dado que existe una interacción despreciable entre los fermiones, la energía de un estado del sistema de muchas partículas se puede expresar como una suma de energías de partículas individuales, ${\displaystyle E_{R}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle E_{R}=\sum _{r}n_{r}\varepsilon _{r}}$

donde se denomina número de ocupación y es el número de partículas en el estado de partícula única con energía . La suma se aplica a todos los posibles estados de partícula única . ${\displaystyle n_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ ${\displaystyle r}$

La probabilidad de que el sistema de muchas partículas esté en el estado , está dada por la distribución canónica normalizada , ^[26] ${\displaystyle R}$

${\displaystyle P_{R}={\frac {e^{-\beta E_{R}}}{\displaystyle \sum _{R'}e^{-\beta E_{R'}}}}}$

donde , e se denomina factor de Boltzmann y la suma se aplica a todos los estados posibles del sistema de múltiples partículas. El valor promedio de un número de ocupación es ^[26] ${\displaystyle \beta =1/k_{\rm {B}}T}$ ^{${\displaystyle \scriptstyle -\beta E_{R}}$} ${\displaystyle R'}$ ${\displaystyle n_{i}\;}$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}\ =\ \sum _{R}n_{i}\ P_{R}}$

Obsérvese que el estado del sistema de muchas partículas se puede especificar mediante la ocupación de partículas de los estados de partícula única, es decir, especificando de modo que ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n_{1},\,n_{2},\,\ldots \;,}$

${\displaystyle P_{R}=P_{n_{1},n_{2},\ldots }={\frac {e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{{n_{1}}',{n_{2}}',\ldots }e^{-\beta ({n_{1}}'\varepsilon _{1}+{n_{2}}'\varepsilon _{2}+\cdots )}}}}$

y la ecuación para se convierte en ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\bar {n}}_{i}&=\sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}\ P_{n_{1},n_{2},\dots }\\\\&={\frac {\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}\ e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}}\\\end{alignedat}}}$

donde la suma es sobre todas las combinaciones de valores de que obedecen al principio de exclusión de Pauli, y = 0 o 1 para cada . Además, cada combinación de valores de satisface la restricción de que el número total de partículas es , ${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots }$ ${\displaystyle n_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots }$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \sum _{r}n_{r}=N.}$

Reordenando las sumas,

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}\ e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\quad \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\qquad \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}}}$

donde el signo de suma indica que la suma no ha terminado y está sujeta a la restricción de que el número total de partículas asociadas con la suma es . Nótese que todavía depende de a través de la restricción, ya que en un caso y se evalúa con mientras que en el otro caso y se evalúa con  Para simplificar la notación e indicar claramente que todavía depende de a través de  , defina ${\displaystyle ^{(i)}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle N_{i}=N-n_{i}}$ ${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}=0}$ ${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$ ${\displaystyle N_{i}=N,}$ ${\displaystyle n_{i}=1}$ ${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$ ${\displaystyle N_{i}=N-1.}$ ${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle N-n_{i}}$

${\displaystyle Z_{i}(N-n_{i})\equiv \ \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\ldots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}\;}$

de modo que la expresión anterior para se puede reescribir y evaluar en términos de , ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ ${\displaystyle Z_{i}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\bar {n}}_{i}\ &={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}\ e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\ \ Z_{i}(N-n_{i})}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\qquad Z_{i}(N-n_{i})}}\\[8pt]&=\ {\frac {\quad 0\quad \;+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\;Z_{i}(N-1)}{Z_{i}(N)+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\;Z_{i}(N-1)}}\\[6pt]&=\ {\frac {1}{[Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)]\;e^{\beta \varepsilon _{i}}+1}}\quad .\end{alignedat}}}$

Se utilizará la siguiente aproximación ^[27] para encontrar una expresión para sustituir . ${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\ln Z_{i}(N-1)&\simeq \ln Z_{i}(N)-{\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}\\&=\ln Z_{i}(N)-\alpha _{i}\;\end{alignedat}}}$

dónde ${\displaystyle \alpha _{i}\equiv {\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}\ .}$

Si el número de partículas es lo suficientemente grande como para que el cambio en el potencial químico sea muy pequeño cuando se agrega una partícula al sistema, entonces ^[28]   Tomando el antilogaritmo de base e ^[29] de ambos lados, sustituyendo por , y reordenando, ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mu \;}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\simeq -\mu /k_{\rm {B}}T\ .}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\,}$

${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)=e^{-\mu /k_{\rm {B}}T}.}$

Sustituyendo lo anterior en la ecuación para , y usando una definición previa de para sustituir , se obtiene la distribución de Fermi-Dirac. ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ ${\displaystyle \beta \;}$ ${\displaystyle 1/k_{\rm {B}}T}$ ${\displaystyle \beta \;}$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}=\ {\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}}$

Al igual que la distribución de Maxwell-Boltzmann y la distribución de Bose-Einstein, la distribución de Fermi-Dirac también se puede derivar mediante el método de valores medios de Darwin-Fowler . ^[30]

Conjunto microcanónico

Se puede lograr un resultado analizando directamente las multiplicidades del sistema y utilizando multiplicadores de Lagrange . ^[31]

Supongamos que tenemos varios niveles de energía, etiquetados por el índice i , cada nivel con energía ε _i   y que contiene un total de n _i   partículas. Supongamos que cada nivel contiene g _i   subniveles distintos, todos los cuales tienen la misma energía y que son distinguibles. Por ejemplo, dos partículas pueden tener diferentes momentos (es decir, sus momentos pueden estar en diferentes direcciones), en cuyo caso son distinguibles entre sí, pero aún pueden tener la misma energía. El valor de g _i   asociado con el nivel i se llama la "degeneración" de ese nivel de energía. El principio de exclusión de Pauli establece que solo un fermión puede ocupar cualquiera de esos subniveles.

El número de formas de distribuir n _i partículas indistinguibles entre los g _i subniveles de un nivel de energía, con un máximo de una partícula por subnivel, viene dado por el coeficiente binomial , utilizando su interpretación combinatoria

${\displaystyle w(n_{i},g_{i})={\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}\ .}$

Por ejemplo, distribuir dos partículas en tres subniveles dará números de población de 110, 101 o 011 para un total de tres formas, lo que equivale a 3!/(2!1!).

El número de formas en que se puede realizar un conjunto de números de ocupación n _i es el producto de las formas en que se puede completar cada nivel de energía individual:

${\displaystyle W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}.}$

Siguiendo el mismo procedimiento empleado para derivar las estadísticas de Maxwell-Boltzmann , queremos encontrar el conjunto de n _i para el que W se maximiza, sujeto a la restricción de que haya un número fijo de partículas y una energía fija. Restringimos nuestra solución utilizando multiplicadores de Lagrange que forman la función:

${\displaystyle f(n_{i})=\ln(W)+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right).}$

Usando la aproximación de Stirling para los factoriales, tomando la derivada con respecto a n _i , fijando el resultado en cero y resolviendo para n _i se obtienen los números de población de Fermi-Dirac:

${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}+1}}.}$

Mediante un proceso similar al descrito en el artículo sobre estadísticas de Maxwell-Boltzmann , se puede demostrar termodinámicamente que y , de modo que, finalmente, la probabilidad de que un estado esté ocupado es: ${\textstyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}}$ ${\textstyle \alpha =-{\frac {\mu }{k_{\rm {B}}T}}}$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {n_{i}}{g_{i}}}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}.}$

Véase también

• Gran conjunto canónico
• Principio de exclusión de Pauli
• Integral completa de Fermi-Dirac
• Nivel de Fermi
• Gas de Fermi
• Estadísticas de Maxwell-Boltzmann
• Estadísticas de Bose-Einstein
• Paraestadística
• Función logística
• Función sigmoidea

Notas

1. La distribución FD es un tipo de función matemática llamada función logística o función sigmoidea .
2. Nótese que también es la probabilidad de que el estado esté ocupado, ya que no más de un fermión puede ocupar el mismo estado al mismo tiempo y . ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 0<{\bar {n}}_{i}<1}$
3. Estas distribuciones sobre energías, en lugar de estados, a veces también se denominan distribución de Fermi-Dirac, pero esa terminología no se utilizará en este artículo.

Referencias

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18. (Reif 1965, pág. 351) Ecuación 9.7.7 donde . ${\displaystyle \beta =1/k_{\rm {B}}T,\quad \alpha =-\mu /k_{\rm {B}}T,\quad {\frac {\partial {\bar {n}}_{i}}{\partial \epsilon _{i}}}=-{\frac {\partial {\bar {n}}_{i}}{\partial \mu }}}$
19. Leighton, Robert B. (1959). Principios de la física moderna . McGraw-Hill. pág. 340. ISBN 978-0-07-037130-9.Obsérvese que en la ecuación (1), y corresponden respectivamente a y en este artículo. Véase también la ecuación (32) en la pág. 339. ${\displaystyle n(\varepsilon )}$ ${\displaystyle n_{s}}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ ${\displaystyle {\bar {n}}(\varepsilon _{i})}$
20. (Blakemore 2002, pág. 8)
21. (Reif 1965, pág. 389)
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26. (Reif 1965, págs. 203-206)
27. Véase, por ejemplo, Derivada - Definición mediante cocientes de diferencias , que da la aproximación f(a+h) ≈ f(a) + f '(a) h .
28. (Reif 1965, pp. 341–2) Véase la ecuación 9.3.17 y la observación relativa a la validez de la aproximación .
29. Por definición, el antilogaritmo base e de A es e ^A .
30. Müller-Kirsten, HJW (2013). Fundamentos de física estadística (2.ª ed.). World Scientific. ISBN 978-981-4449-53-3.
31. (Blakemore 2002, págs. 343-345)

Lectura adicional

• Reif, F. (1965). Fundamentos de física estadística y térmica . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-051800-1.
• Blakemore, JS (2002). Estadísticas de semiconductores. Dover. ISBN 978-0-486-49502-6.
• Kittel, Charles (1971). Introducción a la física del estado sólido (4.ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-14286-7.OCLC 300039591  .