teorema de noether

Declaración que relaciona simetrías diferenciables con cantidades conservadas

Primera página del artículo de Emmy Noether "Invariante Variationsprobleme" (1918), donde demostró su teorema.

El teorema de Noether establece que toda simetría continua de la acción de un sistema físico con fuerzas conservativas tiene una ley de conservación correspondiente . Este es el primero de dos teoremas (ver el segundo teorema de Noether ) probado por el matemático Emmy Noether en 1915 y publicado en 1918. ^[1] La acción de un sistema físico es la integral en el tiempo de una función lagrangiana , a partir de la cual se puede determinar el comportamiento del sistema. estar determinada por el principio de acción mínima . Este teorema sólo se aplica a simetrías continuas y suaves del espacio físico .

El teorema de Noether se utiliza en física teórica y cálculo de variaciones . Revela la relación fundamental entre las simetrías de un sistema físico y las leyes de conservación. También hizo que los físicos teóricos modernos se centraran mucho más en las simetrías de los sistemas físicos. Una generalización de las formulaciones sobre constantes de movimiento en la mecánica lagrangiana y hamiltoniana (desarrolladas en 1788 y 1833, respectivamente), no se aplica a sistemas que no pueden modelarse solo con un lagrangiano (por ejemplo, sistemas con una función de disipación de Rayleigh ). En particular, los sistemas disipativos con simetrías continuas no necesitan tener una ley de conservación correspondiente. ^{[ cita necesaria ]}

Ilustraciones básicas y antecedentes.

A modo de ilustración, si un sistema físico se comporta igual independientemente de cómo esté orientado en el espacio (es decir, es invariante ), su Lagrangiano es simétrico bajo rotación continua: a partir de esta simetría, el teorema de Noether dicta que el momento angular del sistema sea conservado, como consecuencia de sus leyes de movimiento. ^{[2] : 126} El sistema físico en sí no tiene por qué ser simétrico; un asteroide irregular que cae en el espacio conserva el momento angular a pesar de su asimetría. Son las leyes de su movimiento las que son simétricas.

Como otro ejemplo, si un proceso físico exhibe los mismos resultados independientemente del lugar o el tiempo, entonces su lagrangiano es simétrico bajo traslaciones continuas en el espacio y el tiempo respectivamente: según el teorema de Noether, estas simetrías explican las leyes de conservación del momento lineal y la energía dentro de este proceso. sistema, respectivamente. ^{[3] : 23  [4] : ​​261}

El teorema de Noether es importante, tanto por la comprensión que proporciona sobre las leyes de conservación como por su práctica herramienta de cálculo. Permite a los investigadores determinar las cantidades conservadas (invariantes) a partir de las simetrías observadas de un sistema físico. Por el contrario, permite a los investigadores considerar clases enteras de lagrangianos hipotéticos con invariantes dadas para describir un sistema físico. ^{[2] : 127} A modo de ilustración, supongamos que se propone una teoría física que conserva una cantidad X . Un investigador puede calcular los tipos de lagrangianos que conservan X mediante una simetría continua. Debido al teorema de Noether, las propiedades de estos lagrangianos proporcionan criterios adicionales para comprender las implicaciones y juzgar la idoneidad de la nueva teoría.

Existen numerosas versiones del teorema de Noether, con distintos grados de generalidad. Existen contrapartes cuánticas naturales de este teorema, expresadas en las identidades Ward-Takahashi . También existen generalizaciones del teorema de Noether a superespacios . ^[5]

Declaración informal del teorema.

Dejando a un lado todos los finos puntos técnicos, el teorema de Noether se puede enunciar de manera informal:

Si un sistema tiene una propiedad de simetría continua, entonces existen cantidades correspondientes cuyos valores se conservan en el tiempo. ^[6]

Una versión más sofisticada del teorema de campos establece que:

A cada simetría continua generada por acciones locales le corresponde una corriente conservada .

La palabra "simetría" en la declaración anterior se refiere más precisamente a la covarianza de la forma que toma una ley física con respecto a un grupo de transformaciones de Lie unidimensional que satisface ciertos criterios técnicos. La ley de conservación de una cantidad física suele expresarse como una ecuación de continuidad .

La prueba formal del teorema utiliza la condición de invariancia para derivar una expresión para una corriente asociada con una cantidad física conservada. En terminología moderna, la cantidad conservada se llama carga de Noether , mientras que el flujo que transporta esa carga se llama corriente de Noether . La corriente de Noether se define como un campo vectorial solenoidal (sin divergencia).

En el contexto de la gravitación, la declaración de Felix Klein del teorema de acción de Noether I estipula para las invariantes: ^[7]

Si una integral I es invariante bajo un grupo continuo G _ρ con ρ parámetros, entonces ρ combinaciones linealmente independientes de las expresiones lagrangianas son divergencias.

Breve ilustración y descripción general del concepto.

Gráfico que ilustra el teorema de Noether para una simetría de coordenadas.

La idea principal detrás del teorema de Noether se ilustra más fácilmente mediante un sistema con una coordenada y una simetría continua (flechas grises en el diagrama). ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \varphi :q\mapsto q+\delta q}$

Considere cualquier trayectoria (en negrita en el diagrama) que satisfaga las leyes de movimiento del sistema . Es decir, la acción que gobierna este sistema es estacionaria en esta trayectoria, es decir, no cambia bajo ninguna variación local de la trayectoria. En particular, no cambiaría bajo una variación que aplica el flujo de simetría en un segmento de tiempo [ t ₀ , t ₁ ] y está inmóvil fuera de ese segmento. Para mantener la trayectoria continua, utilizamos períodos de "amortiguación" de poco tiempo para realizar la transición entre los segmentos de forma gradual. ${\displaystyle q(t)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \tau }$

El cambio total en la acción ahora comprende los cambios provocados por cada intervalo en juego. Partes donde la variación misma desaparece, es decir, afuera no trae . La parte media tampoco cambia la acción, porque su transformación es una simetría y así conserva el lagrangiano y la acción . Las únicas partes que quedan son las piezas "amortiguadoras". En estas regiones, tanto la coordenada como la velocidad cambian, pero cambian en , y el cambio en la coordenada es insignificante en comparación, ya que el lapso de tiempo del almacenamiento en búfer es pequeño (llevado al límite de 0), por lo que . Así pues, las regiones contribuyen principalmente a través de su "inclinación" . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ ${\displaystyle \Delta S}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle L}$ ${\textstyle S=\int L}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\dot {q}}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}}$ ${\displaystyle \delta q/\tau }$ ${\displaystyle \delta q}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \delta q/\tau \gg \delta q}$ ${\displaystyle {\dot {q}}\rightarrow {\dot {q}}\pm \delta q/\tau }$

Eso cambia el lagrangiano por , que se integra a ${\displaystyle \Delta L\approx {\bigl (}\partial L/\partial {\dot {q}}{\bigr )}\Delta {\dot {q}}}$

$${\displaystyle \Delta S=\int \Delta L\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\Delta {\dot {q}}\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\left(\pm {\frac {\delta q}{\tau }}\right)\approx \ \pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q=\pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi .}$$

Estos últimos términos, evaluados alrededor de los puntos finales y , deberían cancelarse entre sí para que el cambio total en la acción sea cero, como se esperaría si la trayectoria fuera una solución. Eso es ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle \Delta S}$

$${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi \right)(t_{0})=\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi \right)(t_{1}),}$$

${\displaystyle \left(\partial L/\partial {\dot {q}}\right)\varphi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \left(\partial L/\partial {\dot {q}}\right)=p}$

Casos más generales siguen la misma idea:

• Cuando más coordenadas sufren una transformación de simetría , sus efectos se suman por linealidad a una cantidad conservada . ${\displaystyle q_{r}}$ ${\displaystyle q_{r}\mapsto q_{r}+\varphi _{r}}$ ${\textstyle \sum _{r}\left(\partial L/\partial {\dot {q}}_{r}\right)\varphi _{r}}$
• Cuando hay transformaciones de tiempo , hacen que los segmentos de "almacenamiento en búfer" contribuyan con los dos términos siguientes a : ${\displaystyle t\mapsto t+T}$ ${\displaystyle \Delta S}$
  $${\displaystyle \Delta S\approx \pm \left(TL+\int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{r}}}\Delta {\dot {q}}_{r}\right)\approx \pm T\left(L-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{r}}}{\dot {q}}_{r}\right),}$$
  El primer término se debe al estiramiento en la dimensión temporal del segmento "amortiguador" (que cambia el tamaño del dominio de integración), y el segundo se debe a su "inclinación" tal como en el caso ejemplar. Juntos suman un sumando a la cantidad conservada. ${\textstyle T\left(L-\sum _{r}\left(\partial L/\partial {\dot {q}}_{r}\right){\dot {q}}_{r}\right)}$
• Finalmente, cuando en lugar de una trayectoria se consideran campos completos , el argumento reemplaza ${\displaystyle q(t)}$ ${\displaystyle \psi (q_{r},t)}$
  • el intervalo con una región acotada del dominio -, ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (q_{r},t)}$
  • los extremos y con el límite de la región, ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle \partial U}$
  • y su contribución a se interpreta como un flujo de una corriente conservada , que se construye de forma análoga a la definición anterior de cantidad conservada. ${\displaystyle \Delta S}$ ${\displaystyle j_{r}}$
  Ahora, la contribución nula del "amortiguamiento" se interpreta como la desaparición del flujo total de corriente a través del . Éste es el sentido en el que se conserva: cuanto "fluye" hacia adentro, tanto "fluye" hacia afuera. ${\displaystyle \partial U}$ ${\displaystyle \Delta S}$ ${\displaystyle j_{r}}$ ${\displaystyle \partial U}$

Contexto histórico

Una ley de conservación establece que alguna cantidad X en la descripción matemática de la evolución de un sistema permanece constante durante todo su movimiento: es una invariante . Matemáticamente, la tasa de cambio de X (su derivada con respecto al tiempo ) es cero,

${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}={\dot {X}}=0~.}$

Se dice que tales cantidades se conservan; a menudo se les llama constantes de movimiento (aunque no es necesario que esté involucrado el movimiento per se , solo la evolución en el tiempo). Por ejemplo, si la energía de un sistema se conserva, su energía es invariante en todo momento, lo que impone una restricción al movimiento del sistema y puede ayudar a resolverlo. Aparte de la información que tales constantes de movimiento brindan sobre la naturaleza de un sistema, son una herramienta de cálculo útil; por ejemplo, una solución aproximada se puede corregir encontrando el estado más cercano que satisfaga las leyes de conservación adecuadas.

Las primeras constantes de movimiento descubiertas fueron el impulso y la energía cinética , propuestas en el siglo XVII por René Descartes y Gottfried Leibniz sobre la base de experimentos de colisión y perfeccionadas por investigadores posteriores. Isaac Newton fue el primero en enunciar la conservación del impulso en su forma moderna y demostró que era una consecuencia de las leyes del movimiento de Newton . Según la relatividad general , las leyes de conservación del momento lineal, la energía y el momento angular sólo son exactamente ciertas a nivel global cuando se expresan en términos de la suma del tensor tensión-energía (tensión-energía no gravitacional) y el tensor tensión-energía de Landau-Lifshitz. –pseudotensor de momento (estrés gravitacional-energía). La conservación local del momento y la energía lineales no gravitacionales en un sistema de referencia en caída libre se expresa mediante la desaparición de la divergencia covariante del tensor tensión-energía . Otra cantidad conservada importante, descubierta en estudios de la mecánica celeste de los cuerpos astronómicos, es el vector de Laplace-Runge-Lenz .

A finales del siglo XVIII y principios del XIX, los físicos desarrollaron métodos más sistemáticos para descubrir invariantes. Un avance importante se produjo en 1788 con el desarrollo de la mecánica lagrangiana , que está relacionada con el principio de mínima acción . En este enfoque, el estado del sistema puede describirse mediante cualquier tipo de coordenadas generalizadas q ; Las leyes del movimiento no necesitan expresarse en un sistema de coordenadas cartesiano , como era habitual en la mecánica newtoniana. La acción se define como la integral de tiempo I de una función conocida como Lagrangiana  L

${\displaystyle I=\int L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt~,}$

donde el punto sobre q significa la tasa de cambio de las coordenadas q ,

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}~.}$

El principio de Hamilton establece que el camino físico q ( t ), el que realmente toma el sistema, es un camino para el cual variaciones infinitesimales en ese camino no causan cambios en I , al menos hasta el primer orden. Este principio da como resultado las ecuaciones de Euler-Lagrange ,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}~.}$

Por lo tanto, si una de las coordenadas, digamos q _k , no aparece en el lagrangiano, el lado derecho de la ecuación es cero y el lado izquierdo requiere que

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)={\frac {dp_{k}}{dt}}=0~,}$

donde el impulso

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}}$

se conserva durante todo el movimiento (en el camino físico).

Así, la ausencia de la coordenada ignorable q _k del lagrangiano implica que el lagrangiano no se ve afectado por cambios o transformaciones de q _k ; el lagrangiano es invariante y se dice que exhibe simetría bajo tales transformaciones. Ésta es la idea semilla generalizada en el teorema de Noether.

En el siglo XIX se desarrollaron varios métodos alternativos para encontrar cantidades conservadas, especialmente por William Rowan Hamilton . Por ejemplo, desarrolló una teoría de transformaciones canónicas que permitía cambiar las coordenadas de modo que algunas coordenadas desaparecieran del lagrangiano, como se indicó anteriormente, lo que resultaba en momentos canónicos conservados. Otro enfoque, y quizás el más eficaz para encontrar cantidades conservadas, es la ecuación de Hamilton-Jacobi .

expresión matemática

Forma simple usando perturbaciones.

La esencia del teorema de Noether es generalizar la noción de coordenadas ignorables.

Se puede suponer que el Lagrangiano L definido anteriormente es invariante bajo pequeñas perturbaciones (deformaciones) de la variable de tiempo t y las coordenadas generalizadas q . uno puede escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}t&\rightarrow t^{\prime }=t+\delta t\\\mathbf {q} &\rightarrow \mathbf {q} ^{\prime }=\mathbf {q} +\delta \mathbf {q} ~,\end{aligned}}}$

donde las perturbaciones δt y δ q son pequeñas, pero variables. Para mayor generalidad, supongamos que hay (digamos) N tales transformaciones de simetría de la acción, es decir, transformaciones que dejan la acción sin cambios; etiquetado por un índice r  = 1, 2, 3, ...,  N .

Entonces la perturbación resultante se puede escribir como una suma lineal de los tipos individuales de perturbaciones,

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta t&=\sum _{r}\varepsilon _{r}T_{r}\\\delta \mathbf {q} &=\sum _{r}\varepsilon _{r}\mathbf {Q} _{r}~,\end{aligned}}}$

donde ε _r son coeficientes de parámetros infinitesimales correspondientes a cada uno:

• generador T _r de evolución temporal , y
• generador Q _r de las coordenadas generalizadas.

Para traslaciones, Q _r es una constante con unidades de longitud ; para rotaciones, es una expresión lineal en las componentes de q , y los parámetros forman un ángulo .

Usando estas definiciones, Noether demostró que las N cantidades

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T_{r}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}}$

se conservan ( constantes de movimiento ).

Ejemplos

I. Invariancia del tiempo

A modo de ilustración, consideremos un lagrangiano que no depende del tiempo, es decir, que es invariante (simétrico) ante cambios t → t + δ t , sin ningún cambio en las coordenadas q . En este caso, N  = 1, T  = 1 y Q  = 0; la cantidad conservada correspondiente es la energía total H ^{[8] : 401}

${\displaystyle H={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L.}$

II. Invariancia traslacional

Considere un lagrangiano que no depende de una coordenada q _k ("ignorable", como arriba) ; por lo que es invariante (simétrico) ante cambios q _k → q _k + δq _k . En ese caso, N  = 1, T  = 0 y Q _k  = 1; la cantidad conservada es el momento lineal correspondiente p _k ^{[8] : 403–404}

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}.}$

En la relatividad especial y general , estas dos leyes de conservación se pueden expresar globalmente (como se hizo anteriormente) o localmente como una ecuación de continuidad. Las versiones globales se pueden unir en una única ley de conservación global: la conservación del 4-vector energía-momento. Las versiones locales de conservación de energía y momento (en cualquier punto del espacio-tiempo) también pueden unirse en la conservación de una cantidad definida localmente en el punto espacio-temporal: el tensor tensión-energía ^{[9] : 592} (esto se derivará en la siguiente sección).

III. Invariancia rotacional

La conservación del momento angular L = r × p es análoga a su contraparte del momento lineal. ^{[8] : 404–405} Se supone que la simetría del Lagrangiano es rotacional, es decir, que el Lagrangiano no depende de la orientación absoluta del sistema físico en el espacio. Para ser más concretos, supongamos que el lagrangiano no cambia bajo pequeñas rotaciones de un ángulo δθ alrededor de un eje n ; tal rotación transforma las coordenadas cartesianas mediante la ecuación

${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\delta \theta \,\mathbf {n} \times \mathbf {r} .}$

Dado que el tiempo no se transforma, T = 0 y N = 1. Tomando δθ como parámetro ε y las coordenadas cartesianas r como coordenadas generalizadas q , las variables Q correspondientes están dadas por

${\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {n} \times \mathbf {r} .}$

Entonces el teorema de Noether establece que se conserva la siguiente cantidad,

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} =\mathbf {p} \cdot \left(\mathbf {n} \times \mathbf {r} \right)=\mathbf {n} \cdot \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)=\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} .}$

En otras palabras, se conserva la componente del momento angular L a lo largo del eje n . Y si n es arbitrario, es decir, si el sistema es insensible a cualquier rotación, entonces cada componente de L se conserva; en resumen, se conserva el momento angular .

Versión de la teoría de campo.

Aunque útil por derecho propio, la versión del teorema de Noether que acabamos de presentar es un caso especial de la versión general obtenida en 1915. Para dar una idea del teorema general, se presenta una versión del teorema de Noether para campos continuos en el espacio- tiempo de cuatro dimensiones. ahora está dado. Dado que los problemas de teoría de campos son más comunes en la física moderna que los problemas de mecánica , esta versión de la teoría de campos es la versión más comúnmente utilizada (o implementada con mayor frecuencia) del teorema de Noether.

Sea un conjunto de campos diferenciables definidos en todo el espacio y el tiempo; por ejemplo, la temperatura sería representativa de dicho campo, siendo un número definido en cada lugar y momento. El principio de acción mínima se puede aplicar a tales campos, pero la acción ahora es integral en el espacio y el tiempo. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle T(\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {\mathcal {L}}\left(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x^{\mu }\right)\,d^{4}x}$

(El teorema se puede generalizar aún más al caso en el que el lagrangiano depende hasta de la enésima ^derivada , y también se puede formular utilizando haces de chorros ).

Una transformación continua de los campos se puede escribir infinitamente como ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi +\varepsilon \Psi ,}$

donde es en general una función que puede depender tanto de como de . La condición para generar una simetría física es que la acción se deje invariante. Esto ciertamente será cierto si la densidad lagrangiana se deja invariante, pero también será cierto si la densidad lagrangiana cambia por una divergencia, ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon \partial _{\mu }\Lambda ^{\mu },}$

ya que la integral de una divergencia se convierte en un término límite según el teorema de la divergencia . Un sistema descrito por una acción dada podría tener múltiples simetrías independientes de este tipo, indexadas por lo que la transformación de simetría más general se escribiría como ${\displaystyle r=1,2,\ldots ,N,}$

${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi +\varepsilon _{r}\Psi _{r},}$

con la consecuencia

${\displaystyle {\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon _{r}\partial _{\mu }\Lambda _{r}^{\mu }.}$

Para tales sistemas, el teorema de Noether establece que existen densidades de corriente conservadas ${\displaystyle N}$

${\displaystyle j_{r}^{\nu }=\Lambda _{r}^{\nu }-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}\cdot \Psi _{r}}$

(donde se entiende que el producto escalar contrae los índices de campo , no el índice o índice). ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle r}$

En tales casos, la ley de conservación se expresa en forma cuatridimensional.

${\displaystyle \partial _{\nu }j^{\nu }=0,}$

que expresa la idea de que la cantidad de una cantidad conservada dentro de una esfera no puede cambiar a menos que parte de ella fluya fuera de la esfera. Por ejemplo, se conserva la carga eléctrica ; la cantidad de carga dentro de una esfera no puede cambiar a menos que parte de la carga abandone la esfera.

A modo de ilustración, consideremos un sistema físico de campos que se comporta igual bajo traslaciones en el tiempo y el espacio, como se consideró anteriormente; es decir, es constante en su tercer argumento. En ese caso, N  = 4, uno para cada dimensión de espacio y tiempo. Una traslación infinitesimal en el espacio (que denota el delta de Kronecker ), afecta a los campos como : es decir, volver a etiquetar las coordenadas equivale a dejar las coordenadas en su lugar mientras se traduce el campo mismo, lo que a su vez equivale a transformar el campo reemplazando su valor en cada punto con el valor en el punto "detrás" de él que sería mapeado por el desplazamiento infinitesimal bajo consideración. Como esto es infinitesimal, podemos escribir esta transformación como ${\displaystyle L\left({\boldsymbol {\varphi }},\partial _{\mu }{\boldsymbol {\varphi }},x^{\mu }\right)}$ ${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varphi (x^{\mu })\mapsto \varphi \left(x^{\mu }-\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }\right)}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle x^{\mu }-\varepsilon X^{\mu }}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$

${\displaystyle \Psi _{r}=-\delta _{r}^{\mu }\partial _{\mu }\varphi .}$

La densidad lagrangiana se transforma de la misma manera, por lo que ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(x^{\mu }\right)\mapsto {\mathcal {L}}\left(x^{\mu }-\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }\right)}$

${\displaystyle \Lambda _{r}^{\mu }=-\delta _{r}^{\mu }{\mathcal {L}}}$

y por tanto el teorema de Noether corresponde ^{[9] : 592} a la ley de conservación del tensor tensión-energía T _μ ^ν , donde hemos utilizado en lugar de . A saber, al usar la expresión dada anteriormente y reunir las cuatro corrientes conservadas (una para cada una ) en un tensor , el teorema de Noether da ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T_{\mu }{}^{\nu }=-\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}+\delta _{\mu }^{\sigma }\partial _{\sigma }\varphi {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}=\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}\right)\cdot \varphi _{,\mu }-\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}}$

con

${\displaystyle T_{\mu }{}^{\nu }{}_{,\nu }=0}$

(lo reetiquetamos como en un paso intermedio para evitar conflictos). (Sin embargo, lo obtenido de esta manera puede diferir del tensor simétrico utilizado como término fuente en la relatividad general; consulte Tensor canónico de tensión-energía ). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle T}$

La conservación de la carga eléctrica , por el contrario, se puede derivar considerando Ψ lineal en los campos φ en lugar de en las derivadas. ^{[9] : 593–594} En mecánica cuántica , la amplitud de probabilidad ψ ( x ) de encontrar una partícula en un punto x es un campo complejo φ , porque atribuye un número complejo a cada punto en el espacio y el tiempo. La amplitud de la probabilidad en sí misma es físicamente inmedible; sólo la probabilidad p = | ψ | ² se puede inferir a partir de un conjunto de medidas. Por tanto, el sistema es invariante ante transformaciones del campo ψ y su campo conjugado complejo ψ ^* que dejan | ψ | ² sin cambios, como

${\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\theta }\psi \ ,\ \psi ^{*}\rightarrow e^{-i\theta }\psi ^{*}~,}$

una rotación compleja. En el límite cuando la fase θ se vuelve infinitamente pequeña, δθ , se puede tomar como parámetro ε , mientras que los Ψ son iguales a iψ y −iψ * , respectivamente. Un ejemplo específico es la ecuación de Klein-Gordon , la versión relativista correcta de la ecuación de Schrödinger para partículas sin espín , que tiene la densidad lagrangiana.

${\displaystyle L=\partial _{\nu }\psi \partial _{\mu }\psi ^{*}\eta ^{\nu \mu }+m^{2}\psi \psi ^{*}.}$

En este caso, el teorema de Noether establece que la corriente conservada (∂ ⋅  j  = 0) es igual

${\displaystyle j^{\nu }=i\left({\frac {\partial \psi }{\partial x^{\mu }}}\psi ^{*}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x^{\mu }}}\psi \right)\eta ^{\nu \mu }~,}$

que, cuando se multiplica por la carga de esa especie de partícula, es igual a la densidad de corriente eléctrica debida a ese tipo de partícula. Esta "invariancia de calibre" fue notada por primera vez por Hermann Weyl y es uno de los prototipos de simetrías de calibre de la física.

Derivaciones

Una variable independiente

Consideremos el caso más simple, un sistema con una variable independiente, el tiempo. Supongamos que las variables dependientes q son tales que la integral de acción

$${\displaystyle I=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} [t],{\dot {\mathbf {q} }}[t],t]\,dt}$$

es invariante ante breves variaciones infinitesimales en las variables dependientes. En otras palabras, satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}[t]={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}[t].}$

Y supongamos que la integral es invariante bajo una simetría continua. Matemáticamente dicha simetría se representa como un flujo , φ , que actúa sobre las variables de la siguiente manera

${\displaystyle {\begin{aligned}t&\rightarrow t'=t+\varepsilon T\\\mathbf {q} [t]&\rightarrow \mathbf {q} '[t']=\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]=\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]\end{aligned}}}$

donde ε es una variable real que indica la cantidad de flujo y T es una constante real (que podría ser cero) que indica cuánto se desplaza el flujo en el tiempo.

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}[t]\rightarrow {\dot {\mathbf {q} }}'[t']={\frac {d}{dt}}\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]={\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T].}$

La integral de acción fluye hacia

${\displaystyle {\begin{aligned}I'[\varepsilon ]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\mathbf {q} '[t'],{\dot {\mathbf {q} }}'[t'],t']\,dt'\\[6pt]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ],{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T],t']\,dt'\end{aligned}}}$

que puede considerarse como una función de ε . Calculando la derivada en ε' = 0 y usando la regla de Leibniz , obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\left(-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}^{2}T+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}T\right)\,dt.\end{aligned}}}$

Observe que las ecuaciones de Euler-Lagrange implican

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T\right)&=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T\\[6pt]&={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T.\end{aligned}}}$

Sustituyendo esto en la ecuación anterior, se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}\,dt.\end{aligned}}}$

Nuevamente usando las ecuaciones de Euler-Lagrange obtenemos

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}.}$

Sustituyendo esto en la ecuación anterior, se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}0={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{2}]-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{1}].\end{aligned}}}$

De donde se puede ver que

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}}$

es una constante del movimiento, es decir, es una cantidad conservada. Dado que φ[ q , 0] = q , obtenemos y entonces la cantidad conservada se simplifica a ${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}=1}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}.}$

Para evitar una complicación excesiva de las fórmulas, esta derivación asumió que el flujo no cambia con el paso del tiempo. Se puede obtener el mismo resultado en el caso más general.

Derivación de la teoría de campos

El teorema de Noether también se puede derivar para campos tensoriales donde el índice A varía entre los distintos componentes de los distintos campos tensoriales. Estas cantidades de campo son funciones definidas en un espacio de cuatro dimensiones cuyos puntos están etiquetados por coordenadas x ^μ donde el índice μ varía en el tiempo ( μ  = 0) y tres dimensiones espaciales ( μ  = 1, 2, 3). Estas cuatro coordenadas son las variables independientes; y los valores de los campos en cada evento son las variables dependientes. Bajo una transformación infinitesimal, la variación en las coordenadas se escribe ${\displaystyle \varphi ^{A}}$

${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow \xi ^{\mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }}$

mientras que la transformación de las variables de campo se expresa como

${\displaystyle \varphi ^{A}\rightarrow \alpha ^{A}\left(\xi ^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+\delta \varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.}$

Según esta definición, las variaciones del campo resultan de dos factores: cambios intrínsecos en el propio campo y cambios en las coordenadas, ya que el campo transformado α ^A depende de las coordenadas transformadas ξ ^​​μ . Para aislar los cambios intrínsecos, se puede definir la variación del campo en un solo punto x ^μ ${\displaystyle \delta \varphi ^{A}}$

${\displaystyle \alpha ^{A}\left(x^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.}$

Si se cambian las coordenadas, también cambia el límite de la región del espacio-tiempo sobre la que se integra el lagrangiano; el límite original y su versión transformada se denotan como Ω y Ω', respectivamente.

El teorema de Noether comienza con el supuesto de que una transformación específica de las coordenadas y las variables de campo no cambia la acción , que se define como la integral de la densidad lagrangiana sobre una región dada del espacio-tiempo. Expresado matemáticamente, este supuesto puede escribirse como

${\displaystyle \int _{\Omega ^{\prime }}L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },\xi ^{\mu }\right)d^{4}\xi -\int _{\Omega }L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)d^{4}x=0}$

donde el subíndice de la coma indica una derivada parcial con respecto a las coordenadas que siguen a la coma, por ejemplo

${\displaystyle {\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}\,.}$

Dado que ξ es una variable ficticia de integración, y dado que el cambio en la frontera Ω es infinitesimal por supuesto, las dos integrales se pueden combinar usando la versión de cuatro dimensiones del teorema de la divergencia en la siguiente forma

${\displaystyle \int _{\Omega }\left\{\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left[L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right]\right\}d^{4}x=0\,.}$

La diferencia en lagrangianos se puede escribir en primer orden en las variaciones infinitesimales como

${\displaystyle \left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }\,.}$

Sin embargo, debido a que las variaciones se definen en el mismo punto descrito anteriormente, la variación y la derivada se pueden realizar en orden inverso; ellos viajan

${\displaystyle {\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\bar {\delta }}{\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right)\,.}$

Usando las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}}$

la diferencia en lagrangianos se puede escribir claramente como

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]\\[4pt]={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right){\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right).\end{aligned}}}$

Por tanto, el cambio en la acción se puede escribir como

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}d^{4}x=0\,.}$

Como esto es válido para cualquier región Ω, el integrando debe ser cero

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}=0\,.}$

Para cualquier combinación de las diversas transformaciones de simetría , la perturbación se puede escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta x^{\mu }&=\varepsilon X^{\mu }\\\delta \varphi ^{A}&=\varepsilon \Psi ^{A}={\bar {\delta }}\varphi ^{A}+\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\end{aligned}}}$

¿Dónde está la derivada de Lie en la dirección X ^{μ ?} ¿ Cuándo es un escalar o ? ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}}$ ${\displaystyle \varphi ^{A}}$ ${\displaystyle \varphi ^{A}}$ ${\displaystyle {X^{\mu }}_{,\nu }=0}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\mu }}}X^{\mu }\,.}$

Estas ecuaciones implican que la variación del campo tomada en un punto es igual

${\displaystyle {\bar {\delta }}\varphi ^{A}=\varepsilon \Psi ^{A}-\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\,.}$

Al diferenciar la divergencia anterior con respecto a ε en ε  = 0 y cambiar el signo se obtiene la ley de conservación

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}j^{\sigma }=0}$

donde la corriente conservada es igual

${\displaystyle j^{\sigma }=\left[{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}-L\,X^{\sigma }\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)\Psi ^{A}\,.}$

Derivación del colector/haz de fibras

Supongamos que tenemos una variedad Riemanniana orientada de n dimensiones , M , y una variedad objetivo T. Sea el espacio de configuración de funciones suaves de M a T. (De manera más general, podemos tener secciones suaves de un haz de fibras sobre M ). ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Ejemplos de esta M en física incluyen:

• En mecánica clásica , en la formulación hamiltoniana , M es la variedad unidimensional , que representa el tiempo y el espacio objetivo es el paquete cotangente de espacio de posiciones generalizadas. ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• En teoría de campos , M es la variedad del espacio-tiempo y el espacio objetivo es el conjunto de valores que los campos pueden tomar en cualquier punto dado. Por ejemplo, si hay m campos escalares de valor real , entonces la variedad objetivo es . Si el campo es un campo vectorial real, entonces la variedad objetivo es isomorfa a . ${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Ahora supongamos que hay un funcional

${\displaystyle {\mathcal {S}}:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} ,}$

llamó a la acción . (Toma valores en , en lugar de ; esto se debe a razones físicas y no es importante para esta prueba). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Para llegar a la versión habitual del teorema de Noether, necesitamos restricciones adicionales a la acción . Suponemos que es la integral sobre M de una función. ${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x)}$

llamada densidad lagrangiana , dependiendo de su derivada y la posición. En otras palabras, porque en ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]\,=\,\int _{M}{\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x]\,d^{n}x.}$

Supongamos que se nos dan condiciones de frontera , es decir, una especificación del valor de en la frontera si M es compacto , o algún límite cuando x se aproxima a ∞. Entonces el subespacio de consta de funciones tales que todas las derivadas funcionales de at son cero, es decir: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi (x)}}\approx 0}$

y que satisface las condiciones de contorno dadas, es el subespacio de soluciones en capa . (Ver principio de acción estacionaria ) ${\displaystyle \varphi }$

Ahora supongamos que tenemos una transformación infinitesimal en , generada por una derivación funcional , Q tal que ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]\approx \int _{\partial N}f^{\mu }[\varphi (x),\partial \varphi ,\partial \partial \varphi ,\ldots ]\,ds_{\mu }}$

para todas las subvariedades compactas N o en otras palabras,

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}(x)]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }(x)}$

para todo x , donde establecemos

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)={\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x].}$

Si esto se cumple dentro y fuera de la capa , decimos que Q genera una simetría fuera de la capa. Si esto solo se cumple en el caparazón , decimos que Q genera una simetría en el caparazón. Entonces, decimos que Q es un generador de un grupo de Lie de simetría de un parámetro .

Ahora, para cualquier N , debido al teorema de Euler-Lagrange , en el nivel (y sólo en el nivel), tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]&=\int _{N}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right]Q[\varphi ]\,\mathrm {d} ^{n}x+\int _{\partial N}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]\,\mathrm {d} s_{\mu }\\&\approx \int _{\partial N}f^{\mu }\,\mathrm {d} s_{\mu }.\end{aligned}}}$

Como esto es cierto para cualquier N , tenemos

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu }\right]\approx 0.}$

Pero esta es la ecuación de continuidad para la corriente definida por: ^[10] ${\displaystyle J^{\mu }}$

${\displaystyle J^{\mu }\,=\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu },}$

que se llama corriente de Noether asociada a la simetría . La ecuación de continuidad nos dice que si integramos esta corriente en una porción similar al espacio , obtenemos una cantidad conservada llamada carga de Noether (siempre, por supuesto, que si M no es compacto, las corrientes disminuyen lo suficientemente rápido en el infinito).

Comentarios

El teorema de Noether es un teorema de capa : se basa en el uso de las ecuaciones de movimiento: el camino clásico. Refleja la relación entre las condiciones de contorno y el principio variacional. Suponiendo que no haya términos límite en la acción, el teorema de Noether implica que

${\displaystyle \int _{\partial N}J^{\mu }ds_{\mu }\approx 0.}$

Los análogos cuánticos del teorema de Noether que implican valores esperados (p. ej., ) que sondean también cantidades de capa son las identidades de Ward-Takahashi . ${\textstyle \left\langle \int d^{4}x~\partial \cdot {\textbf {J}}\right\rangle =0}$

Generalización a álgebras de Lie

Supongamos que tenemos dos derivaciones de simetría Q ₁ y Q ₂ . Entonces, [ Q ₁ ,  Q ₂ ] también es una derivación de simetría. Veamos esto explícitamente. Déjanos decir

$${\displaystyle Q_{1}[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f_{1}^{\mu }}$$

$${\displaystyle Q_{2}[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f_{2}^{\mu }}$$

Entonces,

$${\displaystyle [Q_{1},Q_{2}][{\mathcal {L}}]=Q_{1}[Q_{2}[{\mathcal {L}}]]-Q_{2}[Q_{1}[{\mathcal {L}}]]\approx \partial _{\mu }f_{12}^{\mu }}$$

f ₁₂Q ₁f ₂ ^μQ ₂f ₁ ^μ

$${\displaystyle j_{12}^{\mu }=\left({\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right)(Q_{1}[Q_{2}[\varphi ]]-Q_{2}[Q_{1}[\varphi ]])-f_{12}^{\mu }.}$$

Esto muestra que podemos extender el teorema de Noether a álgebras de Lie más grandes de forma natural.

Generalización de la prueba.

Esto se aplica a cualquier derivación de simetría local Q que satisfaga QS  ≈ 0, y también a acciones diferenciables funcionales locales más generales, incluidas aquellas en las que el lagrangiano depende de derivadas superiores de los campos. Sea ε cualquier función suave y arbitraria de la variedad espacio-temporal (o temporal) tal que el cierre de su soporte sea disjunto de la frontera. ε  es una función de prueba . Entonces, debido al principio variacional (que, por cierto, no se aplica a la frontera), la distribución de derivación q generada por q [ ε ][Φ( x )] = ε ( x ) Q [Φ( x )] satisface q [ ε ][ S ] ≈ 0 para cada  ε , o más compactamente, q ( x )[ S ] ≈ 0 para todo x que no esté en el límite (pero recuerde que q ( x ) es una abreviatura de una distribución de derivación , no una derivación parametrizada por x en general). Ésta es la generalización del teorema de Noether.

Para ver cómo se relaciona la generalización con la versión dada anteriormente, supongamos que la acción es la integral espacio-temporal de un lagrangiano que solo depende de y sus primeras derivadas. Además, suponga ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }}$

Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}q[\varepsilon ][{\mathcal {S}}]&=\int q[\varepsilon ][{\mathcal {L}}]d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\left({\frac {\partial }{\partial \varphi }}{\mathcal {L}}\right)\varepsilon Q[\varphi ]+\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\mu }(\varepsilon Q[\varphi ])\right\}d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\varepsilon Q[{\mathcal {L}}]+\partial _{\mu }\varepsilon \left[{\frac {\partial }{\partial \left(\partial _{\mu }\varphi \right)}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\\[6pt]&\approx \int \varepsilon \partial _{\mu }\left\{f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\end{aligned}}}$

para todos . ${\displaystyle \varepsilon }$

De manera más general, si el lagrangiano depende de derivadas superiores, entonces

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-2\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\nu }Q[\varphi ]+\partial _{\nu }\left[\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right]-\,\dotsm \right]\approx 0.}$

Ejemplos

Ejemplo 1: Conservación de energía

Observando el caso específico de una partícula newtoniana de masa m , coordenada x , que se mueve bajo la influencia de un potencial V , coordinado por el tiempo t . La acción , S , es:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}[x]&=\int L\left[x(t),{\dot {x}}(t)\right]\,dt\\&=\int \left({\frac {m}{2}}\sum _{i=1}^{3}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x(t))\right)\,dt.\end{aligned}}}$

El primer término entre paréntesis es la energía cinética de la partícula, mientras que el segundo es su energía potencial . Considere el generador de traslaciones de tiempo Q = d / dt . En otras palabras, . La coordenada x tiene una dependencia explícita del tiempo, mientras que V no; como consecuencia: ${\displaystyle Q[x(t)]={\dot {x}}(t)}$

${\displaystyle Q[L]={\frac {d}{dt}}\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}{\ddot {x}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial V(x)}{\partial x_{i}}}{\dot {x}}_{i}}$

para que podamos establecer

${\displaystyle L={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x).}$

Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}j&=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}Q[x_{i}]-L\\&=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]\\[3pt]&={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}+V(x).\end{aligned}}}$

El lado derecho es la energía, y el teorema de Noether establece que (es decir, el principio de conservación de la energía es una consecuencia de la invariancia bajo traslaciones de tiempo). ${\displaystyle dj/dt=0}$

De manera más general, si el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo, la cantidad

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}{\dot {x_{i}}}-L}$

(llamado hamiltoniano ) se conserva.

Ejemplo 2: Conservación del centro de impulso

Aún considerando el tiempo unidimensional, dejemos

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}\left[{\vec {x}}\right]&=\int {\mathcal {L}}\left[{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t)\right]dt\\[3pt]&=\int \left[\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {m_{\alpha }}{2}}\left({\dot {\vec {x}}}_{\alpha }\right)^{2}-\sum _{\alpha <\beta }V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\right]dt,\end{aligned}}}$

para partículas newtonianas donde el potencial solo depende por pares del desplazamiento relativo. ${\displaystyle N}$

Para , considere el generador de transformaciones galileanas (es decir, un cambio en el marco de referencia). En otras palabras, ${\displaystyle {\vec {Q}}}$

${\displaystyle Q_{i}\left[x_{\alpha }^{j}(t)\right]=t\delta _{i}^{j}.}$

Y

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{i}[{\mathcal {L}}]&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}-\sum _{\alpha <\beta }t\partial _{i}V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}.\end{aligned}}}$

Esto tiene la forma de para que podamos configurar ${\textstyle {\frac {d}{dt}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }^{i}}$

${\displaystyle {\vec {f}}=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }.}$

Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {j}}&=\sum _{\alpha }\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {\vec {x}}}_{\alpha }}}{\mathcal {L}}\right)\cdot {\vec {Q}}\left[{\vec {x}}_{\alpha }\right]-{\vec {f}}\\[6pt]&=\sum _{\alpha }\left(m_{\alpha }{\dot {\vec {x}}}_{\alpha }t-m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\[3pt]&={\vec {P}}t-M{\vec {x}}_{CM}\end{aligned}}}$

donde es el momento total, M es la masa total y es el centro de masa. El teorema de Noether establece: ${\displaystyle {\vec {P}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{CM}}$

${\displaystyle {\frac {d{\vec {j}}}{dt}}=0\Rightarrow {\vec {P}}-M{\dot {\vec {x}}}_{CM}=0.}$

Ejemplo 3: transformación conforme

Ambos ejemplos 1 y 2 están sobre una variedad unidimensional (tiempo). Un ejemplo que involucra el espaciotiempo es una transformación conforme de un campo escalar real sin masa con un potencial cuártico en (3 + 1) -espaciotiempo de Minkowski .

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}[\varphi ]&=\int {\mathcal {L}}\left[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x)\right]d^{4}x\\[3pt]&=\int \left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right)d^{4}x\end{aligned}}}$

Para Q , considere el generador de un reescalado del espacio-tiempo. En otras palabras,

${\displaystyle Q[\varphi (x)]=x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi (x)+\varphi (x).}$

El segundo término del lado derecho se debe al "peso conforme" de . Y ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]=\partial ^{\mu }\varphi \left(\partial _{\mu }\varphi +x^{\nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi +\partial _{\mu }\varphi \right)-4\lambda \varphi ^{3}\left(x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi +\varphi \right).}$

Este tiene la forma de

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {1}{2}}x^{\mu }\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda x^{\mu }\varphi ^{4}\right]=\partial _{\mu }\left(x^{\mu }{\mathcal {L}}\right)}$

(donde hemos realizado un cambio de índices ficticios) así que establezca

${\displaystyle f^{\mu }=x^{\mu }{\mathcal {L}}.}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\mu }&=\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-f^{\mu }\\&=\partial ^{\mu }\varphi \left(x^{\nu }\partial _{\nu }\varphi +\varphi \right)-x^{\mu }\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right).\end{aligned}}}$

El teorema de Noether establece que (como se puede comprobar explícitamente sustituyendo las ecuaciones de Euler-Lagrange en el lado izquierdo). ${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0}$

Si uno intenta encontrar el análogo de Ward-Takahashi de esta ecuación, se encuentra con un problema debido a anomalías .

Aplicaciones

La aplicación del teorema de Noether permite a los físicos obtener importantes conocimientos sobre cualquier teoría general de la física, simplemente analizando las diversas transformaciones que harían invariante la forma de las leyes involucradas. Por ejemplo:

• La invariancia de un sistema aislado con respecto a la traslación espacial (en otras palabras, que las leyes de la física son las mismas en todos los lugares del espacio) da la ley de conservación del momento lineal (que establece que el momento lineal total de un sistema aislado es constante)
• La invariancia de un sistema aislado con respecto a la traslación del tiempo (es decir, que las leyes de la física son las mismas en todos los momentos) da la ley de conservación de la energía (que establece que la energía total de un sistema aislado es constante)
• La invariancia de un sistema aislado con respecto a la rotación (es decir, que las leyes de la física son las mismas con respecto a todas las orientaciones angulares en el espacio) da la ley de conservación del momento angular (que establece que el momento angular total de un sistema aislado es constante)
• La invariancia de un sistema aislado con respecto a los impulsos de Lorentz (es decir, que las leyes de la física son las mismas con respecto a todos los sistemas de referencia inerciales) da el teorema del centro de masa (que establece que el centro de masa de un sistema aislado el sistema se mueve a velocidad constante).

En la teoría cuántica de campos , el análogo del teorema de Noether, la identidad Ward-Takahashi , produce leyes de conservación adicionales, como la conservación de la carga eléctrica a partir de la invariancia con respecto a un cambio en el factor de fase del campo complejo de la partícula cargada y el calibre asociado del potencial eléctrico y el potencial vectorial .

La carga de Noether también se utiliza para calcular la entropía de los agujeros negros estacionarios . ^[11]

Ver también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• ley de conservacion
• Carga (física)
• Simetría de calibre
• Simetría de calibre (matemáticas)
• Invariante (física)
• bosón de piedra dorada
• Simetría (física)

Referencias

1. Noether, E. (1918). "Problema de variaciones invariantes". Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen . Clase matemática-física. 1918 : 235–257.
2. José, Jorge V.; Saletán, Eugene J. (1998). Dinámica clásica: un enfoque contemporáneo. Cambridge [Inglaterra]: Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-64890-5. OCLC  857769535.
3. Mano, Louis N.; Pinzón, Janet D. (1998). Mecánica Analítica. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-57327-0. OCLC  37903527.
4. Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2004). Dinámica clásica de partículas y sistemas (5ª ed.). Boston, MA: Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-534-40896-1. OCLC  759172774.
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7. Nina Byers (1998) "El descubrimiento de E. Noether de la profunda conexión entre las simetrías y las leyes de conservación". En Actas de un Simposio sobre la herencia de Emmy Noether, celebrado del 2 al 4 de diciembre de 1996 en la Universidad Bar-Ilan, Israel, Apéndice B.
8. Lanczos, C. (1970). Los principios variacionales de la mecánica (4ª ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-65067-7.
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Otras lecturas

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enlaces externos

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