Álgebra de Banach

Tipo particular de estructura algebraica

En matemáticas , especialmente en análisis funcional , un álgebra de Banach , llamada así por Stefan Banach , es un álgebra asociativa sobre los números reales o complejos (o sobre un cuerpo normado completo no arquimediano ) que al mismo tiempo es también un espacio de Banach , es decir, un espacio normado que es completo en la métrica inducida por la norma. La norma debe satisfacer ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|\quad {\text{ for all }}x,y\in A.}$$

Esto garantiza que la operación de multiplicación sea continua con respecto a la topología métrica.

Un álgebra de Banach se llama unital si tiene un elemento identidad para la multiplicación cuya norma es y conmutativa si su multiplicación es conmutativa . Cualquier álgebra de Banach (ya sea unital o no) se puede incrustar isométricamente en un álgebra de Banach unital para formar un ideal cerrado de . A menudo se supone a priori que el álgebra en consideración es unital porque se puede desarrollar gran parte de la teoría considerando y luego aplicando el resultado en el álgebra original. Sin embargo, este no es el caso todo el tiempo. Por ejemplo, no se pueden definir todas las funciones trigonométricas en un álgebra de Banach sin identidad. ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{e}}$ ${\displaystyle A_{e}}$ ${\displaystyle A_{e}}$

La teoría de las álgebras de Banach reales puede ser muy diferente de la teoría de las álgebras de Banach complejas. Por ejemplo, el espectro de un elemento de una álgebra de Banach compleja no trivial nunca puede estar vacío, mientras que en una álgebra de Banach real podría estar vacío para algunos elementos.

Las álgebras de Banach también se pueden definir sobre cuerpos de números -ádicos . Esto es parte del análisis -ádico . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Ejemplos

El ejemplo prototípico de un álgebra de Banach es , el espacio de funciones continuas (de valor complejo), definidas en un espacio de Hausdorff localmente compacto , que se anulan en el infinito . es unital si y solo si es compacto . La conjugación compleja , al ser una involución , es de hecho un C*-álgebra . De manera más general, cada C*-álgebra es un álgebra de Banach por definición. ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$

• El conjunto de números reales (o complejos) es un álgebra de Banach con norma dada por el valor absoluto .
• El conjunto de todas las matrices reales o complejas -por- se convierte en un álgebra de Banach unital si lo dotamos de una norma matricial submultiplicativa . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• Tome el espacio de Banach (o ) con norma y defina la multiplicación por componentes: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \|x\|=\max _{}|x_{i}|}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)=\left(x_{1}y_{1},\ldots ,x_{n}y_{n}\right).}$
• Los cuaterniones forman un álgebra de Banach real de 4 dimensiones, donde la norma viene dada por el valor absoluto de los cuaterniones.
• El álgebra de todas las funciones reales o complejas acotadas definidas en algún conjunto (con multiplicación puntual y norma suprema ) es un álgebra de Banach unital.
• El álgebra de todas las funciones continuas reales o complejas acotadas en algún espacio localmente compacto (de nuevo con operaciones puntuales y norma suprema) es un álgebra de Banach.
• El álgebra de todos los operadores lineales continuos en un espacio de Banach (con composición funcional como multiplicación y la norma del operador como norma) es un álgebra de Banach unital. El conjunto de todos los operadores compactos en es un álgebra de Banach y un ideal cerrado. No tiene identidad si ^[1] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \dim E=\infty .}$
• Si es un grupo topológico de Hausdorff localmente compacto y es su medida de Haar , entonces el espacio de Banach de todas las funciones integrables en se convierte en un álgebra de Banach bajo la convolución para ^[2] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle xy(g)=\int x(h)y\left(h^{-1}g\right)d\mu (h)}$ ${\displaystyle x,y\in L^{1}(G).}$
• Álgebra uniforme : Álgebra de Banach que es una subálgebra del álgebra compleja con norma suprema y que contiene las constantes y separa los puntos de (que debe ser un espacio de Hausdorff compacto). ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$
• Álgebra de funciones de Banach natural : Un álgebra uniforme cuyos caracteres son evaluaciones en puntos de ${\displaystyle X.}$
• C*-álgebra : Un álgebra de Banach que es una *-subálgebra cerrada del álgebra de operadores acotados en algún espacio de Hilbert .
• Álgebra de medidas : Un álgebra de Banach que consiste en todas las medidas de Radon en algún grupo localmente compacto , donde el producto de dos medidas se da por convolución de medidas . ^[2]
• El álgebra de los cuaterniones es un álgebra de Banach real, pero no es un álgebra compleja (y por lo tanto no es un álgebra de Banach compleja) por la sencilla razón de que el centro de los cuaterniones son los números reales, que no pueden contener una copia de los números complejos. ${\displaystyle \mathbb {H} }$
• Un álgebra afinoide es un tipo específico de álgebra de Banach sobre un cuerpo no arquimediano. Las álgebras afinoides son los componentes básicos de la geometría analítica rígida .

Propiedades

Varias funciones elementales que se definen mediante series de potencias pueden definirse en cualquier álgebra de Banach unitaria; los ejemplos incluyen la función exponencial y las funciones trigonométricas y, de manera más general, cualquier función entera . (En particular, la función exponencial se puede utilizar para definir grupos de índices abstractos .) La fórmula para la serie geométrica sigue siendo válida en álgebras de Banach unitarias generales. El teorema del binomio también se cumple para dos elementos conmutativos de un álgebra de Banach.

El conjunto de elementos invertibles en cualquier álgebra de Banach unitaria es un conjunto abierto , y la operación de inversión en este conjunto es continua (y por lo tanto es un homeomorfismo), de modo que forma un grupo topológico bajo la multiplicación. ^[3]

Si un álgebra de Banach tiene unidad entonces no puede ser un conmutador ; es decir,   para cualquier Esto se debe a que y tienen el mismo espectro excepto posiblemente ${\displaystyle \mathbf {1} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle xy-yx\neq \mathbf {1} }$ ${\displaystyle x,y\in A.}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle yx}$ ${\displaystyle 0.}$

Las diversas álgebras de funciones que se dan en los ejemplos anteriores tienen propiedades muy diferentes a las de los ejemplos estándar de álgebras, como los números reales. Por ejemplo:

• Toda álgebra de Banach real que sea un álgebra de división es isomorfa a los reales, los complejos o los cuaterniones. Por lo tanto, la única álgebra de Banach compleja que sea un álgebra de división es la de los complejos. (Esto se conoce como el teorema de Gelfand-Mazur ).
• Toda álgebra de Banach real unital sin divisores de cero , y en la que cada ideal principal es cerrado , es isomorfa a los reales, los complejos o los cuaterniones. ^[4]
• Toda álgebra de Banach noetheriana unital real conmutativa sin divisores de cero es isomorfa a los números reales o complejos.
• Toda álgebra de Banach noetheriana unital real conmutativa (que posiblemente tenga divisores de cero) es de dimensión finita.
• Los elementos permanentemente singulares en las álgebras de Banach son divisores topológicos de cero , es decir, considerando extensiones de las álgebras de Banach, algunos elementos que son singulares en el álgebra dada tienen un elemento inverso multiplicativo en una extensión del álgebra de Banach. Los divisores topológicos de cero en son permanentemente singulares en cualquier extensión de Banach de ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$

Teoría espectral

Las álgebras de Banach unitarias sobre el cuerpo complejo proporcionan un marco general para desarrollar la teoría espectral. El espectro de un elemento denotado por , consta de todos aquellos escalares complejos tales que no es invertible en El espectro de cualquier elemento es un subconjunto cerrado del disco cerrado en con radio y centro y, por lo tanto, es compacto . Además, el espectro de un elemento no está vacío y satisface la fórmula del radio espectral : ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle \sigma (x)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x-\lambda \mathbf {1} }$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \|x\|}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \sigma (x)}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}.}$$

Dado que el cálculo funcional holomorfo permite definir para cualquier función holomorfa en un entorno de Además, el teorema de mapeo espectral se cumple: ^[5] ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle f(x)\in A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma (x).}$ $${\displaystyle \sigma (f(x))=f(\sigma (x)).}$$

Cuando el álgebra de Banach es el álgebra de operadores lineales acotados sobre un espacio de Banach complejo (por ejemplo, el álgebra de matrices cuadradas), la noción de espectro en coincide con la habitual en la teoría de operadores . Para (con un espacio de Hausdorff compacto ), se ve que: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f\in C(X)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \sigma (f)=\{f(t):t\in X\}.}$$

La norma de un elemento normal de un álgebra C* coincide con su radio espectral. Esto generaliza un hecho análogo para los operadores normales. ${\displaystyle x}$

Sea un álgebra de Banach unital compleja en la que todo elemento distinto de cero es invertible (un álgebra de división). Para cada existe tal que no es invertible (porque el espectro de no está vacío), por lo tanto, esta álgebra es naturalmente isomorfa a (el caso complejo del teorema de Gelfand-Mazur). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a-\lambda \mathbf {1} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=\lambda \mathbf {1} :}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Ideales y personajes

Sea un álgebra de Banach conmutativa unitaria sobre Como es entonces un anillo conmutativo con unidad, cada elemento no invertible de pertenece a algún ideal maximal de Como un ideal maximal en es cerrado, es un álgebra de Banach que es un cuerpo, y se sigue del teorema de Gelfand-Mazur que hay una biyección entre el conjunto de todos los ideales maximales de y el conjunto de todos los homomorfismos distintos de cero de a El conjunto se llama " espacio de estructura " o "espacio de caracteres" de y sus miembros "caracteres". ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Delta (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \Delta (A)}$ ${\displaystyle A,}$

Un carácter es un funcional lineal en que es al mismo tiempo multiplicativo y satisface Todo carácter es automáticamente continuo de a puesto que el núcleo de un carácter es un ideal maximal, que es cerrado. Además, la norma (es decir, la norma del operador) de un carácter es uno. Equipado con la topología de convergencia puntual en (es decir, la topología inducida por la topología débil-* de ), el espacio de caracteres es un espacio compacto de Hausdorff. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b),}$ ${\displaystyle \chi (\mathbf {1} )=1.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle \Delta (A),}$

Para cualquier lugar, la representación de Gelfand de se define de la siguiente manera: es la función continua de a dada por El espectro de en la fórmula anterior, es el espectro como elemento del álgebra de funciones continuas complejas en el espacio compacto Explícitamente, ${\displaystyle x\in A,}$ $${\displaystyle \sigma (x)=\sigma ({\hat {x}})}$$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle \Delta (A)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\hat {x}}(\chi )=\chi (x).}$ ${\displaystyle {\hat {x}},}$ ${\displaystyle C(\Delta (A))}$ ${\displaystyle \Delta (A).}$ $${\displaystyle \sigma ({\hat {x}})=\{\chi (x):\chi \in \Delta (A)\}.}$$

Como álgebra, un álgebra de Banach conmutativa unitaria es semisimple (es decir, su radical de Jacobson es cero) si y solo si su representación de Gelfand tiene núcleo trivial. Un ejemplo importante de este tipo de álgebra es un C*-álgebra conmutativa. De hecho, cuando es un C*-álgebra unitaria conmutativa, la representación de Gelfand es entonces un *-isomorfismo isométrico entre y ^[a] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C(\Delta (A)).}$

*-álgebras de Banach

Un *-álgebra de Banach es un álgebra de Banach sobre el cuerpo de números complejos , junto con una función que tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{*}:A\to A}$

1. ${\displaystyle \left(x^{*}\right)^{*}=x}$para todos (por lo que el mapa es una involución ). ${\displaystyle x\in A}$
2. ${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$a pesar de ${\displaystyle x,y\in A.}$
3. ${\displaystyle (\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}}$para cada y cada aquí, denota el conjugado complejo de ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\in A;}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda .}$
4. ${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$a pesar de ${\displaystyle x,y\in A.}$

En otras palabras, un *-álgebra de Banach es un álgebra de Banach que también es un *-álgebra . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

En la mayoría de los ejemplos naturales, también se tiene que la involución es isométrica , es decir, Algunos autores incluyen esta propiedad isométrica en la definición de un *-álgebra de Banach. $${\displaystyle \|x^{*}\|=\|x\|\quad {\text{ for all }}x\in A.}$$

Un *-álgebra de Banach que satisface es un C*-álgebra . ${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x^{*}\|\|x\|}$

Véase también

• Identidad aproximada  : red en un álgebra normada que actúa como sustituto de un elemento identidadPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• La conjetura de Kaplansky  – Numerosas conjeturas del matemático Irving KaplanskyPages displaying short descriptions of redirect targets
• Álgebra de operadores  : rama del análisis funcional
• Límite de Shilov

Notas

1. Demostración: Puesto que cada elemento de un C*-álgebra conmutativa es normal, la representación de Gelfand es isométrica; en particular, es inyectiva y su imagen es cerrada. Pero la imagen de la representación de Gelfand es densa según el teorema de Stone-Weierstrass .

Referencias

1. Conway 1990, Ejemplo VII.1.8.
2. Conway 1990, Ejemplo VII.1.9.
3. Conway 1990, Teorema VII.2.2.
4. García, Miguel Cabrera; Palacios, Angel Rodríguez (1995). "Una nueva demostración simple del teorema de Gelfand-Mazur-Kaplansky". Actas de la American Mathematical Society . 123 (9): 2663–2666. doi :10.2307/2160559. ISSN  0002-9939. JSTOR  2160559.
5. Takesaki 1979, Proposición 2.8.

• Bollobás, B (1990). Análisis lineal . Cambridge University Press. ISBN 0-521-38729-9.
• Bonsall, FF ; Duncan, J. (1973). Complete Normed Algebras . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06386-2.
• Conway, JB (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 96. Springer Verlag . ISBN. 0-387-97245-5.
• Dales, HG; Aeina, P.; Eschmeier, J; Laursen, K.; Willis, GA (2003). Introducción a las álgebras de Banach, operadores y análisis armónico . Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511615429. ISBN 0-521-53584-0.
• Mosak, RD (1975). Álgebras de Banach . Conferencias de matemáticas de Chicago. University of Chicago Press. ISBN 0-226-54203-3.
• Takesaki, M. (1979). Teoría de álgebras de operadores I. Enciclopedia de ciencias matemáticas. Vol. 124 (1.ª ed.). Berlín Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN. 978-3-540-42248-8. ISSN  0938-0396.